1. ⁽ⁿ⁺¹⁾P₅ .  ⁿP₆  =  2  :  7 అయితే n విలువ కనుక్కోండి.

2. ఆరుగురు బాలురు, అయిదుగురు బాలికలను ఒక వరుసలో

(i) బాలికలందరు ఒకే చోట ఉండేలా

(ii) ఏ ఇద్దరు బాలికలు పక్కపక్కన లేకుండా

(iii) బాలురు, బాలికలు ఒకరి తర్వాత ఒకరు వచ్చేలా (ఏకాంతరంగా)

(iv) ఏ ఇద్దరు బాలురు పక్కపక్కన రాకుండా ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు?

జవాబు: (i)  

        బాలికలందరూ ఒకేచోట ఉండాలి. కాబట్టి అయిదుగురు బాలికలను ఒక యూనిట్ అనుకుందాం. మిగిలిన ఆరుగురు బాలురు. ఈ యూనిట్లు మొత్తం 7 అవుతాయి. ఈ ఏడింటిని ఒక వరుసలో 7! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. ఇప్పుడు ఒక యూనిట్‌లో ఉన్న అయిదుగురు బాలికలను వారిలో వారిని 5! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.

  బాలికలందరూ ఒకేచోట ఉండేలా ఒక వరుసలో అమర్చే విధాల సంఖ్య  =  (7!)  (5!)

(ii) ఏ ఇద్దరు బాలికలూ పక్కపక్కన లేకుండా ముందుగా ఆరుగురు బాలురను ఒక వరసలో 6! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.

                    

       ఇప్పుడు బాలురి మధ్యలో 5, మొదటిది, చివరిది మొత్తం 7 ఖాళీ స్థానాలు ఉంటాయి. ఈ 7 ఖాళీల్లో అయిదుగురు బాలికలను ⁷P₅ విధాలుగా అమర్చవచ్చు. కాబట్టి ఏ ఇద్దరు బాలికలు పక్కపక్కన లేకుండా

అమర్చే విధానాల సంఖ్య 6!  ×  ⁷P₅

(iii) 

          ఆరుగురు బాలురు, అయిదుగురు బాలికలు ఒకరి తర్వాత ఒకరు వచ్చేలా ఒక వరుస క్రమంలో అమర్చే విధానాల సంఖ్య = 6!.5!

(iv) 

     అయిదుగురు బాలికలను అమర్చగల విధానాలు = 5! 

     ఆరుగురు బాలురను అమర్చగల విధానాల సంఖ్య = 6! 

     మొత్తం విధానాలు = 5!.6!

3. 1, 2, 4, 5, 6 అంకెలతో ఏర్పరచగలిగే 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుక్కోండి. (పునరావృతం కాకుండా).

సాధన: ⁴P₃ (1 + 2 + 4 + 5 + 6) (1 + 10 + 100 + 1000)

              =   ⁴P₃ (18) (1111)

              =   4,79,952

4. 'VICTORY' అనే పదంలోని అన్ని అక్షరాలను ఉపయోగించి ప్రస్తారించడం వల్ల వచ్చే పదాలను నిఘంటువు క్రమంలో రాస్తే ఆ వరుసలో 'VICTORY' పదం  కోడ్‌ని కనుక్కోండి

సాధన: దత్తపదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమం C, I, O, R, T, V, Y

ఇప్పుడు అమరికలు

C  - - - - - -  =  6!  =  7 20

I  - - - - - -   =  6!  =  720

O  - - - - - -  =  6!  =  720

R  - - - - - -   = 6!  = 720

T  - - - - - -  =  6!  =  720

VC  - - - - -  =  5!  =  120

VIOC  - - -   =  3!  =  006

VICR  - - -   =  3!  =  006

VICTORY   =   1!   = 001

VICTORY  పదం కోడ్‌ 3733

5. INDEPENDENCE పదంలోని అక్షరాలను ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు?

సాధన: INDEPENDENCE లో 12 అక్షరాలు ఉన్నాయి. వీటిలో I ఒకసారి N మూడుసార్లు, D రెండుసార్లు E నాలుగుసార్లు, P ఒకసారి, C ఒకసారి వచ్చాయి.

6. ⁿP_r  =  5040, ⁿC_r  =  210 అయితే n, r లను కనుక్కోండి.

సాధన:     ⁿP_r = r! ⁿC_r    5040 = r!. 210

                 ⇒ 24 = r!   .^.. r = 4

                 ⁿP₄   =   5040   =   10.9.8.7

                 .^..  n  =  10

7. 3  ≤  r  ≤  n  కు ^(n-3)C_r   +   3. ^(n-3)C_(r-1)   +  3.^(n-3)C_(r-2)  +  ^(n-3)C_(r-3) = ⁿC_rఅని నిరూపించండి

సాధన  :  L.H.S = _(n-3)Cr  +  ^(n-3)C_{(r − 1)} + 2.[^(n-3) C_(r-1)  +  ^(n-3)C_(r-2)]

                                         + ^(n-3)C_(r-2) +  ^(n-3)C_(r-3)

                                  = ^(n-2)C_{r  +  2} [^(n-2)C_(r-1)]  +  ^(n-2)C_(r-2)

                                  = [^(n-2)C_r + ^(n-2)C_(r-1)]  +  [^(n-2)C_(r-1)  +  ^(n-2)C_(r-2)]

                                  = ^(n-1)C_r  +  ^(n-1)C_(r-1)

                                 = ⁿC_r = R.H.S.

8. ఆరుగురు భారతీయులు, అయిదుగురు అమెరికా దేశస్థుల నుంచి అయిదుగురు సభ్యులున్న కమిటీని, ఆ కమిటీలో భారతీయుల సంఖ్య పెద్దగా ఉండేలా ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు?

సాధన :

     

మొత్తం విధానాలు       = ⁶C₃ . ⁵C₂  +  ⁶C₄ .⁵C₁ +  ⁶C₅ . ⁵C₀

                                  = (20)(10) + (15)(5) + (6)(1)

                                  = 200 + 75 + 6 = 281