1. A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు కావడానికి ఆవశ్యక పర్యాప్త నియమం అని చూపండి.
సాధన:
⇔ A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు.
2. మూడు పరస్పర వివర్జిత ఘటనల సంభావ్యతలు వరుసగా
సాధన:
3. ఒక వ్యక్తికి మూడు సార్లలో రెండు సార్లు నిజం చెప్పే అలవాటు ఉంది. అతడు ఒక పాచికను దొర్లించి అది '1' అని నివేదిస్తాడు. అది నిజంగా '1' అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
4. ఒక నాణాన్ని మూడు సార్లు ఎగరవేశారు అనుకోండి. మూడు బొమ్మలు వచ్చే ఘటన A, మొదటి సారి ఎగరవేసినప్పుడు బొమ్మ వచ్చే ఘటన B అనుకోండి. అప్పుడు A, Bలు అస్వతంత్ర ఘటనలు అని చూపండి.
సాధన: అస్వతంత్ర ఘటనలకు P(A ∩ B) ≠ P(A) P(B) అని చూపిస్తే సరిపోతుంది.
నాణాన్ని మూడు సార్లు ఎగురవేస్తే
∴ n(S) = 8 = 23
మూడు బొమ్మలు వచ్చే ఘటన A (దత్తాంశం)
∴ A = {HHH}
∴ P(A) = 1/8
మొదటిసారి ఎగరవేసినప్పుడు బొమ్మ పడే ఘటన B (దత్తాంశం)
∴ B = {HHH, HHT, HTH, HTT}
∴ P(B) = 4/8 = 1/2
A ∩ B = {HHH}
∴ P(A ∩ B) = 1/8 ...................... (1)
P(A). P(B) = 1/8 . 1/2 = 1/16 ............(2)
(1), (2) ⇒ P(A ∩ B) ≠ P(A) P(B)
∴ A, B లు అస్వతంత్ర ఘటనలు
5. ఒక నిష్పాక్షిక పాచికల యుగ్మాన్ని దొర్లించారు. రెండింటి ముఖాలపై ఒకే సంఖ్య వచ్చే ఘటన A అనుకోండి. రెండింటి ముఖాలపై వచ్చే సంఖ్యల మొత్తం 7 కంటే ఎక్కువయ్యే ఘటన B అనుకోండి.
సాధన: రెండు పాచికలను దొర్లిస్తే, n(S) = 36 = 62
రెండు పాచికలపై ఒకే సంఖ్య వచ్చే ఘటన A అయితే
∴ A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
n(A) = 6; P(A) = 6/36 = 1/6 .................... (1)
పాచికల ముఖాలపై 7 కంటే ఎక్కువ వచ్చే ఘటన B అయితే
n(B) = 15; P(B) = 15/36 = 5/12 .................(2)
A ∩ B = {(4, 4), (5, 5), (6, 6)}
n(A ∩ B) = 3; P(A ∩ B) = 3/36 = 1/12 ............(3)
6. ఒక నాణాన్ని మూడు సార్లు ఎగరేయడం, వచ్చిన ఫలితాన్ని రాయడం ఒక క్రీడ. అన్ని ఎగరవేతల్లోనూ ఒకే ఫలితం వస్తే ఒక బాలుడు గెలిచినట్లు, అలా కాకపోతే ఓడినట్లు భావిస్తారు. ఆ బాలుడు క్రీడలో ఓడిపోయే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
n(S) = 8
E = {HHH, TTT}
n(E) = 2; P(E1) = 2/8 = 1/4
ఇది బాలుడు గెలిచే సంభావ్యతను సూచిస్తుంది.
∴ బాలుడు ఓడిపోయే సంభావ్యత = 3/4
7. E1∩ E2 = φ, తో E1, E2 లు రెండు ఘటనలు. అప్పుడు P(E1c∩ E2c) = P(E1c) - P(E2) అని చూపండి.
సాధన: E1, E2 లు ఏవైనా 2 ఘటనలయితే P(E1∪ E2)c = 1 - P(E1∪ E2) .............(1)
కానీ P(E1c∩ E2c) = P(E1∪ E2)c
= 1 - P(E1∪ E2) [(1) నుంచి]
= 1 - [P(E1) + P(E2) - P(E1∩ E2)]
= 1 - P(E1) - P(E2) + P(E1∩ E2)
= P(E1c) - P(E2) + P(φ) (E1∩ E2 = φ దత్తాంశం)
= P(E1c) - P(E2) + 0 (... P(φ) = 0)
= P(E1c) - P(E2)
కావున ఫలితం నిరూపితం.
8. ఒకడు ఒక పండుగరోజు A, B, C, D అనే 4 దేవాలయాలను యాదృచ్చిక క్రమంలో దర్శించుకోవాలనుకుంటాడు. అతడు (i) B కి ముందుగా A (ii) B కి ముందుగా A, C కి ముందుగా B లను దర్శించుకునే సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.
సాధన: S శాంపుల్ ఆవరణం అయితే
∴ n(S) = 24
(i) B కంటే ముందు A ను దర్శించే ఘటన E అనుకుంటే.
∴ n(E) = 12
(ii) B కంటే ముందు A, C కంటే ముందు B, లను దర్శించే ఘటన E అనుకుంటే.
∴ E = {ABCD, ABDC, ADBC, DABC }
n(E) = 4
9. ఒక వ్యక్తికి ఒక నిర్మాణ కంపెనీలో ఉద్యోగం వచ్చింది. ఆ కంపెనీలోని పనివారు సమ్మెకు దిగే సంభావ్యత 0.65. సమ్మె లేనప్పుడు నిర్మాణ పని సకాలంలో పూర్తయ్యే సంభావ్యత 0.80. సమ్మె ఉన్నప్పటికీ నిర్మాణ పని పూర్తయ్యే సంభావ్యత 0.32 అయితే సకాలంలో పని పూర్తయ్యే సంభావ్యతను నిర్ధారించండి.
సాధన: నిర్మాణం పని సరైన నమయంలో పూర్తయ్యే సంభావ్యత P(E1),
కంపెనీలోని పనివారు సమ్మెకు దిగే సంభావ్యత P(E2) అనుకుందాం.
P(E2) యిస్తే P(E1) కనుక్కోవాలి.
P(E2) = 0.65 దత్తాంశం
10. ఒక కంపెనీలోని ఉద్యోగుల నుంచి అయిదుగురు వ్యక్తులను ఆ కంపెనీ పాలకవర్గ ప్రతినిధులుగా ఎన్నుకున్నారు.
అయిదుగురు వ్యక్తుల వివరాలు ఇలా ఉన్నాయి:
క్ర. సం | పేరు | లింగం | వయసు (సం.లో) |
1 | హరీష్ | పు | 30 |
2 | రోహన్ | పు | 33 |
3 | శీతల | స్త్రీ | 46 |
4 | అలీస్ | స్త్రీ | 28 |
5 | సలీమ్ | పు |
41 |
పై సమూహం నుంచి ఒక వ్యక్తిని యాదచ్చికంగా ప్రసంగకర్తగా ఎన్నుకొంటే, ఆ వ్యక్తి పురుషుడు లేదా 35 సంవత్సరాలు పైవడినవాడు అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన: యాదృచ్చికంగా ఎన్నుకున్న వ్యక్తి పురుషుడు అయ్యేఘటన M అనుకుంటే,
∴ n(M) = 3
యాదృచ్చికంగా ఎన్నుకున్న వ్యక్తి 35 సం.లు పైబడినవాడు అయ్యే ఘటన A అనుకుంటే,
∴ n (A) = 2
వ్యక్తి, పురుషుడు మరియు 35 సం.లు పైబడినవాడు అయ్యే ఘటన M ∩ A అనుకుంటే.
∴ n(M ∩ A) = 1
S శాంపుల్ ఆవరణం అయితే, n(S) = 5C1 = 5
కావలసిన సంభావ్యత
P(M A) = P(M) + P(A) - P(M ∩ A)
11. వందమంది విద్యార్థుల నుంచి 40, 60 మంది విద్యార్థులు ఉండే రెండు సెక్షన్లు ఏర్పడ్డాయి. నీవు, నీ మిత్రుడు ఆ వందమందిలో ఉండి
(i) మీ ఇద్దరూ ఒకే సెక్షన్లోకి ప్రవేశించే
(ii)వేర్వేరు సెక్షన్లలోకి ప్రవేశించే సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.
సాధన: S శాంపుల్ ఆవరణం అయితే n(S) = 100C2
40 మంది గల సెక్షన్ నుంచి ఇద్దరు విద్యార్థులు ఉండే ఘటన E1 అనుకుంటే.
n(E1) = 40C2
60 మంది గల సెక్షన్ నుంచి ఇద్దరు విద్యార్థులు ఉండే ఘటన E2 అనుకుంటే
n(E2) = 60C2
E1∩ E2 = φ; P(E1∩ E2) = 0
(i) ఇద్దరు విద్యార్థులు ఒకే సెక్షనులోకి ప్రవేశించే సంభావ్యత:
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1∩ E2)
(ii) ఇద్దరు విద్యార్థులు వేర్వేరు సెక్షన్లలోకి ప్రవేశించే సంభావ్యత = 1- ఇద్దరూ ఒకే సెక్షనులోకి ప్రవేశించే సంభావ్యత
= 1 - P(E1∪ E2)