1. (n+1)P5 . nP6 = 2 : 7 అయితే n విలువ కనుక్కోండి.
2. ఆరుగురు బాలురు, అయిదుగురు బాలికలను ఒక వరుసలో
(i) బాలికలందరు ఒకే చోట ఉండేలా
(ii) ఏ ఇద్దరు బాలికలు పక్కపక్కన లేకుండా
(iii) బాలురు, బాలికలు ఒకరి తర్వాత ఒకరు వచ్చేలా (ఏకాంతరంగా)
(iv) ఏ ఇద్దరు బాలురు పక్కపక్కన రాకుండా ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు?
జవాబు: (i)
బాలికలందరూ ఒకేచోట ఉండాలి. కాబట్టి అయిదుగురు బాలికలను ఒక యూనిట్ అనుకుందాం. మిగిలిన ఆరుగురు బాలురు. ఈ యూనిట్లు మొత్తం 7 అవుతాయి. ఈ ఏడింటిని ఒక వరుసలో 7! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. ఇప్పుడు ఒక యూనిట్లో ఉన్న అయిదుగురు బాలికలను వారిలో వారిని 5! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
బాలికలందరూ ఒకేచోట ఉండేలా ఒక వరుసలో అమర్చే విధాల సంఖ్య = (7!) (5!)
(ii) ఏ ఇద్దరు బాలికలూ పక్కపక్కన లేకుండా ముందుగా ఆరుగురు బాలురను ఒక వరసలో 6! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
ఇప్పుడు బాలురి మధ్యలో 5, మొదటిది, చివరిది మొత్తం 7 ఖాళీ స్థానాలు ఉంటాయి. ఈ 7 ఖాళీల్లో అయిదుగురు బాలికలను 7P5 విధాలుగా అమర్చవచ్చు. కాబట్టి ఏ ఇద్దరు బాలికలు పక్కపక్కన లేకుండా
అమర్చే విధానాల సంఖ్య 6! × 7P5
(iii)
ఆరుగురు బాలురు, అయిదుగురు బాలికలు ఒకరి తర్వాత ఒకరు వచ్చేలా ఒక వరుస క్రమంలో అమర్చే విధానాల సంఖ్య = 6!.5!
(iv)
అయిదుగురు బాలికలను అమర్చగల విధానాలు = 5!
ఆరుగురు బాలురను అమర్చగల విధానాల సంఖ్య = 6!
మొత్తం విధానాలు = 5!.6!
3. 1, 2, 4, 5, 6 అంకెలతో ఏర్పరచగలిగే 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుక్కోండి. (పునరావృతం కాకుండా).
సాధన: 4P3 (1 + 2 + 4 + 5 + 6) (1 + 10 + 100 + 1000)
= 4P3 (18) (1111)
= 4,79,952
4. 'VICTORY' అనే పదంలోని అన్ని అక్షరాలను ఉపయోగించి ప్రస్తారించడం వల్ల వచ్చే పదాలను నిఘంటువు క్రమంలో రాస్తే ఆ వరుసలో 'VICTORY' పదం కోడ్ని కనుక్కోండి
సాధన: దత్తపదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమం C, I, O, R, T, V, Y
ఇప్పుడు అమరికలు
C - - - - - - = 6! = 7 20
I - - - - - - = 6! = 720
O - - - - - - = 6! = 720
R - - - - - - = 6! = 720
T - - - - - - = 6! = 720
VC - - - - - = 5! = 120
VIOC - - - = 3! = 006
VICR - - - = 3! = 006
VICTORY = 1! = 001
VICTORY పదం కోడ్ 3733
5. INDEPENDENCE పదంలోని అక్షరాలను ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన: INDEPENDENCE లో 12 అక్షరాలు ఉన్నాయి. వీటిలో I ఒకసారి N మూడుసార్లు, D రెండుసార్లు E నాలుగుసార్లు, P ఒకసారి, C ఒకసారి వచ్చాయి.
6. nPr = 5040, nCr = 210 అయితే n, r లను కనుక్కోండి.
సాధన: nPr = r! nCr 5040 = r!. 210
⇒ 24 = r! ... r = 4
nP4 = 5040 = 10.9.8.7
... n = 10
7. 3 ≤ r ≤ n కు (n-3)Cr + 3. (n-3)C(r-1) + 3.(n-3)C(r-2) + (n-3)C(r-3) = nCrఅని నిరూపించండి
సాధన : L.H.S = (n-3)Cr + (n-3)C(r − 1) + 2.[(n-3) C(r-1) + (n-3)C(r-2)]
+ (n-3)C(r-2) + (n-3)C(r-3)
= (n-2)Cr + 2 [(n-2)C(r-1)] + (n-2)C(r-2)
= [(n-2)Cr + (n-2)C(r-1)] + [(n-2)C(r-1) + (n-2)C(r-2)]
= (n-1)Cr + (n-1)C(r-1)
= nCr = R.H.S.
8. ఆరుగురు భారతీయులు, అయిదుగురు అమెరికా దేశస్థుల నుంచి అయిదుగురు సభ్యులున్న కమిటీని, ఆ కమిటీలో భారతీయుల సంఖ్య పెద్దగా ఉండేలా ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు?
సాధన :
మొత్తం విధానాలు = 6C3 . 5C2 + 6C4 .5C1 + 6C5 . 5C0
= (20)(10) + (15)(5) + (6)(1)
= 200 + 75 + 6 = 281