• facebook
  • twitter
  • whatsapp
  • telegram

వర్గ సమాసాలు

ముఖ్యమైన ప్రశ్నలు

1. x+ bx + c = 0, x+ cx + b = 0 (b, c) లకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే, అప్పుడు b + c + 1 = 0 అని చూపండి.

సాధన: α ఉమ్మడి మూలం అనుకుంటే
                aα2 + bα + c = 0  ..............  (1)
               a α2 + cα + b = 0   ............. (2)
     (1) - (2) ⇒
                      (b-c)α + (c-b) = 0      ⇒   α = 1
           (1) ⇒ 12 + b (1) + c = 0   ⇒   b + c + 1 = 0

2. 3x+ 7x + 2 = 0 సమీకరణ మూలాల స్వభావాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన: ఇక్కడ a = 3, b = 7, c = 2
                      Δ = b2-4ac
                      = 49-4(3)(2)  = 25 = 52
          ⇒  దత్త సమీకరణ మూలాలు విభిన్న అకరణీయ సంఖ్యలు .

3. x వాస్తవ సంఖ్య అయితే, x- 5x + 4 వర్గసమాస గుర్తులను చర్చించండి.

సాధన:  x- 5x + 4 = (x - 1) (x - 4)   a = 1 > 0, మూలాలు 1, 4 
            x < 1 లేదా x > 4  అయితే x- 5x + 4 > 0
            1 < x < 4 అయితే x- 5x + 4 < 0

4. ax+ bx + c = 0 సమీకరణ మూలాలు α, β అయితే  సమాసాల విలువలను a, b, c ల్లో కనుక్కోండి.

సాధన: దత్త సమీకరణ మూలాలు α, β కాబట్టి α + β = -b/a; αβ = c/a
                        

5. (x-a) (x-b) = h2 సమీకరణం మూలాలు ఎప్పుడూ వాస్తవ సంఖ్యలేనని నిరూపించండి.

సాధన: దత్త సమీకరణ  (x - a) (x - b) = h2
                     ⇒  x2-(a + b)x + ab = h2
                      ⇒ x2-(a + b)x + (ab - h2) = 0
                     Δ = (a + b)2-4(1)(ab - h2)
                         = (a - b)2 + (2h)2 > 0
                      ⇒ మూలాలు వాస్తవాలు.

6. 15 + 4x - 3x2 సమాస గుర్తుల్లో మార్పులను కనుక్కోండి. సమాస అంత్య విలువను కనుక్కోండి.

సాధన: 15 + 4x - 3x2 = (3 - x) (5 + 3x)
           a = -3 < 0; మూలాలు - , 3
   < x < 3  అయితే 15 + 4x - 3x2 > 0
            x <    లేదా x > 3  అయితే 15 + 4x - 3x2< 0
          

7. మూలాల మొత్తం 1గా, మూలాల వర్గాల మొత్తం 13 గా ఉండే సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన: కావాల్సిన సమీకరణ మూలాలు α, β అనుకుంటే 
           అప్పుడు α + β = 1, α2 + β2 =13
            αβ = 1/2 [(α + β)2 -(α2 + β2)] = 1/2 [(1)2-13] = -6
            ... అందువల్ల కావాల్సిన సమీకరణం x2- (α + β) x+ αβ = 0, x2-x-6 = 0 అవుతుంది.

8. ఏయే 'm' విలువలకు (m+1) x2 + 2(m+3)x + (m+8) = 0 సమీకరణ మూలాలు సమానమవుతాయి.

సాధన: దత్త సమీకరణ మూలాలు సమానం కాబట్టి విచక్షణి Δ = 0. i.e. b2 - 4ac = 0
          ఇక్కడ   a = m+1, b = 2(m+3), c = m+8
                 ...  Δ = 0 ⇒ [2(m+3)]2 - 4 (m+1) (m+8) = 0
      ⇒ 4 (m2+9+6m) - 4 (m2+9m+8) = 0   ⇒  -12m + 4 = 0    ⇒   m = 1/3.

9. ax2+bx+c = 0 వర్గ సమీకరణం ఒక మూలం మరో మూలానికి n రెట్లు (n ధనపూర్ణ సంఖ్య) కావడానికి నియమం కనుక్కోండి?

సాధన: దత్త సమీకరణ మూలాలు α, nα అనుకోండి.

            మూలాల మొత్తం: α + nα 

           మూలాల లబ్ధం:  (αα) (nα)

          nb2 = ac (n+1)2

4 మార్కుల ప్రశ్నలు

1. x వాస్తవ సంఖ్య అయితే  విలువ 1, 4ల మధ్య ఉండదని నిరూపించండి.
సాధన: y =  
అనుకోండి. 
            
           ⇒ (3x2 + 4x +1)y = 4x+1
           ⇒ 3yx2 + (4y-4)x + (y-1) = 0
  x ∊
 R ⇒ (4y-4)2 - 4(3y) (y-1) 0
            ⇒ 16y2 + 16 - 32y - 12y2 + 12y 0
            ⇒ 4y2 - 20y + 16 0
           ⇒  y2-5y + 4 0
            ⇒ (y-1) (y-4) 0
       y2-5y+4 = 0 మూలాలు 1, 4
       y2  గుణకం = 1 > 0;  సమాస గుర్తు 0
      కాబట్టి y విలువ 1, 4 మధ్య ఉండదు.

 

2. R లో ప్రతి x కి  సమాసం వాస్తవమైతే, అప్పుడు p అవధులను కనుక్కోండి.
 

  సాధన: y = అనుకోండి. 
    ⇒ x2y + (-3y - 1)x + (2y + p) = 0
     x ∊
 R  ⇒  (-3y - 1)2 - 4(y) (2y + p) 0
            ⇒ 9y2+1  +  6y - 8y2 - 4py 0
           ⇒  y2 + (6-4P)y +1 0
                y వాస్తవం, y2 + (6 - 4p)y + 1 0
మూలాలు వాస్తవాలు, సమానం
                   ⇒ (6-4p)2 - 4(1) (1) 0
                  ⇒ 36+16p2 - 48p-4 0
                  ⇒16p2 - 48p + 32 0       ⇒ p2 - 3p + 2 0        ⇒ (p-1) (p-2) 0
           p2-3p+2 = 0 మూలాలు 1, 2     
          p2 గుణకం  = 1 > 0; సమాస గుర్తు 0
               కాబట్టి 1 < p < 2.     p = 1, p = 2 అయితే
 నిర్వచించబడదు.

 

3. c≠ ab అయ్యి, (c2-ab)x2 - 2 (a2-bc)x + (b2-ac) = 0 సమీకరణ మూలాలు సమానమైతే, అప్పుడు a3+b3+c3= 3abc లేదా a = 0  అని చూపండి.
సాధన: దత్త సమీకరణానికి సమాన మూలాలు ఉన్నాయి. 
          విచక్షణి Δ = b2 - 4ac = 0
      ⇒ [-2(a- bc)]2 - 4 (c- ab) (b- ac) = 0
      ⇒ 4(a+ b2c2 - 2a2bc) - 4 (c2b2 - ac3 - ab+ a2bc) = 0
      ⇒  a+ ab+ ac3 - 3a2bc = 0
      ⇒ a (a+ b+ c3 - 3abc) = 0
      ⇒  a = 0 లేదా  a+ b+ c3 - 3abc = 0
      ⇒ a = 0 లేదా a+ b+ c3 = 3abc

Posted Date : 08-09-2021

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

ప్రత్యేక కథనాలు

మరిన్ని

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

మరిన్ని
 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌