1. A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు కావడానికి ఆవశ్యక పర్యాప్త నియమం  అని చూపండి. 

సాధన:

⇔ A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు.

2. మూడు పరస్పర వివర్జిత ఘటనల సంభావ్యతలు వరుసగా  

 

సాధన:

3. ఒక వ్యక్తికి మూడు సార్లలో రెండు సార్లు నిజం చెప్పే అలవాటు ఉంది. అతడు ఒక పాచికను దొర్లించి అది '1' అని నివేదిస్తాడు. అది నిజంగా '1' అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.

సాధన:

4. ఒక నాణాన్ని మూడు సార్లు ఎగరవేశారు అనుకోండి. మూడు బొమ్మలు వచ్చే ఘటన A, మొదటి సారి ఎగరవేసినప్పుడు బొమ్మ వచ్చే ఘటన B అనుకోండి. అప్పుడు A, Bలు అస్వతంత్ర ఘటనలు అని చూపండి.

సాధన:  అస్వతంత్ర ఘటనలకు P(A ∩ B) ≠ P(A) P(B) అని చూపిస్తే సరిపోతుంది.

నాణాన్ని మూడు సార్లు ఎగురవేస్తే

∴ n(S) = 8 = 2³

మూడు బొమ్మలు వచ్చే ఘటన A (దత్తాంశం) 

∴ A = {HHH}

∴ P(A) = 1/8

మొదటిసారి ఎగరవేసినప్పుడు బొమ్మ పడే ఘటన B (దత్తాంశం)

∴ B = {HHH, HHT, HTH, HTT}

∴ P(B) = 4/8 = 1/2

A ∩ B = {HHH}

∴ P(A ∩ B) = 1/8  ...................... (1)

P(A). P(B) = 1/8 . 1/2 = 1/16 ............(2)

(1), (2) ⇒ P(A ∩ B) ≠ P(A) P(B)

 ∴ A, B లు అస్వతంత్ర ఘటనలు

5. ఒక నిష్పాక్షిక పాచికల యుగ్మాన్ని దొర్లించారు. రెండింటి ముఖాలపై ఒకే సంఖ్య వచ్చే ఘటన A అనుకోండి. రెండింటి ముఖాలపై వచ్చే సంఖ్యల మొత్తం 7 కంటే ఎక్కువయ్యే ఘటన B అనుకోండి. 

సాధన: రెండు పాచికలను దొర్లిస్తే, n(S) = 36 = 6²

రెండు పాచికలపై ఒకే సంఖ్య వచ్చే ఘటన A అయితే

 ∴ A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

n(A) = 6; P(A) = 6/36 = 1/6 .................... (1)

పాచికల ముఖాలపై 7 కంటే ఎక్కువ వచ్చే ఘటన B అయితే

n(B) = 15; P(B) = 15/36 = 5/12 .................(2)

A ∩ B = {(4, 4), (5, 5), (6, 6)}

n(A ∩ B) = 3; P(A ∩ B) = 3/36 = 1/12 ............(3)

6. ఒక నాణాన్ని మూడు సార్లు ఎగరేయడం, వచ్చిన ఫలితాన్ని రాయడం ఒక క్రీడ. అన్ని ఎగరవేతల్లోనూ ఒకే ఫలితం వస్తే ఒక బాలుడు గెలిచినట్లు, అలా కాకపోతే ఓడినట్లు భావిస్తారు. ఆ బాలుడు క్రీడలో ఓడిపోయే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.

సాధన:

n(S) = 8

E = {HHH, TTT}

n(E) = 2; P(E₁) = 2/8 = 1/4

ఇది బాలుడు గెలిచే సంభావ్యతను సూచిస్తుంది.

 ∴ బాలుడు ఓడిపోయే సంభావ్యత = 3/4

7. E₁∩ E² = φ, తో E₁, E² లు రెండు ఘటనలు. అప్పుడు P(E₁^c∩ E₂^c) = P(E₁^c) - P(E₂) అని చూపండి.

సాధన: E₁, E₂ లు ఏవైనా 2 ఘటనలయితే P(E₁∪ E₂)^c = 1 - P(E₁∪ E₂) .............(1)

కానీ P(E₁^c∩ E₂^c) = P(E₁∪  E₂)^c

                               = 1 - P(E₁∪  E₂)        [(1) నుంచి]

                               = 1 - [P(E₁) + P(E₂) - P(E₁∩ E₂)]

                               = 1 - P(E₁) - P(E₂) + P(E₁∩ E₂)

                               = P(E₁^c) - P(E₂) + P(φ)        (E₁∩ E₂ = φ దత్తాంశం)

= P(E₁^c) - P(E₂) + 0  (^._.. P(φ) = 0)

= P(E₁^c) - P(E₂)

కావున ఫలితం నిరూపితం.

8. ఒకడు ఒక పండుగరోజు A, B, C, D అనే 4 దేవాలయాలను యాదృచ్చిక క్రమంలో దర్శించుకోవాలనుకుంటాడు. అతడు (i) B కి ముందుగా A (ii) B కి ముందుగా A, C కి ముందుగా B లను దర్శించుకునే సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.

సాధన: S శాంపుల్ ఆవరణం అయితే

 ∴ n(S) = 24

(i) B కంటే ముందు A ను దర్శించే ఘటన E అనుకుంటే.

 ∴ n(E) = 12

(ii) B కంటే ముందు A, C కంటే ముందు B, లను దర్శించే ఘటన E అనుకుంటే.

 ∴ E = {ABCD, ABDC, ADBC, DABC }

n(E) = 4

9. ఒక వ్యక్తికి ఒక నిర్మాణ కంపెనీలో ఉద్యోగం వచ్చింది. ఆ కంపెనీలోని పనివారు సమ్మెకు దిగే సంభావ్యత 0.65. సమ్మె లేనప్పుడు నిర్మాణ పని సకాలంలో పూర్తయ్యే సంభావ్యత 0.80. సమ్మె ఉన్నప్పటికీ నిర్మాణ పని పూర్తయ్యే సంభావ్యత 0.32 అయితే సకాలంలో పని పూర్తయ్యే సంభావ్యతను నిర్ధారించండి.

సాధన: నిర్మాణం పని సరైన నమయంలో పూర్తయ్యే సంభావ్యత P(E₁),

కంపెనీలోని పనివారు సమ్మెకు దిగే సంభావ్యత P(E₂) అనుకుందాం.

P(E₂) యిస్తే P(E₁) కనుక్కోవాలి.

P(E₂) = 0.65 దత్తాంశం

10. ఒక కంపెనీలోని ఉద్యోగుల నుంచి అయిదుగురు వ్యక్తులను ఆ కంపెనీ పాలకవర్గ ప్రతినిధులుగా ఎన్నుకున్నారు.

        అయిదుగురు వ్యక్తుల వివరాలు ఇలా ఉన్నాయి:

క్ర. సం	పేరు	లింగం	వయసు (సం.లో)
1	హరీష్	పు	30
2	రోహన్	పు	33
3	శీతల	స్త్రీ	46
4	అలీస్	స్త్రీ	28
5	సలీమ్	పు	41

పై సమూహం నుంచి ఒక వ్యక్తిని యాదచ్చికంగా ప్రసంగకర్తగా ఎన్నుకొంటే, ఆ వ్యక్తి పురుషుడు  లేదా 35 సంవత్సరాలు పైవడినవాడు అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.

సాధన: యాదృచ్చికంగా ఎన్నుకున్న వ్యక్తి పురుషుడు అయ్యేఘటన M అనుకుంటే,

 ∴ n(M) = 3

యాదృచ్చికంగా ఎన్నుకున్న వ్యక్తి 35 సం.లు పైబడినవాడు అయ్యే ఘటన A అనుకుంటే,

 ∴ n (A) = 2

వ్యక్తి, పురుషుడు మరియు 35 సం.లు పైబడినవాడు అయ్యే ఘటన M ∩ A అనుకుంటే.

 ∴ n(M ∩ A) = 1

S శాంపుల్ ఆవరణం అయితే, n(S) = 5C₁ = 5

కావలసిన సంభావ్యత

P(M  A) = P(M) + P(A) - P(M ∩ A)

11. వందమంది విద్యార్థుల నుంచి 40, 60 మంది విద్యార్థులు ఉండే రెండు సెక్షన్లు ఏర్పడ్డాయి. నీవు, నీ మిత్రుడు ఆ వందమందిలో ఉండి

(i) మీ ఇద్దరూ ఒకే సెక్షన్‌లోకి ప్రవేశించే

(ii)వేర్వేరు సెక్షన్లలోకి ప్రవేశించే సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.

సాధన: S శాంపుల్ ఆవరణం అయితే n(S) = 100C₂

40 మంది గల సెక్షన్ నుంచి ఇద్దరు విద్యార్థులు ఉండే ఘటన E1 అనుకుంటే.

n(E₁) = 40C₂

60 మంది గల సెక్షన్ నుంచి ఇద్దరు విద్యార్థులు ఉండే ఘటన E2 అనుకుంటే

n(E₂) = 60C₂

E₁∩ E₂ = φ;  P(E₁∩ E₂) = 0

(i) ఇద్దరు విద్యార్థులు ఒకే సెక్షనులోకి ప్రవేశించే సంభావ్యత:

P(E₁  ∪  E₂) = P(E₁) + P(E₂) - P(E₁∩ E₂)

        

(ii) ఇద్దరు విద్యార్థులు వేర్వేరు సెక్షన్లలోకి ప్రవేశించే సంభావ్యత = 1- ఇద్దరూ ఒకే సెక్షనులోకి ప్రవేశించే సంభావ్యత

                       = 1 - P(E₁∪ E₂)