* ఫ్రాన్స్‌కు చెందిన గణిత శాస్త్రవేత్త గెరార్డ్ డెసార్గ్ శాంకవాల మీద మౌలికమైన ఫలితాలను కనుక్కున్నారు. 
* ఒక శంకువును భూమికి సమాంతరంగా ఖండిస్తే 'వృత్తం' ఏర్పడుతుంది. కానీ అదే శంకువును ఏటవాలుగా ఖండిస్తే 'దీర్ఘవృత్తం' ఏర్పడుతుంది. 
* ''త్రినాభి చక్రమజర మనర్వం యేనే మా విశ్వభువనాని తస్థుః"
* విశ్వాంతరాళంలో పరిభ్రమించే గోళాలన్నీ నాశనం లేని, సడలనిదీ అయిన దీర్ఘవృత్త (త్రినాభిచక్రం) పథాల్లో ఉన్నాయని రుగ్వేదం చెబుతోంది. 
* రెండు స్థిర బిందువుల నుంచి, ఆ తలంలోని ఒక బిందువు యొక్క దూరాల మొత్తం స్థిరం అయితే, ఆ బిందు పథాన్ని దీర్ఘవృత్తం (Ellipse) గా నిర్వచిస్తారు. ఈ రెండు స్థిర బిందువులను దీర్ఘవృత్తం యొక్క నాభులు అంటారు.
* దీర్ఘవృత్తం పై ఉన్న ఒక బిందువు యొక్క నాభి దూరాల మొత్తం, ఆ దీర్ఘవృత్తం యొక్క దీర్ఘాక్షం ( Major axis ) పొడవుకు సమానం అవుతుంది. దీన్ని 2a తో సూచిస్తారు. 
* దీర్ఘవృత్తం కేంద్రం ఉన్న శాంకవం కాబట్టి దీన్ని ''కేంద్రీయ శాంకవం'' అంటారు. 
* గ్రహాల గమనం దీర్ఘవృత్తాకారంలో ఉంటుందనీ, దీర్ఘవృత్తానికి ఉన్న రెండు నాభుల్లోని ఒక నాభిలో సూర్యుడు ఉంటాడని భౌతిక శాస్త్రవేత్తలు పేర్కొన్నారు.

* దీర్ఘవృత్తంపై ఉన్న బిందువు నుంచి, దాని ఒక నాభికి ఉండే దూరాన్ని ఆ బిందువు యొక్క 'నాభిదూరం' అంటారు. 
* తలంలో ఒక స్థిరబిందువు నుంచి, ఒక స్థిర సరళరేఖ నుంచి ఉండే దూరాల నిష్పత్తి స్థిరం ' e ' ఒకటి కంటే తక్కువ అయ్యేలా చలించే బిందువు పథాన్ని దీర్ఘవృత్తాకారంగా పరిగణించినప్పుడు, ఆ స్థిర బిందువును నాభి S అనీ, స్థిర సరళరేఖను L నియతరేఖ అనీ అంటారు. కాబట్టి, ప్రతి దీర్ఘవృత్తానికి రెండు నాభులు, రెండు నియత రేఖలు ఉంటాయి. 
* దీర్ఘవృత్తంపై P (x, y) ఏదైనా బిందువు అనుకుంటే, P నుంచి నియతరేఖకు ఉన్న లంబదూరాన్ని PM తో సూచిస్తే... 
దీర్ఘవృత్తం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం  అవుతుంది.
* P యొక్క బిందుపథం  నే దీర్ఘవృత్తం యొక్క ప్రామాణిక రూపంగా తీసుకుంటారు. ఇక్కడ
b² = a² (1 - e2) అనీ, దీనిలోని  e ని ఉత్కేంద్రత (eccentricity) అంటాం. మరియు a >  b >  0 అనీ గమనించాలి. ఈ దీర్ఘవృత్త వక్ర స్వభావాలను పరిశీలిస్తే కింది విషయాలు తెలుస్తాయి.
* ఇది X - అక్షానికి మరియు Y - అక్షానికి సౌష్ఠవంగా ఉంటుంది. ఈ దీర్ఘవృత్తం X - అక్షాన్ని (± a , 0) వద్ద, Y - అక్షాన్ని (0, ± b) వద్ద ఖండిస్తుంది. అందువల్ల దీర్ఘాక్షం పొడవు 2a, హ్రస్వాక్షం పొడవు 2bగా తీసుకున్నపుడు ఈ అక్షాల ఖండన బిందువును కేంద్రం (0, 0)గా పరిగణిస్తారు.
       x = a, x = - a, y = b, y = - b అనే రేఖలతో మరియు నిరూపకాక్షాలతో ఏర్పడే దీర్ఘచతురస్రం లోపల ఈ దీర్ఘవృత్తాన్ని అంతర్లిఖించవచ్చు.

 సూచించే ప్రమాణరూప దీర్ఘవృత్తం యొక్క నాభులు (± ae, 0) గా, నియతరేఖా సమీకరణం  గా మరియు దాని ఉత్కేంద్రత.
 గా గమనించవచ్చు

* దీర్ఘవృత్త కేంద్రం మూలబిందువు వద్ద లేనపుడు, అంటే మూలబిందువును (h , k) బిందువు వద్దకు మార్చి సమాంతర అక్ష పరివర్తనం చేస్తే, నిరూపకాల్లో ఏర్పడే రూపాంతీకరణం వల్ల దీర్ఘవృత్త సమీకరణం 

 గా పరివర్తనం చెందుతుంది.
* ఈ సందర్భంలోనూ e విలువలో మార్పుండదు. కానీ నాభులు ( h ± ae, k ) గా, నియతరేఖా సమీకరణాలు గా మారతాయి. దీర్ఘవృత్తంలోని దీర్ఘాక్షానికి లంబంగా ఉన్న నాభిజ్యాను నాభిలంబంగా పిలుస్తారు. దీని పొడవును గా తీసుకుంటారు.
* నాభులు S , S' లుగా ఉన్న దీర్ఘవృత్తం  (a > b) పై P( x, y ) ఏదైనా బిందువు అయితే...
SP + S'P = దీర్ఘాక్షం యొక్క పొడవు = 2a అవుతుందని జ్యామితీయంగా నిరూపించవచ్చు
* 2a పొడవు ఉండే దారాన్ని తీసుకుని, కొనలు S, S' ల వద్ద స్థిరంగా ఉంచి, ఒక పెన్సిల్ సహాయంతో దారాన్ని బిగువుగా ఉండేలా కదిలిస్తుంటే పెన్సిల్ కొన దీర్ఘవృత్తాన్ని చిత్రీకరిస్తుంది. కాబట్టి, రెండు స్థిరబిందువుల మధ్యదూరం K కంటే తక్కువ అయినప్పుడు ఆ రెండు స్థిర బిందువుల నుంచి దూరాల మొత్తం K (స్థిరం) అయ్యేలా చలించే బిందువు బిందుపథంగా దీర్ఘవృత్తాన్ని నిర్వచించారు.
* x = acosθ, y = bsinθ సమీకరణాలను పరామితీయ సమీకరణాలు అని, 'θ' ను పరామితి అని అంటారు. అంటే
( x, y ) = ( acosθ, bsinθ ) బిందువు దీర్ఘవృత్తంపై ఉంటుందని ధ్రువీకరించవచ్చు. సమస్యల సాధనల విషయం గురించి ఆలోచిస్తే, దీర్ఘవృత్త సమీకరణం కనుక్కోవాలంటే a, b, e ల విలువలు గణించాలి.
      దీర్ఘవృత్తానీకీ P ( x1 ,y1) వద్డ గీసిన
i)   స్పర్శరేఖ సమీకరణం  = బాహ్య బిందువైతే
ii)  స్పర్శ జ్యా సమీకరణం =      మరియు
iii)  ధ్రువరేఖా సమీకరణం  =   
* పైన తెలిపిన ఈ మూడు సమీకరణాలు S1 = 0 అని గమనించవచ్చు. కానీ ఇవి వేర్వేరు పేర్లతో ఉన్నాయి.
* దీర్ఘవృత్తం ఒక్కటే కానీ P( x₁ , y₁ ) యొక్క స్థానం మారుతోంది. P( x₁ , y₁ ) బిందువు S = 0 దీర్ఘవృత్తంపై ఉంటే ఈ మూడూ ఏకీభవిస్తాయి.
* దీర్ఘాక్షం వ్యాసంగా ఉన్న వృత్తాన్ని దీర్ఘవృత్తపు ''అనుబంధ వృత్తం (సహాయక వృత్తం)'' అంటారు. మరియు S = 0 దీర్ఘవృత్తానికి x2 + y2 = a2 +  b2 ను ''నియత వృత్తం'' అంటారు. దీర్ఘవృత్తపు కేంద్రం, నియతవృత్త కేంద్రం మరియు నియతవృత్త వ్యాసార్ధం అవుతుంది.

Conceptual learning
* ఒక దీర్ఘవృత్త దీర్ఘాక్షం Y - అక్షం, హ్రస్వాక్షం X - అక్షం అయితే దాని సమీకరణం

అవుతుంది. 
* (a² > b²) ఈ దీర్ఘవృత్తాన్ని ''ఊర్ధ్వాభిముఖ దీర్ఘవృత్తం'' (Vertical Ellipse) అంటారు. 
* ( x₁ , y₁ ) ఒక నాభిగా, lx  +  my  +  n  =  0 దాని అనుగుణ నియతరేఖగా ఉన్న దీర్ఘవృత్త సమీకరణం
* (l₂+m₂) [(x - x₁)²+ (y - y₁)²]  =  e² (lx + my + n)² అవుతుంది. 
అనే దీర్ఘవృత్తపు దీర్ఘాక్షం శీర్షాలు వ్యాసాగ్రాలుగా నిర్మించిన వృత్తాన్ని దీర్ఘ సహాయక వృత్తం (Major Auxiliary Circle) అంటారు. అదే విధంగా అనే దీర్ఘవృత్తపు హ్రస్వాక్షం మీది శీర్షాలు వ్యాసాగ్రాలుగా నిర్మించిన వృత్తాన్ని హ్రస్వ సహాయక వృత్తం (Minor Auxiliary Circle) అంటారు.

¤    y = mx+c సరళరేఖ  అనే దీర్ఘవృత్తానికి స్పర్శరేఖ కావడానికి c² = a²m² + b²కావాలి
¤    lx + my +n =0 సరళరేఖ అనే దీర్ఘవృత్తానికి స్పర్శరేఖ కావడానికి a² -  l² + b²m²  =  n²కావాలి.
¤    xcosθ + ysinθ  = p సరళరేఖ  అనే దీర్ఘవృత్తానికి స్పర్శరేఖ కావడానికి  కావాలి .
¤    దీర్ఘవృత్తం యొక్క స్పర్శరేఖకు లంబంగా స్పర్శబిందువు ద్వారా వెళ్లే రేఖను దీర్ఘవృత్తపు 'అభిలంబరేఖ' అంటారు.