• facebook
  • twitter
  • whatsapp
  • telegram

ద్విపద సిద్ధాంతం

1.  (a+ x)n విస్తరణలో 2వ, 3వ మరియు 4వ పదాలు వరుసగా 240, 720 మరియు 1080 అయితే a, x, nల విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:           దత్తాంశం :  (a+x)n
             Tr+1 =  nCr  xn-r  ar
         T2   =  nC1 an-1  x1 = 240 ..... (1)
            T3   =  nC2 an-2  x2 = 720 ..... (2)
           T4   =  nC3 an-3  x3 = 1080 ..... (3)         
                          

                              ⇒ 3n - 3 =  4n - 8
                              ⇒   n  =  5

                
2. (1 + x)n విస్తరణలో నాలుగు వరుస పదాల గుణకాలు వరుసగా  a1, a2, a3, a4 లు అయితే    అని చూపండి.
సాధన :            ఇచ్చినది : (1 + x)n
                             Tr+1 = nCr xn-r  ar
                             T2 = nC1 (1)n-1  x1
       ⇒ T2  =  nC1  x
             ఇదేవిధంగా     T3 = nC2  x2
                                  T4 = nC3  x3
                                  T5 = nC4  x4
    దత్తాంశం ప్రకారం :  nC1 = a1
                                 nC2 = a2
                                 nC3 = a3
                                 nC4 = a4
           

...   L.H.S.  =  R.H.S.

3. (1 + x)n విస్తరణలో r, (r + 1) వ మరియు (r + 2) వ పదాల గుణకాలు A.P. లో ఉంటే
n2 - (4r+1) n + 4r2 - 2 = 0,  అని చూపండి.
    n2 - (4r+1) n + 4r2-2 = 0.
సాధన:        దత్తాంశం: (1 + x)n    
                      Tr+1  =  nCr  xn-r  ar
                       Tr  = Tr-1+1 = nCr-1 (1)n-(r-1) xr-1
                          ⇒  Tr = nCr-1 xr-1
      ఇదేవిధంగా : Tr+1  =   nCr  xr
                          Tr+2 =  nCr+1  xr+1
    దత్తాంశం  ప్రకారం : nCr-1 + nCr+1 = 2. nCr

=>  n2 - 2nr + 2r2 + n =  2[nr + n - r2 - r + r + 1]
                      =>  n2 - 2nr + 2r2 + n - 2nr - 2n + 2r2 - 2 = 0
                      =>  n2 - 4nr - n + 4r2 - 2 = 0
                      =>  n2 - (4r + 1) n + 4r2-2 = 0

 

4.  I మరియు n లు ధన పూర్ణాంకాలు. 0 < F < 1 అవుతూ n = I + F అయితే
i)   I ఒక బేసి పూర్ణసంఖ్య అని,  
ii)  (I + F) (1 - F) = 1 అని నిరూపించండి.
సాధన:         దత్తాంశం :  I + F = (4 + )n
    ⇒  I + F = nC0 4n + nC1 4n-1 + nC2 4n-2 ()2   ....   + nCn ()n   .........  (1)
                                ...   3 <

 < 4
                               ⇒ 0 < 4 -  < 1
                                  ...   0 < (4 - )n< 1
                                         f = (4 - )n అని అనుకొందాం.
                                  ⇒ 0 < f < 1
              ⇒  f = nC0 4n - nC1 4n-1 + nC2 4n-2 ()2 .... + (-1)nnCn ()n ....... (2)
                             1+ 2  నుంచి, 
                               ⇒ I + F + f = 2 [nC0 4n + nC2 4n-2 (15)  + ....]
                               ⇒ I + F + f = 2  [ధన పూర్ణాంకం ]
                               ⇒ I + F + f =  సరి పూర్ణాంకం  ........ (3)
                 I  అనేది ఒక పూర్ణాంకం కాబట్టి, I + F అనేది కూడా పూర్ణాంకం అవుతుంది.
                           ...   0 < F < 1 మరియు 0 < f < 1
                              ⇒  0 < F + f < 2
                            ...      F + f = 1
                     (3)   ⇒  I + 1 =  సరి పూర్ణాంకం
                                  ⇒ I =  సరి పూర్ణాంకం  – 1
                                       ... I =  బేసి పూర్ణాంకం.
 ii)     (I + F) (1 - F)  =  (I + F) f
                                   =  (4 + )n (4 - )n
                                   =  (16 - 15)n
                                   =  1n
 


 అని చూపండి.
సాధన : (1 + x)n = C0 + C1x + C2x2 + C3x3 +  ....  + Crxr + Cr+1 xr+1 + Cr+2 xr+2 + ....
                                 + Cn-r xn-r + ..... + Cn xn  ....  (1).
    (x+1)n = C0xn + C1 xn-1 + C2 xn-2 + ..... + Cn-r xr + .... + Cn అని మనకి తెలుసు  .....  (2).
    (1) మరియు (2) విస్తరణలను గుణించగా,
రెండువైపులా xn+r యొక్క గుణాంకాలను పోల్చితే,
 ⇒ C0Cr + C1Cr+1+ C2Cr+2 + .... + Cn-rCr =  (1 + x)2n   విస్తరణలో   xn+r యొక్క గుణకం ..... (3)
      కానీ (1 + x)2n  విస్తరణలో, (n + r + 1)వ పదం xn+r అవుతుంది.
    ...    Tn+r+1  =  2nCn+r  (1) 2n-(n+r)  xn+r 
     xn+r యొక్క గుణకం :  2nCn+r
                   

                                               
       (3) నుండి,  
       
    r = 1ను ప్రతిక్షేపించగా, 
           
       r = 0ను ప్రతిక్షేపించగా,
 
 


 అయితే x2 + 4x యొక్క విలువ కనుక్కోండి.

సాధన: దత్తాంశం :

     
(1) నుంచి,  


రెండువైపులా వర్గం చేస్తే,  
                          ⇒  x2 + 4x + 4 = 27
                      ...      x2 + 4x  =  23

8.విస్తరణ వ్యవస్థితమైతే 'x' యొక్క విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:      దత్తాంశం : 

      
 అయినప్పుడువిస్తరణ వ్యవస్థితము.

Posted Date : 19-07-2021

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

ప్రత్యేక కథనాలు

మరిన్ని

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

మరిన్ని
 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌