నిర్వచనాలు - సూత్రాలు
* ప్రస్తారం :
'n' అసరూప వస్తువుల నుంచి 'r' వస్తువుల చొప్పున తీసుకుని ఏర్పరిచిన ప్రతి అమరికను ప్రస్తారం అంటారు. దీన్ని nPr లేదా P (n, r) తో సూచిస్తారు.
* సంయోగం:
'n' అసరూప వస్తువుల నుంచి 'r' వస్తువుల చొప్పున తీసుకుని ఏర్పరచిన ప్రతి సమూహాన్ని లేదా ఎన్నికను సంయోగం అంటారు. దీన్ని nCr లేదా C (n, r) తో సూచిస్తారు.
* ఉదాహరణ:
A, B, C, D అనే నాలుగు అసరూప అక్షరాలను తీసుకుందాం. ప్రతిసారీ 2 అక్షరాల చొప్పున తీసుకుని ఏర్పరచగల ప్రస్తారాలు, సంయోగాల సంఖ్య వరుసగా...
ప్రస్తారాలు :
AB, AC, AD, BC, BD, CD
BA, CA, DA, CB, DB, DC
(మొత్తం 4P2 ప్రస్తారాలు)
సంయోగాలు :
AB, AC, AD, BC, BD, CD
(మొత్తం 4C2 సంయోగాలు)
* పరిశీలన:
ప్రస్తారాలు ఏర్పరచడానికి వస్తువుల క్రమం ముఖ్యం. కానీ సంయోగాలు ఏర్పరచడానికి వస్తువుల క్రమం అవసరం లేదు.
* 'n' యొక్క క్రమ గుణితం:
n సహజ సంఖ్యల అవిచ్ఛిన్న లబ్ధాలను n క్రమగుణితం అంటారు. దీన్ని లేదా n ! తో సూచిస్తారు.
కాబట్టి లేదా n! = 1. 2. 3. 4 ... (n- 2) (n- 1) n
అలాగే మనం తీసుకున్నది =
* ప్రాథమిక సూత్రం:
ఒక పరిక్రియను 'm' విభిన్న విధాలుగా చేసిన తర్వాత మరో పరిక్రియను 'n' విభిన్న విధాలుగా చేసినప్పుడు రెండు పరిక్రియలను ఒకదాని తర్వాత ఒకటి 'mn' విధాలుగా చేయవచ్చు.
సూత్రాలు:
i) nPr = (పునరావృతాన్ని అనుమతించనప్పుడు) (0 ≤ r ≤ n)
= nr (పునరావృతాన్ని అనుమతించినప్పుడు)
(ii) nPr= r. (n-1)Pr-1 + (n-1)Pr (r ≤ n)
(iii) nPn = ; nPr = 1
(iv) nPr = n. (n-1)Pr-1 (1 ≤ r ≤ n)
(v) nr - nPrఅనేది ఇచ్చిన 'n' అసరూప వస్తువుల నుంచి ఒక్కసారికి 'r' వస్తువుల చొప్పున తీసుకుంటే వచ్చే ప్రస్తారాల్లో కనీసం ఒక వస్తువైనా పునరావృతమయ్యే ప్రస్తారాల సంఖ్య.
vi) m మూలకాలున్న సమితి A నుంచి n మూలకాలున్న సమితి B కి అన్వేక ప్రమేయాల సంఖ్య
nPm ( m ≤ n అయినప్పుడు) మరియు 0, (m > n అయినప్పుడు).
vii) m మూలకాలున్న సమితి A నుంచి n మూలకాలున్న సమితి B కి ఉన్న ప్రమేయాల సంఖ్య nm.
viii) n మూలకాలున్న సమితి A నుంచి 2 మూలకాలున్న సమితి B కి ఉన్న సంగ్రస్త ప్రమేయాల సంఖ్య 2n - 2.
* వృత్తాకార ప్రస్తారాలు:
(i) 'n' అసరూప వస్తువులు అన్నింటినీ ఉపయోగించి ఏర్పరచగల వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య
(ii) పూల దండలు, పూసల గొలుసులు తదితర సందర్భాల్లో n అసరూప వస్తువులతో ఏర్పరిచే వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య
(iii) ఇచ్చిన 'n' వస్తువుల్లో 'p' వస్తువులు ఒకేరకంగా మిగిలిన వస్తువులు విభిన్నంగా ఉంటే ఈ వస్తువులన్నింటినీ ఉపయోగించి ఏర్పరిచే రేఖీయ ప్రస్తారాల సంఖ్య
* ఇచ్చిన 'n' వస్తువుల్లో p వస్తువులు ఒకరకంగా, q వస్తువులు మరో రకంగా, r వస్తువులు వేరే రకంగా, మిగిలినవి విభిన్నంగా ఉంటే వాటిని అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య
సూత్రాలు:
(i) nCr = ; nCr . = nPr
(ii) nCr = nCn-r ; ( 0 ≤ r ≤ n )
(iii) nC0 = nCn = 1
(iv) m, n లు రెండు విభిన్న ధనపూర్ణాంకాలైతే (m + n) విభిన్న వస్తువులను m, n వస్తువులున్న రెండు భాగాలుగా విభజించే విధానాల సంఖ్య
(v) 2n విభిన్న వస్తువులను ఒక్కోదానిలో n వస్తువులున్న రెండు భాగాలుగా విభజించే విధానాల సంఖ్య
(vi) mn విభిన్న వస్తువులను ఒక్కోదానిలో n వస్తువులు ఉండేలా m సమభాగాలుగా చేసే విధానాల సంఖ్య
(vii) mn విభిన్న వస్తువులను m వ్యక్తులకు సమానంగా పంచే విధానాల సంఖ్య
(viii) r ≤ n, s ≤ n, nCr = nCs r = s లేదా r + s = n
(ix) 1 ≤ r ≤ n అయితే nCr + nCr - 1 = (n+1)Cr
(x) ఒకే రకంగా (సరూపంగా) ఉన్న p వస్తువులు, మరో రకం q సరూప వస్తువులు, వేరే రకం r సరూప వస్తువుల నుంచి ఎన్ని వస్తువులనైనా (ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వస్తువులను) ఎంచుకునే విధానాల సంఖ్య (p+1) (q+1) (r+1) − 1.