ముఖ్యమైన ప్రశ్నలు
1. x2 + bx + c = 0, x2 + cx + b = 0 (b, c) లకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే, అప్పుడు b + c + 1 = 0 అని చూపండి.
సాధన: α ఉమ్మడి మూలం అనుకుంటే
aα2 + bα + c = 0 .............. (1)
a α2 + cα + b = 0 ............. (2)
(1) - (2) ⇒
(b-c)α + (c-b) = 0 ⇒ α = 1
(1) ⇒ 12 + b (1) + c = 0 ⇒ b + c + 1 = 0
2. 3x2 + 7x + 2 = 0 సమీకరణ మూలాల స్వభావాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: ఇక్కడ a = 3, b = 7, c = 2
Δ = b2-4ac
= 49-4(3)(2) = 25 = 52
⇒ దత్త సమీకరణ మూలాలు విభిన్న అకరణీయ సంఖ్యలు .
3. x వాస్తవ సంఖ్య అయితే, x2 - 5x + 4 వర్గసమాస గుర్తులను చర్చించండి.
సాధన: x2 - 5x + 4 = (x - 1) (x - 4) a = 1 > 0, మూలాలు 1, 4
x < 1 లేదా x > 4 అయితే x2 - 5x + 4 > 0
1 < x < 4 అయితే x2 - 5x + 4 < 0
4. ax2 + bx + c = 0 సమీకరణ మూలాలు α, β అయితే సమాసాల విలువలను a, b, c ల్లో కనుక్కోండి.
సాధన: దత్త సమీకరణ మూలాలు α, β కాబట్టి α + β = -b/a; αβ = c/a
5. (x-a) (x-b) = h2 సమీకరణం మూలాలు ఎప్పుడూ వాస్తవ సంఖ్యలేనని నిరూపించండి.
సాధన: దత్త సమీకరణ (x - a) (x - b) = h2
⇒ x2-(a + b)x + ab = h2
⇒ x2-(a + b)x + (ab - h2) = 0
Δ = (a + b)2-4(1)(ab - h2)
= (a - b)2 + (2h)2 > 0
⇒ మూలాలు వాస్తవాలు.
6. 15 + 4x - 3x2 సమాస గుర్తుల్లో మార్పులను కనుక్కోండి. సమాస అంత్య విలువను కనుక్కోండి.
సాధన: 15 + 4x - 3x2 = (3 - x) (5 + 3x)
a = -3 < 0; మూలాలు - , 3
< x < 3 అయితే 15 + 4x - 3x2 > 0
x < లేదా x > 3 అయితే 15 + 4x - 3x2< 0
7. మూలాల మొత్తం 1గా, మూలాల వర్గాల మొత్తం 13 గా ఉండే సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: కావాల్సిన సమీకరణ మూలాలు α, β అనుకుంటే
అప్పుడు α + β = 1, α2 + β2 =13
αβ = 1/2 [(α + β)2 -(α2 + β2)] = 1/2 [(1)2-13] = -6
... అందువల్ల కావాల్సిన సమీకరణం x2- (α + β) x+ αβ = 0, x2-x-6 = 0 అవుతుంది.
8. ఏయే 'm' విలువలకు (m+1) x2 + 2(m+3)x + (m+8) = 0 సమీకరణ మూలాలు సమానమవుతాయి.
సాధన: దత్త సమీకరణ మూలాలు సమానం కాబట్టి విచక్షణి Δ = 0. i.e. b2 - 4ac = 0
ఇక్కడ a = m+1, b = 2(m+3), c = m+8
... Δ = 0 ⇒ [2(m+3)]2 - 4 (m+1) (m+8) = 0
⇒ 4 (m2+9+6m) - 4 (m2+9m+8) = 0 ⇒ -12m + 4 = 0 ⇒ m = 1/3.
9. ax2+bx+c = 0 వర్గ సమీకరణం ఒక మూలం మరో మూలానికి n రెట్లు (n ధనపూర్ణ సంఖ్య) కావడానికి నియమం కనుక్కోండి?
సాధన: దత్త సమీకరణ మూలాలు α, nα అనుకోండి.
మూలాల మొత్తం: α + nα
మూలాల లబ్ధం: (αα) (nα)
nb2 = ac (n+1)2
4 మార్కుల ప్రశ్నలు
1. x వాస్తవ సంఖ్య అయితే విలువ 1, 4ల మధ్య ఉండదని నిరూపించండి.
సాధన: y = అనుకోండి.
⇒ (3x2 + 4x +1)y = 4x+1
⇒ 3yx2 + (4y-4)x + (y-1) = 0
x ∊ R ⇒ (4y-4)2 - 4(3y) (y-1) ≥ 0
⇒ 16y2 + 16 - 32y - 12y2 + 12y ≥ 0
⇒ 4y2 - 20y + 16 ≥ 0
⇒ y2-5y + 4 ≥ 0
⇒ (y-1) (y-4) ≥ 0
y2-5y+4 = 0 మూలాలు 1, 4
y2 గుణకం = 1 > 0; సమాస గుర్తు ≥ 0
కాబట్టి y విలువ 1, 4 మధ్య ఉండదు.
2. R లో ప్రతి x కి సమాసం వాస్తవమైతే, అప్పుడు p అవధులను కనుక్కోండి.
సాధన: y = అనుకోండి.
⇒ x2y + (-3y - 1)x + (2y + p) = 0
x ∊ R ⇒ (-3y - 1)2 - 4(y) (2y + p) ≥ 0
⇒ 9y2+1 + 6y - 8y2 - 4py ≥ 0
⇒ y2 + (6-4P)y +1 ≥ 0
y వాస్తవం, y2 + (6 - 4p)y + 1 ≥ 0
మూలాలు వాస్తవాలు, సమానం
⇒ (6-4p)2 - 4(1) (1) ≤ 0
⇒ 36+16p2 - 48p-4 ≤ 0
⇒16p2 - 48p + 32 ≤ 0 ⇒ p2 - 3p + 2 ≤ 0 ⇒ (p-1) (p-2) ≤ 0
p2-3p+2 = 0 మూలాలు 1, 2
p2 గుణకం = 1 > 0; సమాస గుర్తు ≤ 0
కాబట్టి 1 < p < 2. p = 1, p = 2 అయితే నిర్వచించబడదు.
3. c2 ≠ ab అయ్యి, (c2-ab)x2 - 2 (a2-bc)x + (b2-ac) = 0 సమీకరణ మూలాలు సమానమైతే, అప్పుడు a3+b3+c3= 3abc లేదా a = 0 అని చూపండి.
సాధన: దత్త సమీకరణానికి సమాన మూలాలు ఉన్నాయి.
విచక్షణి Δ = b2 - 4ac = 0
⇒ [-2(a2 - bc)]2 - 4 (c2 - ab) (b2 - ac) = 0
⇒ 4(a4 + b2c2 - 2a2bc) - 4 (c2b2 - ac3 - ab3 + a2bc) = 0
⇒ a4 + ab3 + ac3 - 3a2bc = 0
⇒ a (a3 + b3 + c3 - 3abc) = 0
⇒ a = 0 లేదా a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
⇒ a = 0 లేదా a3 + b3 + c3 = 3abc