(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 లాంటి విస్తరణలను కింది తరగతుల్లో నేర్చుకున్నారు.
వీటిలో, LHS ని గమనిస్తే రెండు పదాల మొత్తానికి ఘాతం ఉంది. ఇలాంటి విస్తరణలను ద్విపద విస్తరణలు అంటారు. ఈ పాఠ్యాంశంలో, రెండు పదాలకు ధనాత్మక పూర్ణసంఖ్య ' n ' ఘాతంగా ఉన్నప్పుడు విస్తరణకి సంబంధించిన సాధారణ సూత్రాన్ని నేర్చుకుంటారు.
ధనాత్మక పూర్ణ ఘాతానికి ద్విపద సిద్ధాంతం:
n ధనాత్మక పూర్ణ సంఖ్య అయితే
(x + a)n = nC0xn + nC1xn -1a + nC2xn-2a2 + ........ + nCr xn-r ar + ......... + nCnan దీన్నే ద్విపద సిద్ధాంతం అంటారు.
దీన్ని గణితానుగమన సూత్రం ద్వారా నిరూపించవచ్చు.
గమనిక:
1. (x + a)n విస్తరణలోని పదాల సంఖ్య (n + 1)
2. విస్తరణలో సాధారణ పదం Tr+1 = nCr xn-r . ar
(ఇక్కడ Tr + 1 అనేది విస్తరణలోని (r + 1) వ పదాన్ని సూచిస్తుంది)
ఉదా : (2x + 3y)5 విస్తరణ కనుక్కోండి.
సాధన సమస్యలు:
1. (3a - 4b)8 విస్తరణలో నాలుగో పదాన్ని కనుక్కోండి.
2. విస్తరణలో x9 గుణకాన్ని కనుక్కోండి.
3. (x + a)n విస్తరణలో 2, 3, 4వ పదాల గుణకాలు వరుసగా 240, 720, 1080 అయితే, x, a, n ల విలువలు కనుక్కోండి.
4. (1 + x)n విస్తరణలోని, r వ, (r + 1), (r + 2) వ పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో ఉంటే,
n2 - (4r + 1)n + 4r2 - 2 = 0 అని చూపండి.
5. ద్విపద సిద్ధాంతం ద్వారా, n N, 50n - 49n - 1 ని 49 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుందని చూపండి.
(x + a)n విస్తరణలో మధ్య పదాలు :
n సరిసంఖ్యలున్న, (x + a)n విస్తరణలోని పదాల సంఖ్య (n + 1), అంటే బేసి సంఖ్య. వీటిలో ఒక మధ్యపదం ఉంటుంది. దానికి ఇరువైపులా పదాలుంటాయి. కాబట్టి మధ్యపదం పదమవుతుంది.
మరియు
మరియు, 'n' బేసి సంఖ్య అయినప్పుడు, పదాల సంఖ్య (n + 1) అంటే సరి సంఖ్య. వీటిలో రెండు మధ్య పదాలుంటాయి.
ఉదా : 1. (2a + 3b)10 విస్తరణలో మధ్య పదాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: ఇక్కడ n = 10 సరిసంఖ్య. కాబట్టి ఒక మధ్యపదం ఉంటుంది.
2. (3x + 5y)25 విస్తరణలోని మధ్య పదాలను కనుక్కోండి.
సాధన: ఇక్కడ n = 25, బేసి సంఖ్య.
సంఖ్యాత్మక గరిష్ఠ పదాలు:
(1 + x)n విస్తరణలో, ఏ పదం విలువైనా ' n ', ' x 'ల విలువలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ' x ' రుణాత్మకమైన విస్తరణలోని కొన్ని పదాలు రుణాత్మకంగానూ, మరికొన్ని ధనాత్మకంగా ఉంటాయి. వీటిని సంఖ్యాత్మక విలువలుగా పరిగణిస్తే, విలువను బట్టి, ఈ విలువ పూర్ణ సంఖ్య ' p ' అయితే, Tp, Tp+1 లు సంఖ్యాత్మకంగా గరిష్ఠంగా ఉంటాయి. వాటి సంఖ్యాత్మక విలువలు సమానంగా ఉంటాయి.
లేదా ఆ విలువ పూర్ణ సంఖ్య కానట్టయితే, p + f రూపంలో ఉంటే (p = పూర్ణ సంఖ్య p, f = దశాంశ భాగం i.e. 0 < f < 1)
Tp+1 మాత్రమే సంఖ్యాత్మకంగా గరిష్ఠ విలువ కలిగి ఉంటుంది.
సాధన సమస్యలు