నిర్వచనాలు - సూత్రాలు

*  ప్రస్తారం : 
        'n' అసరూప వస్తువుల నుంచి 'r' వస్తువుల చొప్పున తీసుకుని ఏర్పరిచిన ప్రతి అమరికను ప్రస్తారం అంటారు. దీన్ని nPr లేదా P (n, r) తో సూచిస్తారు.

*  సంయోగం: 
        'n' అసరూప వస్తువుల నుంచి 'r' వస్తువుల చొప్పున తీసుకుని ఏర్పరచిన ప్రతి సమూహాన్ని లేదా ఎన్నికను సంయోగం అంటారు. దీన్ని nCr లేదా C (n, r) తో సూచిస్తారు.

*  ఉదాహరణ: 
        A, B, C, D అనే నాలుగు అసరూప అక్షరాలను తీసుకుందాం. ప్రతిసారీ 2 అక్షరాల చొప్పున తీసుకుని ఏర్పరచగల ప్రస్తారాలు, సంయోగాల సంఖ్య వరుసగా...

ప్రస్తారాలు :
                 AB, AC, AD, BC, BD, CD
                 BA, CA, DA, CB, DB, DC
                 (మొత్తం 4P₂ ప్రస్తారాలు)

సంయోగాలు :  
                 AB, AC, AD, BC, BD, CD
                 (మొత్తం 4C₂ సంయోగాలు)

*  పరిశీలన:
            ప్రస్తారాలు ఏర్పరచడానికి వస్తువుల క్రమం ముఖ్యం. కానీ సంయోగాలు ఏర్పరచడానికి వస్తువుల క్రమం అవసరం లేదు.

*  'n' యొక్క క్రమ గుణితం:
            n సహజ సంఖ్యల అవిచ్ఛిన్న లబ్ధాలను n క్రమగుణితం అంటారు. దీన్ని  లేదా n ! తో సూచిస్తారు.
కాబట్టి   లేదా   n!   =  1. 2. 3. 4 ... (n- 2) (n- 1) n
అలాగే మనం తీసుకున్నది =  

*  ప్రాథమిక సూత్రం: 
        ఒక పరిక్రియను 'm' విభిన్న విధాలుగా చేసిన తర్వాత మరో పరిక్రియను 'n' విభిన్న విధాలుగా చేసినప్పుడు రెండు పరిక్రియలను ఒకదాని తర్వాత ఒకటి 'mn' విధాలుగా చేయవచ్చు.

సూత్రాలు:
i)     nP_r  =   (పునరావృతాన్ని అనుమతించనప్పుడు) (0  ≤  r  ≤  n)
               = n^r  (పునరావృతాన్ని అనుమతించినప్పుడు)
(ii)   ⁿP_r= r. ^(n-1)P_r-1 + ^(n-1)P_r (r  ≤  n)
(iii)  ⁿP_n =  ;  nP_r  =  1
(iv)  ⁿP_r = n. ^(n-1)P_r-1 (1  ≤  r  ≤  n)
(v) n_r  -  ⁿP_rఅనేది ఇచ్చిన 'n' అసరూప వస్తువుల నుంచి ఒక్కసారికి 'r' వస్తువుల చొప్పున తీసుకుంటే వచ్చే ప్రస్తారాల్లో కనీసం ఒక వస్తువైనా పునరావృతమయ్యే ప్రస్తారాల సంఖ్య.
vi) m మూలకాలున్న సమితి A నుంచి n మూలకాలున్న సమితి B కి అన్వేక ప్రమేయాల  సంఖ్య
nP_m ( m ≤ n అయినప్పుడు) మరియు 0, (m > n అయినప్పుడు).
vii) m మూలకాలున్న సమితి A నుంచి n మూలకాలున్న సమితి B కి ఉన్న ప్రమేయాల సంఖ్య n^m.
viii) n మూలకాలున్న సమితి A నుంచి 2 మూలకాలున్న సమితి B కి ఉన్న సంగ్రస్త ప్రమేయాల సంఖ్య 2ⁿ - 2.

* వృత్తాకార ప్రస్తారాలు:
(i) 'n' అసరూప వస్తువులు అన్నింటినీ ఉపయోగించి ఏర్పరచగల వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య   
(ii) పూల దండలు, పూసల గొలుసులు తదితర సందర్భాల్లో n అసరూప వస్తువులతో ఏర్పరిచే వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య   
(iii) ఇచ్చిన 'n' వస్తువుల్లో 'p' వస్తువులు ఒకేరకంగా మిగిలిన వస్తువులు విభిన్నంగా ఉంటే ఈ వస్తువులన్నింటినీ ఉపయోగించి ఏర్పరిచే రేఖీయ ప్రస్తారాల సంఖ్య  
*    ఇచ్చిన 'n' వస్తువుల్లో p వస్తువులు ఒకరకంగా, q వస్తువులు మరో రకంగా, r వస్తువులు వేరే రకంగా, మిగిలినవి విభిన్నంగా ఉంటే వాటిని అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య  

సూత్రాలు:
(i) ⁿC_r  =     ;  ⁿC_r  .    =  ⁿP_r
(ii) ⁿC_r  =  ⁿC_n-r ;   ( 0  ≤  r  ≤  n )
(iii) ⁿC₀  =  ⁿC_n  =  1
(iv) m, n లు రెండు విభిన్న ధనపూర్ణాంకాలైతే (m + n) విభిన్న వస్తువులను m, n వస్తువులున్న రెండు భాగాలుగా విభజించే విధానాల సంఖ్య  
(v) 2n విభిన్న వస్తువులను ఒక్కోదానిలో n వస్తువులున్న రెండు భాగాలుగా విభజించే విధానాల సంఖ్య  
(vi) mn విభిన్న వస్తువులను ఒక్కోదానిలో n వస్తువులు ఉండేలా m సమభాగాలుగా చేసే విధానాల సంఖ్య 

(vii) mn విభిన్న వస్తువులను m వ్యక్తులకు సమానంగా పంచే విధానాల సంఖ్య  
(viii) r  ≤  n, s  ≤  n, ⁿC_r = ⁿC_s   r = s లేదా r + s = n
(ix) 1  ≤  r  ≤  n అయితే ⁿC_r + ⁿC_{r - 1}  =  ⁽ⁿ⁺¹⁾C_r
(x) ఒకే రకంగా (సరూపంగా) ఉన్న p వస్తువులు, మరో రకం q సరూప వస్తువులు, వేరే రకం r సరూప వస్తువుల నుంచి ఎన్ని వస్తువులనైనా (ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వస్తువులను) ఎంచుకునే విధానాల సంఖ్య (p+1) (q+1) (r+1) − 1.