1. X అనే యాదృచ్ఛిక చలరాశి కింది పట్టికలోని సంభావ్యతా విభాజనాన్ని కలిగి ఉంది.

                  

అయితే k విలువను, x యొక్క మధ్యమం మరియు విస్తృతిలను కనుక్కోండి.

సాధన:     Σ P(x_i) = 1 అని తెలుసు. 

                         ⇒ k + 2k + 3k + 4k + 5k = 1

                         ⇒ 15k = 1

                         ⇒ k =  1/15

మధ్యమం: µ = Σ X_i P(x_i)

                ⇒ µ = 1(k) + 2(2k) + 3(3k) + 4(4k) + 5(5k)

                 ⇒ µ = 55k

                 ⇒ µ = 55 (1/15)

.^.. మధ్యమం:  (µ) = 11/3

విస్తృతి:  σ² = Σx_i² P(x_i) - µ²

           ⇒ σ² = (1)²(k) + (2)²(2k) + (3)²(3k) + (4)²(4k) + (5)²(5k) - (11/3)² 

           ⇒ σ² = k + 8k + 27k + 64k + 125k - 121/9

           ⇒ σ² = 225k - 121/9

           ⇒ σ² = 225  (1/15)  -  121/9

          ⇒ σ² = 15 - 121/9

విస్తృతి:  (σ²) =  14/9

2. X అనే యాదృచ్ఛిక చలరాశి కింది పట్టికలోని సంభావ్యతా విభాజనాన్ని కలిగి ఉంది.

అయితే X యొక్క మధ్యమం మరియు విస్తృతిలను కనుక్కోండి.

సాధన: మధ్యమం:  µ = Σx_i P(x_i)
⇒ µ = 0 (0.4) + 1 (0.3)  + 2 (0.1)  + 3 (0.1)  + 4 (0.1)
                      ⇒  10k² + 10k - k - 1 =  0
                      ⇒ 10k (k + 1) - 1 (k +1)  =  0
                      ⇒ (10k - 1)  (k + 1) = 0
              (i)  k = 1/10  [ .^..  సంభావ్యత రుణాత్మకం కాదు % ]

ii ) మధ్యమం:  µ = Σx_i P(x_i)
                   ⇒ 0(0) + 1(k) + 2(2k) + 3(2k) + 4(3k) + 5(k²) + 6(2k²) + 7(7k² + k)
                  ⇒ k + 4k + 6k + 12k + 5k² + 12k² + 49k² + 7k
                  ⇒ 66k² + 30k
                  ⇒ 66 (1/100) + 30 (1/10)
                  ⇒ 0.66 + 3 = 3.66
  (iii)     P(0 < x < 5) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4)
                                   = k + 2k + 2k + 3k
                                   = 8k
                                   = 8 (1/10)
                                   = 0.8
⇒ µ = 0.3 + 0.2 + 0.3 + 0.4

మధ్యమం (µ):  1.2 

విస్తృతి :  σ²  =  Σx_i² P(x_i) - µ²
            ⇒ σ² = 0²(0.4) + 1²(0.3) + 2²(0.1) + 3²(0.1) + 4²(0.1) - (1.2)²
           ⇒ σ² = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 1.6 - 1.44
              ⇒  σ² = 3.2 - 1.44
విస్తృతి (σ²) : 1.76

3. X అనే యాదృచ్ఛిక చలరాశి కింది సంభావ్యతా విభాజనాన్ని కలిగి ఉంది.
 

 అయితే      i) k        ii) మధ్యమం         iii) P(0 < x < 5) లను కనుక్కోండి.
సాధన: Σ P(X = x_i) = 1 అని మనకు తెలుసు. 
⇒  0(0) + 1(k) + 2(2k) + 3(2k) + 4(3k) + 5(k²) + 6(2k²) + 7(7k² + k) = 1
⇒ 10k² + 9k - 1 = 0
    C = 1
⇒  3C² - 6C - C + 2 = 0
⇒   3C(C - 2) - 1(C - 2) = 0
        (3C - 1) (C - 2) = 0
C = 1/3 ( .^..  సంభావ్యత విలువ 1 కంటే ఎక్కువ ఉండదు) 
(i)  ⇒  C = 1/3
 (ii)  P(X < 1) = P(X = 0)
                     =  3C³ 
                    =  3 ( 1/3)³  = 1/9 
(iii)   P (1 < X ≤ 2)  = P(X = 2)
                          = 5C - 1
                           = 5 (1/3) - 1
                          = 2/3
(iv)   P (0 < X ≤ 3)  =  P(1)  +  P(2)
                             =  4C - 10C² + 5C - 1
                            =  9C - 10C² - 1
                           =  9 ( 2/3) - 10 (1/9) - 1 = 8/9

4. యాదృచ్ఛిక చలరాశి ప యొక్క వ్యాప్తి {0, 1, 2}. P(X = 0) = 3C³, P(X = 1) = 4C - 10C²,
P(X = 2) = 5C - 1 అయితే (i) C యొక్క విలువ    (ii) P (X < 1)  
                          (iii) P(1 < X ≤ 2)     (iv) P(0 < X ≤ 3) 
సాధన:  దత్తాంశం 
                           

             
Σ P (X = x_i ) = 1  అని మనకు తెలుసు.
 ⇒ 3C³ + 4C - 10C² + 5C - 1 = 1
         

               ⇒ 3C³ - 10C² + 9C - 2 = 0
                              (C - 1) (3C² - 7C + 2) = 0
                                                              C = 1