1. x² + y² - 4x - 6y + 5 = 0, x² + y² - 2x - 4y - 1 = 0 మరియు x² + y² - 6x - 2y = 0 అనే వృత్తాల మూలకేంద్రాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన: ఇచ్చిన వృత్తాలు:  (S):  x² + y² - 4x - 6y + 5 = 0

                       (S'):  x² + y² - 2x - 4y - 1 = 0

                      (S''): x² + y² - 6x - 2y = 0

                      S - S'  =  0 =>  -2x - 2y + 6 = 0

                      =>  x + y -3 = 0 ................. (1)

                      S'- S'' = 0 => 4x - 2y - 1 = 0 ................. (2)

(1) మరియు (2) లను సాధిస్తే, మనకు మూలకేంద్రం వస్తుంది.         

2.  x² + y² + 2ax + c = 0 మరియు x² + y² + 2bx + c = 0 అనే వృత్తాలు పరస్పరం స్పృశించుకుంటే   అని చూపండి.

సాధన: ఇచ్చిన మొదటి వృత్తం :  x² + y² + 2ax + c = 0 

                 

                                                                                                           కేంద్రం :  C₁(-a, 0) 

దత్తాంశం నుంచి  : C₁C₂ = r₁ + r₂

3.   x² + y² - 2x + 2y + 1 = 0  మరియు  x² +  y² + 8x - 6y = 0 అనే వృత్తాల ఖండన బిందువు ద్వారా వెళ్తూ మరియు (-1, -2) ద్వారా వెళ్లే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:  ఇచ్చిన వృత్తాలు : (S)   :   x² + y² - 2x + 2y + 1 = 0

(S' )  :   x² + y² + 8x - 6y = 0

మూలాక్షం (L) :  

                  ⇒ -10x + 8y + 1 = 0

                  ⇒  10x  - 8y  - 1 = 0

                 సహాక్ష వృత్తసరణి }  S + λL = 0

                ⇒ x² + y² - 2x + 2y + 1 + λ(10x - 8y - 1) = 0

                ⇒ x² + y² + (10λ - 2)x + (2 – 8λ) y+ (1 - λλ) = 0

    ఇది (-1, -2) బిందువు ద్వారా వెళ్తుంది కాబట్టి

         ⇒ 1 + 4 - 1 (10λ - 2) - 2 (2 - 8λ) + (1 - λ) = 0

         ⇒ 5 - 10λ + 2 - 4 + 16λ + 1 - λ = 0

         ⇒ 5λ + 4 = 0    

కావలసిన వృత్తం x² + y² - 2x + 2y + 1 - 4/5( kx - 8y - 1) = 0

              5(x² + y²) - 10x + 10y + 5 - 40x + 32y + 4 = 0

              5(x² + y²) - 50x + 42y + 9 = 0

4.  x² + y² - 6x + 4 = 0 మరియు x² + y² - 5x + 4 = 0 అనే వృత్తాల ఖండన బిందువు ద్వారా వెళ్తూ మరియు 3x - 4y = 15 అనే రేఖను స్పృశించే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన: ఇచ్చిన వృత్తాలు:  

         (S)  :  x² + y² - 6x + 4 = 0

        (S')   :  x² + y² - 5x + 4 = 0  

మూలాక్షం (L) :  

                           ⇒ -x = 0

                           ⇒ x = 0

               సహాక్ష వృత్తసరణి  : S + λL = 0

             x² + y² -6x + 4 + λ(x) = 0

             x² + y² + x (λ - 6) + 4 = 0     

ఇచ్చిన రేఖ :  3x - 4y - 15 = 0 

ఇరువైపులా వర్గం చేస్తే

ఇరువైపులా వర్గం చేస్తే

⇒ 9λ² + 144 + 72λ =  25λ² - 300λ + 500

⇒ 16λ² -372λ + 356 = 0

⇒ 4λ² - 93λ + 89 = 0

⇒ 4λ² - 4λ - 89λ + 89 = 0

⇒ 4λ(λ - 1) - 89 (λ - 1) = 0

⇒ (λ - 1) (4λ - 89) = 0         

∴ λ = 1;     λ = 89/4           

కావలసిన వృత్తాలు :

      λ = 1 ⇒ x² + y² - 6x + 4 + 1 (x) = 0

           ⇒ x² + y² - 5x + 4 = 0

   λ = 89/4 ⇒ x² + y² - 6x + 4 + 89/4(x) = 0

           ⇒ 4(x² + y²) - 24x + 16 + 89x = 0

          ⇒ 4(x² + y²) + 65x + 16 = 0

5.   x² + y² + 4x -14y + 28 = 0 మరియు x² + y² + 4x - 5 = 0 అనే వృత్తాల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి

సాధన: ఇచ్చిన మొదటి వృత్తం (S) : x² + y² + 4x -14y + 28 = 0

                                    కేంద్రం : C₁ (-2, 7)

                                   

                                       

సాధన : x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0  అనేది కావాల్సిన వృత్త సమీకరణం అనుకుందాం