3. (-1 + i ) 3n + (-1 - i ) 3n = (-1)3n 23n+1 cos nπ అని చూపండి.
జ: L.H.S = (-1 + i ) 3n + (-1 - i ) 3n
= [-1 (1 - i )] 3n + [-1 (1 + i )] 3n
= (-1)3n [(1 - i) 3n + (1 + i )3n]
1 + i యొక్క మాప - ఆయామ రూపం కనుక్కుందాం.
1 + i = x + iy అనుకుందాం.
x = 1 y =
4. 'n' అనేది ఒక ధనపూర్ణాంకమైతే
జ: p + iq = r (cosθ + i sinθ) అనుకుందాం.
అప్పుడు, r cosθ = p ....... (1) r sinθ = q ....... (2)
(1)2 + (2)2
⇒ r 2 cos2θ + r 2 sin2θ = p2 + q2
⇒ r 2 = p2 + q2
9. cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β + sin γ అయితే
i. cos 3α + cos 3β + cos 3 γ = 3 cos(α + β + γ)
ii. sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3 sin(α + β + γ) అని చూపండి.
సాధన : ఇచ్చినది: cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β + sin γ .................(1)
a = cos α + i sin α = cis α
b = cos β + i sin β = cis β
c = cos γ + i sin γ = cis γ అనుకుందాం.
ఇప్పుడు , a + b + c = (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ)
a + b + c = (cos α + cos β + cos γ) + i (sin α + sin β + sin γ)
a + b + c = 0 + i(0) [ (1) నుంచి]
a + b + c = 0
a3 + b3 + c3 = 3abc
(cos α + i sin α)3 + (cos β + i sin β)3 + (cos γ + i sin γ)3 = 3 cis α cis β cis γ
(cos 3α + i sin 3α) + (cos 3β + i sin 3β) + (cos 3γ + i sin 3γ) = 3 cis (α + β + γ )
(cos 3α + cos 3β + cos 3γ) + i(sin 3α + sin 3β + sin 3γ) = 3[cos (α + β + γ)
+ i sin (α + β + γ)]
ఇరువైపులా వాస్తవ, కల్పిత భాగాలను పోల్చగా
i. cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos (α + β + γ)
ii. sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3 sin(α + β + γ)
10. cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β + sin γ అయితే
i. cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 3/2
ii. sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2/3 అని చూపండి.
సాధన : ఇచ్చినది : cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β + sin γ ........ (1)
a = cos α + i sin α = cos α - i sin α
b = cos β + i sin β = cos β - i sin β
c = cos γ + i sin γ = cos γ - i sin γ అనుకుందాం.
a + b + c = 0 అని మనకు తెలుసు.
(a + b + c)2 = 0
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = 0
a2 + b2 + c2 = - 2ab - 2bc - 2ca
a2 + b2 + c2 = -2abc [1/c + 1/a + 1/b]
(cos α + i sin α)2 + (cos β + i sin β)2 + (cos γ + i sin γ)2
= -2abc [(cos γ - i sin γ) + (cos α - i sin α) + (cos β - i sin β)]
(cos 2α + i sin 2α) + (cos 2β + i sin 2β) + (cos 2γ + i sin 2γ)
= -2abc [(cos α + cos β + cos γ) - i(sin α + sin β + sin γ)]
(cos 2α + cos 2β + cos 2γ) + i(sin 2α + sin 2β + sin 2γ)
= -2abc [0 - i (0)] [ (1) నుంచి]
(cos 2α + cos 2β + cos 2γ) + i(sin 2α + sin 2β + sin 2γ) = 0 = 0 + i (0)
ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను సమానం చేయగా
cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 0
⇒ 2cos2 α - 1 + 2cos2 β - 1 + 2cos2 γ - 1 = 0
⇒ 2(cos2 α + cos2 β + cos2 γ) = 3
⇒ (i) cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 3/2
⇒ 1 - sin2 α + 1 - sin2 β + 1 - sin2 γ = 3/2
⇒ sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 3 - 3/2
⇒ (ii) sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 3/2
11. α, βలు x2 - 2x + 4 = 0 అనే సమీకరణం యొక్క మూలాలయితే αn + βn = 2n+1 cos nπ/3 అని నిరూపించండి.
సాధన : ఇచ్చిన సమీకరణం : x2 - 2x + 4 = 0
(ii) ⇒ ab = cis α . cis β
⇒ ab = cis (α + β)
⇒ ab = cos (α + β) + i sin (α + β)
15. z = cos θ + i sin θ, అయితే అని చూపండి.
ఇదేవిధంగా, y = cos β ± i sin β
మరియు z = cos γ ± i sin γ
xyz = (cos α ± i sin α) (cos β ± i sin β) (cos γ ± i sin γ)
xyz = cis (α ± β ± γ)
xyz = cos (α ± β ± γ) + i sin (α ± β ± γ) .................... (1)
17. x11 − x7 + x4 − 1 = 0 అనే సమీకరణాన్ని సాధించండి.
జ: ఇచ్చినది : x11 − x7 + x4 − 1 = 0
x7(x4 − 1) + 1(x4 − 1) = 0
(x4 − 1) (x7 + 1) = 0
సందర్భం (i) : x4 − 1 = 0
x4 = 1