* తలంలో ఒక బిందువు నుంచి, స్థిర బిందువుకు దూరం, స్థిర బిందువు ద్వారా పోని ఒక స్థిరరేఖకు ఉన్న దూరాల నిష్పత్తి స్థిరసంఖ్య అయితే, ఆ బిందువు బిందుపథాన్ని ''శాంకవం" అంటారు.
 = స్థిరసంఖ్య అయితే P బిందుపథం శాంకవం అవుతుంది. 
S = నాభి, స్థిరరేఖను S కు అనుగుణంగా ఉన్న నియతరేఖ అనీ,
స్థిరనిష్పత్తిని 'ఉత్కేంద్రత' అనీ అంటాము. దాన్ని 'e' తో సూచిస్తాం. 
e = 1 అయితే ఆ శాంకవం ''పరావలయాన్ని'', 
e < 1 అయితే ఆ శాంకవం ''దీర్ఘవృత్తాన్ని'',
e > 1 అయితే ఆ శాంకవం ''అతిపరావలయాన్ని'' సూచిస్తుంది. 
* పరావలయానికి ఒకే ఒక నియతరేఖ ఉంటుంది. కానీ దీర్ఘ వృత్తానికి వెలుపల రెండు నియత రేఖలు, అతి పరావలయానికి శీర్షాల మధ్యన రెండు నియతరేఖలు ఉంటాయి.

పరావలయానికి ఒకే ఒక నాభి ఉంటే, దీర్ఘవృత్తానికి, అతిపరావలయానికి రెండేసి చొప్పున నాభిలు ఉంటాయి.

కేంద్రం = c = (0, 0).
      ఇక్కడ b² = a²(e²-1)       e = ఉత్కేంద్రత > 1 
* X -  అక్షాన్ని తిర్యక్ అక్షం అనీ,   Y - అక్షాన్ని  సంయుగ్మాక్షం   అనీ అంటాం.  అతిపరావలయ  శీర్షాలు 
* A = (a, 0), A' = (-a, 0). దీనికి ఉన్న రెండు నాభులు  S = (ae, 0),  S' = (-ae, 0),  S(ae, 0) కు అనుగుణంగా ఉన్న నియతరేఖా సమీకరణం
x =   S' (-ae, 0)  కు అనుగుణంగా ఉన్న
నియతరేఖా సమీకరణం x = - 
      ఉత్కేంద్రత = e  

* వక్రం సంవృత వక్రం కాదు. A , A'  శీర్షాల మధ్య వక్రం లేదు. ఇది  X-అక్షానికి  Y- అక్షానికి సౌష్ఠవంగా ఉంటుంది.

లంబ అతిపరావలయం:  (Rectangular Hyperbola): 
- 1= 0  లో b = a రాస్తే/అయితే x² - y² = a²కూడా ఒక అతిపరావలయాన్ని సూచిస్తుంది.  దీన్నే లంబ అతిపరావలయం అంటాం.
      దీని ఉత్కేంద్రత =  

* అతిపరావలయ కేంద్రం (0, 0) ను (h, k) వద్దకు మార్చి సమాంతర అక్షపరివర్తనం జరిపితే ఏర్పడే రూపాంతీకరణ ఫలితాల పట్టిక .

అతిపరావలయం, ఉత్కేంద్రతల మధ్య సంబంధం:

 

1. ఒక అతిపరావలయపు నియతరేఖల మధ్య దూరం 4. ఉత్కేంద్రత  అయితే, మూలబిందువు కేంద్రంగా, తిర్యక్ అక్షం y-అక్షంగా ఉన్న అతిపరావలయ సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
 సాధన:    కావలసిన అతిపరావలయ సమీకరణం =  = 1 అనుకుందాం.

(రెండు స్థిరబిందువుల నుంచి ఒక చలన బిందువుకు ఉన్న దూరాల తేడా యొక్క పరమమూల్యం ఒక స్థిరసంఖ్య అయితే, ఆ బిందువు బిందుపథం అతిపరావలయం అవుతుంది)

3. ఒక అతిపరావలయ తిర్యక్ అక్షం పొడవు 2 sinθ. దీని నాభి నిరూపకాలు 3x² + 4y² = 12 అనే దీర్ఘ వృత్తపు నాభి నిరూపకాలకు సమానమైతే, ఆ అతిపరావలయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
   సాధన: తిర్యక్  అక్షం  పొడవు = 2a  = 2  sinθ      a = sinθ.

4. అనే దీర్ఘవృత్తపు నాభి ఒక అతిపరావలయం మీది బిందువు. ఈ దీర్ఘవృత్త దీర్ఘాక్ష,  హ్రస్వాక్షాలే అతిపరావలయం యొక్క తిర్యక్, సంయుగ్మాక్షాలు. దీర్ఘవృత్తపు, అతిపరావలయపు ఉత్కేంద్రతల లబ్ధం '1'  అయితే ఆ అతి పరావలయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. 
      

* S= 0 అతిపరావలయంపై ఏదైనా బిందువు (a secθ  , b tanθ)ను P(θ)తో సూచిస్తే x = a secθ  , y= b tan θ లను పరామితీయ సమీకరణాలు అంటారు.
* S = 0 అతిపరావలయ నాభి లంబాగ్రాలు   , నాభిలంబం పొడవు =
* S= 0 అతిపరావలయంపై P(x1,y1) వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణం S1= 0 
     

* S= 0 అతిపరావలయంపై  'θ' వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణం =  
* S= 0 అతిపరావలయంపై  'θ' వద్ద  అభిలంబ సమీకరణం
* S= 0 అతిపరావలయానికి y= mx+c  స్పర్శరేఖ అయ్యేందుకు c² = a²m² - b²
* S= 0 అతిపరావలయం నిరూపకాక్షాలతో  సౌష్ఠవంగా ఉంటుంది.
    కాబట్టి   y  = x  లు అనంత స్పర్శరేఖలు అవుతాయి.
* 4x² - 9y² - 8x - 32 = 0 సూచించే అతిపరావలయానికి కేంద్రం, నాభులు, నియతరేఖా సమీకరణాలు, నాభి లంబం పొడవులను కనుక్కోండి.
                 సాధన: 4x²- 9y²- 8x- 32 = 0
                 =  4(x²- 2x)- 9y² = 32
                 =  4(x²- 2x +1)- 9y² = 32 + 4
                 =  4(x- 1)2 - 9y² = 36
               
              కేంద్రం = C = (h, k) = (1, 0) 
             అర్ధతిర్యక్ అక్షం పొడవు = a = 3 
             అర్ధతిర్యక్ సంయుగ్మాక్షం పొడవు = b = 2