1. దీర్ఘాక్షం పొడవు 8, ఉత్కేంద్రత e = 1/2 గా ఉన్న దీర్ఘ వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన :  దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 8       ∴ a = 4   e = 1/2 

కానీ b²  =  a² ( 1 - e² ) ⇒ b² = 16     ∴ b² = 12

 ∴ దీర్ఘవృత్త సమీకరణం =   లేదా  3x² + 4y² = 48.

2. ఒక దీర్ఘవృత్తం నాభుల మధ్య దూరం 6, హ్రస్వాక్షం పొడవు 8, అయితే దాని ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి

సాధన :   హ్రస్వాక్షం పొడవు  = 2b = 8             ∴ b = 4

నాభుల మధ్య దూరం   =   2ae   =   6   ⇒   ae   =   3         ∴ a²e²  = 9

కానీ  a²e²  =  9  =  a² - b²  =  a² - 16       ∴ a²  =  25 ⇒ a = 5

ae = 3 లో a = 5 రాస్తే ఉత్కేంద్రత e = 3/5

3.  అనే దీర్ఘవృత్తం నాభుల మధ్య దూరం దాని హ్రస్వాక్షం పొడవుకు సమానమైతే దాని ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.

సాధన :  నాభుల మధ్యదూరం  =  హ్రస్వాక్షం పొడవు

4.  ఒక దీర్ఘవృత్తపు దీర్ఘాక్షం పొడవు హ్రస్వాక్షానికి మూడురెట్లు అయితే దాని ఉత్కేంద్రత ఎంత ?

సాధన : దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 3 ( హ్రస్వాక్షం పొడవు ) = 3 ( 2b )

5.  ఒక దీర్ఘవృత్తం హ్రస్వాక్షపు శీర్షాలు వ్యాసాగ్రాలుగా ఉన్న వృత్తంపై దాని నాభులుంటే, ఆ దీర్ఘవృత్తపు ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.

సాధన : వృత్త సమీకరణం x² + y² = b²  (ae ,  0)  దీనిపై ఉంటుంది.

6. దీర్ఘాక్షం పొడవు 8, నియతరేఖల మధ్యదూరంగా ఉన్న దీర్ఘవృత్త సమీకరణం తెలపండి.

సాధన : దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 8    ∴ a = 4

7. x + 4y = 4 అనే సరళరేఖకు x² + 4y² = 4 అనే దీర్ఘవృత్తం దృష్ట్యా ధ్రువ నిరూపకాలు కనుక్కోండి.

సాధన :  ధ్రువ నిరూపకాలు

8.  ఒక దీర్ఘవృత్తపు అక్షాలు నిరూపకాక్షాలు. ఒక నాభి (4, 0). దాని ఉత్కేంద్రత 4/5 అయితే ఆ దీర్ఘవృత్త సమీకరణం కనుక్కోండి.

సాధన : ae = 4,   e = 4/5 ⇒ a  =  5

9.  9x² + 5y² - 18x - 20y - 16 = 0 అనే దీర్ఘవృత్తం ఉత్కేంద్రత ఎంత ?

సాధన :  దత్త సమీకరణాన్ని  9 (x - 1)²  +  5 (y - 2)²  = 45 గా రాయవచ్చు.

10. ప్రామాణిక రూపంలో దీర్ఘవృత్తపు నాభిలంబ పొడవు దీర్ఘాక్షం పొడవులో సగం ఉంటే ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.

సాధన  :   దీర్ఘవృత్తపు నాభి లంబం పొడవు = 

దీర్ఘాక్షం పొడవు  =  2a

14. 9x² + 16y² - 36x + 32y - 92  =  0 సూచించే దీర్ఘవృత్తానికి ఉత్కేంద్రత, నాభుల నిరూపకాలు, నాభిలంబం పొడవు, నియత రేఖా సమీకరణాలు కనుక్కోండి.

సాధన:   9x² + 16y² - 36x  +  32y  -  92  =  0

               9( x² - 4x  + 4 )  +  16( y² +  2y + 1 )  =  92  +  36  +  16

               9(x - 2)²  +  16 ( y + 1 )2  =  144

15. ఒకటో పాదంలో నాభి లంబాగ్రం వద్ద 9x² + 16y²  = 144 దీర్ఘవృత్తానికి స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.

సాధన: 9x²  +  16y²  = 144