1. దీర్ఘాక్షం పొడవు 8, ఉత్కేంద్రత e = 1/2 గా ఉన్న దీర్ఘ వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన :  దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 8       ∴ a = 4   e = 1/2 
కానీ b²  =  a² ( 1 - e² ) ⇒ b² = 16     ∴ b² = 12
 ∴ దీర్ఘవృత్త సమీకరణం =   లేదా  3x² + 4y² = 48.
 

2. ఒక దీర్ఘవృత్తం నాభుల మధ్య దూరం 6, హ్రస్వాక్షం పొడవు 8, అయితే దాని ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి
సాధన :   హ్రస్వాక్షం పొడవు  = 2b = 8             ∴ b = 4
నాభుల మధ్య దూరం   =   2ae   =   6   ⇒   ae   =   3         ∴ a²e²  = 9
కానీ  a²e²  =  9  =  a² - b²  =  a² - 16       ∴ a²  =  25 ⇒ a = 5
ae = 3 లో a = 5 రాస్తే ఉత్కేంద్రత e = 3/5
 

3.  అనే దీర్ఘవృత్తం నాభుల మధ్య దూరం దాని హ్రస్వాక్షం పొడవుకు సమానమైతే దాని ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన :  నాభుల మధ్యదూరం  =  హ్రస్వాక్షం పొడవు

 

4.  ఒక దీర్ఘవృత్తపు దీర్ఘాక్షం పొడవు హ్రస్వాక్షానికి మూడురెట్లు అయితే దాని ఉత్కేంద్రత ఎంత ?
సాధన : దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 3 ( హ్రస్వాక్షం పొడవు ) = 3 ( 2b )

 

5.  ఒక దీర్ఘవృత్తం హ్రస్వాక్షపు శీర్షాలు వ్యాసాగ్రాలుగా ఉన్న వృత్తంపై దాని నాభులుంటే, ఆ దీర్ఘవృత్తపు ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన : వృత్త సమీకరణం x² + y² = b²  (ae ,  0)  దీనిపై ఉంటుంది.

6. దీర్ఘాక్షం పొడవు 8, నియతరేఖల మధ్యదూరంగా ఉన్న దీర్ఘవృత్త సమీకరణం తెలపండి.
సాధన : దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 8    ∴ a = 4

 

7. x + 4y = 4 అనే సరళరేఖకు x² + 4y² = 4 అనే దీర్ఘవృత్తం దృష్ట్యా ధ్రువ నిరూపకాలు కనుక్కోండి.

సాధన :  ధ్రువ నిరూపకాలు

 

8.  ఒక దీర్ఘవృత్తపు అక్షాలు నిరూపకాక్షాలు. ఒక నాభి (4, 0). దాని ఉత్కేంద్రత 4/5 అయితే ఆ దీర్ఘవృత్త సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన : ae = 4,   e = 4/5 ⇒ a  =  5

 

9.  9x² + 5y² - 18x - 20y - 16 = 0 అనే దీర్ఘవృత్తం ఉత్కేంద్రత ఎంత ?
సాధన :  దత్త సమీకరణాన్ని  9 (x - 1)²  +  5 (y - 2)²  = 45 గా రాయవచ్చు.

10. ప్రామాణిక రూపంలో దీర్ఘవృత్తపు నాభిలంబ పొడవు దీర్ఘాక్షం పొడవులో సగం ఉంటే ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన  :   దీర్ఘవృత్తపు నాభి లంబం పొడవు = 
దీర్ఘాక్షం పొడవు  =  2a