రెండు నాణేలను ఎగరేసే యాదృచ్ఛిక ప్రయోగాన్ని తీసుకుందాం.
యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంతో అనుసంధానమయ్యే శాంపుల్ ఆవరణం "S" అనుకుందాం.
S = { (HH), (HT), (TT), (TH) }
ఫలితం (W) లో బొమ్మలు వచ్చే సంఖ్య (0, 1 లేదా 2) చలరాశిగా అనుకుందాం.
ఆ విధంగా S లోని ప్రతి ఫలితం (W) కు X(W) అనే వాస్తవ సంఖ్య సంబంధం ఉంటుంది. కాబట్టి ప్రతి W S కు X(W) అనే ఒక వాస్తవ సంఖ్యను నిర్వచిస్తారు.
నిర్వచనం: యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంతో అనుసంధానమయ్యే శాంపుల్ ఆవరణం S అనుకుందాం.
X: S → R అనే ప్రమేయాన్ని యాదృచ్ఛిక చలరాశి అంటారు.
* మధ్యమం: (µ) = ΣxiP (xi )
* విస్తృతి: (σ2) = Σxi2 P (xi) - µ2
* క్రమ విచలనం:
ద్విపద విభాజనం
ద్విపద విభాజనాన్ని మొదట ప్రతిపాదించింది జేమ్స్ బెర్నోలీ (1654 - 1705).
p + q = 1
అయ్యేలా p, q లు స్థిరసంఖ్యలు మరియు n ధన పూర్ణాంక సంఖ్య అయితే X ను ద్విపద విభాజనం (లేదా) బెర్నోలీ విభాజనం అంటారు.
ఇక్కడ X = అనూకూల ఘటనలు
n = ప్రయత్నాల సంఖ్య
p = సఫల సంభావ్యత
q = విఫల సంభావ్యత
ద్విపద విభాజన లక్షణాలు, ధర్మాలు
* ప్రయత్నాల సంఖ్య స్వతంత్రంగా, పరిమితంగా ఉండాలి.
* ప్రతి ప్రయత్నంలోని సఫల సంభావ్యత స్థిరం, (P ≥ 0)
* ద్విపద విభాజనం యొక్క మధ్యమం: np
* ద్విపద విభాజనం యొక్క విస్తృతి: npq.
పాయిజన్ విభాజనం
* ద్విపద విభాజనంలో నిశ్చిత పరిమాణంలోని శాంపుల్ను పరిశీలించాం. (n విలువ కచ్చితంగా తెలుసు) కానీ కొన్ని సందర్భాల్లో శాంపుల్ పరిమాణం కచ్చితంగా తెలియదు.
(n అనేది చాలా పెద్దది లేదా ముందుగా చెప్పలేం) దీనికి కారణం మనం తీసుకునే ఘటన అరుదు, ఆకస్మికం.
అలాగే ఘటనల శాంపుల్ ఆవరణంలో సఫలమయ్యే ఘటనలు అతిస్వల్పం కావడం.
ఉదా: ఒక కర్మాగారంలో ప్రమాదాలు, హాకీ మ్యాచ్లో గోల్స్.
* ఇలాంటి సందర్భాల్లో ఒక ఘటన ఎన్నిసార్లు జరుగుతుందో తెలుసు కానీ ఘటన ఎన్నిసార్లు జరగదో తెలియదు. అలాంటి సందర్భాల్లో ద్విపద విభజనం ఉపయోగపడదు.
* ఇలాంటి సందర్భాలకు పాయిజన్ విభాజనం చాలా ఉపయోగపడుతుంది. దీన్ని 1837లో పాయిజన్ (1781-1840) అనే ఫ్రెంచ్ శాస్త్రజ్ఞుడు ప్రతిపాదించాడు.
పరామితిగా
అయితే X ను పాయిజన్ విభాజనం అంటారు.
* పాయింట్ విభాజనం యొక్క మధ్యమం, విస్తృతి: