నిర్వచనం: సంభావ్యత అంటే నమ్మకం యొక్క కొలత.
ఒక విద్యార్థికి పదోతరగతి గణితశాస్త్రంలో 100 కి 90 మార్కులు వస్తాయనే నమ్మకం ఉంది. 90 మార్కులు పొందడం అనేది అతడి నమ్మకం. అతడి నమ్మకం కొలవబడుతుంది. అందుకే నమ్మకం యొక్క కొలతను సంభావ్యత అంటారు.
‣ ఈ వివరణలో, 90 అనేది అనుకూల ఘటనలు, 100 అనేది మొత్తం ఘటనలు.
‣ ఇప్పుడు, ఈ అధ్యాయంలో ప్రముఖ పాత్ర పోషించే ముఖ్యమైన నిర్వచనాల గురించి తెలుసుకుందాం.
యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం: ఒక ప్రయోగాన్ని సదృశ పరిస్థితుల్లో ఎన్నిసార్త్లెనా పునరావృతం చేయగలిగినప్పుడు ఆ ప్రయోగానికి ఒక ఫలితాల జాబితా ఉంటుంది.
‣ ఫలితం అనిశ్చితమైతే మరియు ఆ ఫలితం ఫలితాల జాబితాలో ఏదో ఒక ఫలితమైతే అలాంటి ప్రయోగాన్ని యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం (లేదా) యత్నం అంటారు.
‣ ఫలితాలను లఘు ఘటనలు అని, కొన్ని లఘు ఘటనల సమితిని ఘటన అని అంటారు.
ఘటన: ఘటన అంటే ఫలితం
ఉదాహరణలు:
‣ పాచికను దొర్లించడం
‣ నాణేన్ని ఎగరవేయడం
‣ పేకముక్కల కట్ట నుంచి ముక్కను తీయడం
పాచిక: పాచిక అనేది ఆరు ముఖాలుండి, వాటి మీద వరుసగా 1, 2, 3, 4, 5, 6 అనే అంకెలు గుర్తించి ఉన్న దృఢమైన ఘనం.
‣ ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు, అన్నింటికంటే పైన ఉన్న ముఖంపై ఏదో ఒక అంకె ఉంటుంది.
పేకముక్కల కట్ట: పేకముక్కల కట్టలో 52 ముక్కలు ఉంటాయి. వీటిలో 26 ఎరుపు, 26 నలుపు రంగులో ఉంటాయి.
‣ ఇంకా ఈ 52 ముక్కలను 4 సెట్స్గా విభజిస్తారు. వీటిని ఆటిన్, డైమండ్ , ఇస్పేట్, కళావర్ అనే పేర్లతో పిలుస్తారు.
‣ ప్రతి సెట్లో 13 ముక్కలు, అంటే A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K ఉంటాయి. ఇక్కడ A: ఆసు, K: రాజు, Q: రాణి, J: జాకీ.
లఘు ఘటన: ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు దానిపై సరిసంఖ్య రావడాన్ని ఒక ఘటన కింద తీసుకుంటారు. 2 (లేదా) 4 (లేదా) 6 ఆ ఘటనకు చెందుతాయి.
కానీ 2 రావడం అనేది కూడా ఒక ఘటనే. అందువల్ల సరిసంఖ్య వచ్చే ఘటనలో 2 లేదా 4 లేదా 6 వచ్చే అవకాశం ఉంటుంది. కాబట్టి, సరిసంఖ్య వచ్చే ఘటనను కొన్ని ఘటనలుగా విడగొట్టవచ్చు కానీ 2 లేదా 4 లేదా 6 మాత్రమే వచ్చే ఘటనను విడగొట్టలేం.
యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో విడగొట్టలేని ఘటనను లఘు ఘటన అంటారు.
శాంపుల్ ఆవరణం: ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో సంభవించే అన్ని లఘు ఘటనల సమితిని శాంపుల్ ఆవరణం అంటారు. దీన్ని 'S' తో సూచిస్తారు. శాంపుల్ ఆవరణంలోని ప్రతి మూలకాన్ని శాంపుల్ బిందువు అంటారు.
ఒక నాణేన్ని ఎగరేస్తే
S = { H, T} ఇక్కడ H = బొమ్మ, T = బొరుసు
రెండు నాణేలను ఎగరేస్తే
S = { ( H H ), ( H T ), ( T T ), ( T H ) }
మూడింటిని ఎగరేస్తే
S = { ( H H H ), ( H H T ), ( H T H ), ( H T T ) ( T T T ), ( T T H ), ( T H T ), ( T H H ) }
నాలుగింటిని ఎగరేస్తే
S = { ( H H H H ), ( H H H T ), ( H H T T ), ( H T T T ), ( T T T H ), ( T T H H ), ( T H H H ), ( T T T T ), ( H H T H ), ( T T H T ) ( H T H T ), ( H T T H ), ( T H H T ), ( T H T H ), ( T H T T ), ( H T H H ) }
ఒక పాచికను దొర్లిస్తే
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
రెండు పాచికలను దొర్లిస్తే
S = { (1, 1), (1, 2) (1, 3), (1, 4) (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }
సమసంభవ ఘటనలు: ఏ ఘటన జరగడానికైనా ఒకే విధమైన అవకాశం ఉంటే అలాంటి ఘటనలను సమసంభవ ఘటనలు అంటారు.
‣ ఒక పేక కట్ట నుంచి ఒక పేకముక్కను తీసినప్పుడు, అది ఏ ముక్కయినా కావచ్చు. ఈ యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో అన్ని 52 లఘు ఘటనలు సమసంభవ ఘటనలు.
‣ ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు 1 నుంచి 6 అంకెలున్న ముఖాల యొక్క లఘుఘటనలు సమసంభవ ఘటనలు.
పూర్ణఘటనలు: యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో అవకాశమున్న అన్ని ఘటనలను పూర్ణఘటనలు అంటారు.
‣ ఒక నాణేన్ని ఎగరేసినప్పుడు బొమ్మ, బొరుసు అనే రెండు పూర్ణఘటనలు ఉంటాయి.
‣ ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు, ఆరు పూర్ణ ఘటనలు ఉంటాయి.
పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు: ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని ఘటనల్లో ఏ ఒక్కటైనా మిగిలిన ఘటనలు జరగడాన్ని నిరోధిస్తే ఆ ఘటనలను పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు అంటారు.
‣ ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు సరిసంఖ్య వచ్చే ఘటన, బేసి సంఖ్య వచ్చే ఘటనలు పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు.
‣ ఒక పేక కట్ట నుంచి ఒక పేక ముక్కను తీస్తే అది డైమండ్ అయ్యే ఘటన, ఒక కళావర్ అయ్యే ఘటనలు పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు.
నియత సంభావ్యత: యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో A, B లు రెండు ఘటనలు అనుకుందాం.
అప్పుడు A అనే ఘటన జరిగిన తర్వాత B అనే ఘటన జరగడాన్ని నియత ఘటన అంటారు. దీన్ని తో సూచిస్తారు.
ఇదే విధంగా, అనేది " B అనే ఘటన జరిగిన తర్వాత A అనే ఘటన జరగడం అవుతుంది. ను A అనే ఘటన జరిగిన తర్వాత B అనే ఘటనకు నియత సంభావ్యత అంటారు.
దీన్ని ఇక్క డ P (A) > 0
ఇదే విధంగా ఇక్కడ P (B) > 0 గా నిర్వచిస్తారు.
భావనాత్మక సిద్ధాంతాలు
1. సంభావ్యతా సంకలన సిద్ధాంతాన్ని నిర్వచించి, నిరూపించండి.
నిర్వచనం: S అనే శాంపుల్ ఆవరణంలో E1, E2 లు రెండు ఘటనలైతే
E1 = { a1, a2, .........................................ak, ak+1, ak+2, .......................ak+l }
‣ సఫల సంభావ్యత = P (E) = E అనే ఘటన జరిగే సంభావ్యత.
‣ విఫల సంభావ్యత = P (E) = E అనే ఘటన జరగని సంభావ్యత
‣ 0 ≤ P (E) ≤ 1
‣ P(E) = 0 అయితే E ని అసంభవ ఘటన అంటారు.
‣ P(E) = 1 అయితే E ని నిశ్చిత ఘటన అంటారు.
2. సంభావ్యతా లబ్ధ సిద్ధాంతాన్ని నిర్వచించి, నిరూపించండి.
గమనిక: ఈ సిద్ధాంతాన్ని నిర్వచించి, నిరూపించడానికి ముందు విద్యార్థులు నియత సంభావ్యత యొక్క నిర్వచనాన్ని పేర్కొనాలి. లేకపోతే పరీక్షలో పూర్తి మార్కులు ఇవ్వరు.
నిర్వచనం: ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో A, B లు రెండు ఘటనలు; P(A) > 0 మరియు
P(B) > 0 అయితే P (A∩B) = P (A) P = P (B) P