1. (a+ x)n విస్తరణలో 2వ, 3వ మరియు 4వ పదాలు వరుసగా 240, 720 మరియు 1080 అయితే a, x, nల విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన: దత్తాంశం : (a+x)n
Tr+1 = nCr xn-r ar
T2 = nC1 an-1 x1 = 240 ..... (1)
T3 = nC2 an-2 x2 = 720 ..... (2)
T4 = nC3 an-3 x3 = 1080 ..... (3)
⇒ 3n - 3 = 4n - 8
⇒ n = 5
2. (1 + x)n విస్తరణలో నాలుగు వరుస పదాల గుణకాలు వరుసగా a1, a2, a3, a4 లు అయితే అని చూపండి.
సాధన : ఇచ్చినది : (1 + x)n
Tr+1 = nCr xn-r ar
T2 = nC1 (1)n-1 x1
⇒ T2 = nC1 x
ఇదేవిధంగా T3 = nC2 x2
T4 = nC3 x3
T5 = nC4 x4
దత్తాంశం ప్రకారం : nC1 = a1
nC2 = a2
nC3 = a3
nC4 = a4
... L.H.S. = R.H.S.
3. (1 + x)n విస్తరణలో r, (r + 1) వ మరియు (r + 2) వ పదాల గుణకాలు A.P. లో ఉంటే
n2 - (4r+1) n + 4r2 - 2 = 0, అని చూపండి. n2 - (4r+1) n + 4r2-2 = 0.
సాధన: దత్తాంశం: (1 + x)n
Tr+1 = nCr xn-r ar
Tr = Tr-1+1 = nCr-1 (1)n-(r-1) xr-1
⇒ Tr = nCr-1 xr-1
ఇదేవిధంగా : Tr+1 = nCr xr
Tr+2 = nCr+1 xr+1
దత్తాంశం ప్రకారం : nCr-1 + nCr+1 = 2. nCr
=> n2 - 2nr + 2r2 + n = 2[nr + n - r2 - r + r + 1]
=> n2 - 2nr + 2r2 + n - 2nr - 2n + 2r2 - 2 = 0
=> n2 - 4nr - n + 4r2 - 2 = 0
=> n2 - (4r + 1) n + 4r2-2 = 0
4. I మరియు n లు ధన పూర్ణాంకాలు. 0 < F < 1 అవుతూ n = I + F అయితే
i) I ఒక బేసి పూర్ణసంఖ్య అని,
ii) (I + F) (1 - F) = 1 అని నిరూపించండి.
సాధన: దత్తాంశం : I + F = (4 + )n
⇒ I + F = nC0 4n + nC1 4n-1 + nC2 4n-2 ()2 .... + nCn ()n ......... (1)
... 3 < < 4
⇒ 0 < 4 - < 1
... 0 < (4 - )n< 1
f = (4 - )n అని అనుకొందాం.
⇒ 0 < f < 1
⇒ f = nC0 4n - nC1 4n-1 + nC2 4n-2 ()2 .... + (-1)nnCn ()n ....... (2)
1+ 2 నుంచి,
⇒ I + F + f = 2 [nC0 4n + nC2 4n-2 (15) + ....]
⇒ I + F + f = 2 [ధన పూర్ణాంకం ]
⇒ I + F + f = సరి పూర్ణాంకం ........ (3)
I అనేది ఒక పూర్ణాంకం కాబట్టి, I + F అనేది కూడా పూర్ణాంకం అవుతుంది.
... 0 < F < 1 మరియు 0 < f < 1
⇒ 0 < F + f < 2
... F + f = 1
(3) ⇒ I + 1 = సరి పూర్ణాంకం
⇒ I = సరి పూర్ణాంకం – 1
... I = బేసి పూర్ణాంకం.
ii) (I + F) (1 - F) = (I + F) f
= (4 + )n (4 - )n
= (16 - 15)n
= 1n
అని చూపండి.
సాధన : (1 + x)n = C0 + C1x + C2x2 + C3x3 + .... + Crxr + Cr+1 xr+1 + Cr+2 xr+2 + ....
+ Cn-r xn-r + ..... + Cn xn .... (1).
(x+1)n = C0xn + C1 xn-1 + C2 xn-2 + ..... + Cn-r xr + .... + Cn అని మనకి తెలుసు ..... (2).
(1) మరియు (2) విస్తరణలను గుణించగా,
రెండువైపులా xn+r యొక్క గుణాంకాలను పోల్చితే,
⇒ C0Cr + C1Cr+1+ C2Cr+2 + .... + Cn-rCr = (1 + x)2n విస్తరణలో xn+r యొక్క గుణకం ..... (3)
కానీ (1 + x)2n విస్తరణలో, (n + r + 1)వ పదం xn+r అవుతుంది.
... Tn+r+1 = 2nCn+r (1) 2n-(n+r) xn+r
xn+r యొక్క గుణకం : 2nCn+r
(3) నుండి,
r = 1ను ప్రతిక్షేపించగా,
r = 0ను ప్రతిక్షేపించగా,
అయితే x2 + 4x యొక్క విలువ కనుక్కోండి.
సాధన: దత్తాంశం :
(1) నుంచి,
రెండువైపులా వర్గం చేస్తే,
⇒ x2 + 4x + 4 = 27
... x2 + 4x = 23
8.విస్తరణ వ్యవస్థితమైతే 'x' యొక్క విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన: దత్తాంశం :
అయినప్పుడువిస్తరణ వ్యవస్థితము.