అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు 

1. ఏకచరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణం రాయండి.
జ: 2x + 1 = 0
 

2. 3[2x - 1] = 4 అయితే x విలువ ఎంత?
జ: 6x - 3 = 4
     6x = 4 + 3
     6x = 7 =>  x = 7/6
 

3. అనిశ్చిత వాక్యానికి ఒక ఉదాహరణ రాయండి.
జ: x + 1 = 8 (x యొక్క ఏ విలువకైనా x + 1 = 8 అనే వాక్యం సత్యమో, అసత్యమో చెప్పలేం. ఇలాంటి వాక్యాన్ని అనిశ్చిత వాక్యం అంటారు.)
 

4. ఒక సమీకరణంలో రెండు చరరాశులు ఉన్నప్పుడు దాన్ని తృప్తిపరిచే క్రమయుగ్మాలు ఎన్ని ఉంటాయి?
జ: అనేకం
 

5. 2x - y = 5 అనే సమీకరణానికి ఎన్ని సాధనలు ఉంటాయి?
జ: అనంతం
 

6. రెండు చరరాశుల్లో రేఖీయ సమీకరణాన్ని రాయండి.
జ: ax + by + c = 0 (a, b ≠ 0; a, b, c ϵ R)

7. రెండు చరరాశుల్లో ఒక జత రేఖీయ సమీకరణాలు రాయండి.

 

8. ఒకే రకమైన రెండు చరరాశులు ఉండే సమీకరణాలను ఏమంటారు?
జ: రేఖీయ సమీకరణాల జత
 

9. రెండు చరరాశులు ఉండే సమీకరణాలకు ఒకే సాధన కావాలంటే ఎన్ని స్వతంత్ర సమీకరణాలు కావాలి?
జ: రెండు
 

10. రెండు చరరాశులు ఉండే రేఖీయ సమీకరణానికి గీసిన గ్రాఫ్‌ను ఏమంటారు?
జ: సరళరేఖ
 

11. తలంలో ఒక సమీకరణాల జత ఎన్ని సరళరేఖలను సూచిస్తాయి?
జ: రెండు
 

12. ఒక తలంలో రెండు సరళరేఖలను గీసినప్పుడు వాటికి ఎన్ని సందర్భాలు ఉంటాయి?
జ: మూడు (ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకుంటాయి, సమాంతరంగా ఉంటాయి, తుల్యమవుతాయి.)
 

13. సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత అంటే ఏమిటి?
జ: రెండు చలరాశులు ఉండే రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఒకే ఒక సాధన ఉంటే వాటిని సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత అంటారు.
 

14. సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జ: 2x + 3y = 7, 3x + 2y = 8
 

15. సాధన లేని రేఖీయ సమీకరణాల జతలను ఏమంటారు?
జ: అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతలు
 

16. అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతలకు ఒక ఉదాహరణ రాయండి.
జ: x + y = 6, 2x + 2y = 12
 

17. అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతలు ఎన్ని బిందువుల వద్ద ఖండించుకుంటాయి?
జ: అసలు ఖండించుకోవు. సమాంతరంగా ఉంటాయి.
 

18. రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఉమ్మడి సాధన ఉంటే అవి ఏ విధంగా ఉంటాయి?
జ: తుల్యంగా ఉంటాయి (ఒకదానిపై ఒకటి)
 

19. రేఖీయ సమీకరణాల జత తుల్యం అయితే వాటికి ఎన్ని సాధనలు ఉంటాయి?
జ: అనంతం
 

20. రేఖీయ సమీకరణాల జత తుల్యం అయితే వాటిని ఏమంటారు?
జ: పరస్పర ఆధారిత రేఖీయ సమీకరణాలు
 

21. పరస్పర ఆధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత ఎల్లప్పుడూ సంగత జత అవుతుందా?
జ: కాదు, ఎందుకంటే సంగత జతలో ఒకే ఒక సాధన ఉంటుంది. కానీ పరస్పర ఆధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జతలో అనంత సాధనలు ఉంటాయి.
 

22. పరస్పర ఆధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత అసంగత జత అవుతుందా?
జ: కాదు. అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత సమాంతరంగా ఉంటుంది.
 

 
రెండు రేఖీయ సమీకరణాల జత అయితే కింది వాటికి సమాధానాలు రాయండి.
  అయితే రేఖలు ఏ విధంగా ఉంటాయి?
జ: ఖండించుకుంటాయి

  అయితే, ఆ రేఖలకు ఎన్ని సాధనలు ఉంటాయి?

జ: ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
 

 అయితే ఆ రేఖలు ఏ విధంగా ఉంటాయి?
జ: సమాంతరంగా.
 

 అయితే ఆ రేఖలకు సాధన ఏమిటి?
జ: సాధన లేదు.
 

 అయితే ఆ రేఖలు ఏ విధంగా ఉంటాయి?
జ: రేఖలు ఒకదానికొకటి ఏకీభవిస్తాయి.
  అయితే ఆ రేఖలకు సాధన ఏమిటి?
జ: అనంత సాధనలు ఉంటాయి

24. 3x + 2y = 6, 6x + ky = 18 రేఖలకు సాధన లేకుంటే k = ?

25. k యొక్క ఏ విలువలకు x + (k - 3)y = 6, 2x + (k + 1)y = 12 రేఖల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటాయి?

  ⇒ k + 1 = 2(k - 3)
  ⇒ k + 1 = 2k - 6 ⇒ 2k - k = 1 + 6 
  ∴ k = 7

26. k యొక్క ఏ విలువలకు 5x - 3y + 11 = 0, 10x - 6y + k = 0 సమీకరణ జత ఏకీభవించే రేఖలవుతాయి?

27. k యొక్క ఏ విలువకు 3x + ky = 5, 2x - 3y = 7 రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఏకైక సాధన ఉంటుంది?

28. p యొక్క ఏ ధన విలువలకు కింది సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటాయి?
      px + 3y - (p - 3) = 0
      12x + py - p = 0

         p² = 12 × 3
         p² = 36
          p =  = ± 6

దీర్ఘసమాధాన ప్రశ్నలు

1. x + y = 25, x + 2y = 40 లను గ్రాఫ్ పద్ధతి ద్వారా సాధించండి.

2. 2x + 3y = 1, 3x - y = 7 రేఖీయ సమీకణాల జత ఖండన రేఖలా, సమాంతర రేఖలా లేదా ఏకీభవించే రేఖలా సరిచూస్తూ గ్రాఫ్ ద్వారా సాధించండి.

3. x + y = 8, 3x + 3y = 14 సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలా? అసంగత సమీకరణాలో తెలుపుతూ గ్రాఫ్ గీయండి.

4. 2x + 2y = 10, x + y = 5 సమీకరణాల జత పరస్పర ఆధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత అని గ్రాఫ్ ద్వారా చూపండి.

5. ఒక తోటలో కొన్ని తుమ్మెదలు, పువ్వులు ఉన్నాయి. ప్రతి పువ్వుపై ఒక తుమ్మెద వాలినప్పుడు 2 తుమ్మెదలు మిగులుతాయి. ప్రతి పువ్వుపై రెండు తుమ్మెదలు వాలితే 3 పువ్వులు మిగులుతాయి. అయితే పువ్వులెన్ని? తుమ్మెదలెన్ని?
సాధన: తుమ్మెదలు = x,    పువ్వులు = y అనుకోండి.
ప్రతి పువ్వుపై ఒక తుమ్మెద వాలినప్పుడు 2 తుమ్మెదలు మిగులుతాయి.
      x = y + 2
⇒ x - y = 2 → (1)
ప్రతి పువ్వుపై రెండు తుమ్మెదలు వాలితే 3 పువ్వులు మిగులుతాయి.
     x = 2(y - 3)
⇒ x - 2y = - 6 → (2)

(2) - (1) : x - 2y = - 6
⇒ y = 8
y విలువను (1) లో రాస్తే
    x - 8 = 2
∴ x = 2 + 8 = 10
అంటే తుమ్మెదలు = 10, పువ్వులు = 8

6. 8 మంది పదోతరగతి విద్యార్థులు ఒక వ్యాసరచన పోటీలో పాల్గొన్నారు. దానిలో పాల్గొన్న బాలికల సంఖ్య బాలుర సంఖ్య కంటే 2 ఎక్కువ. అయితే వ్యాసరచన పోటీలో పాల్గొన్న బాలికల సంఖ్య, బాలుర సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన: వ్యాసరచన పోటీలో పాల్గొన్న బాలుర సంఖ్య = x, బాలికల సంఖ్య = y అనుకోండి.
మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య = 8
⇒ x + y = 8 → (1)
బాలికల సంఖ్య బాలుర సంఖ్య కంటే 2 ఎక్కువ
     y = x + 2
⇒ x - y = - 2 ............. (2)
(1) + (2) :    x + y =  8
                    x - y = - 2 
                   _______
                   2x       =  6
⇒ x =  = 3
x విలువను (1) లో రాయగా
    3 + y = 8
⇒ y = 8 - 3 = 5
∴ బాలుర సంఖ్య = 3, బాలికల సంఖ్య = 5

7. వెడల్పు కంటే పొడవు 6 మీ. ఎక్కువ ఉన్న ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార తోట చుట్టు కొలతలో సగం 50 మీ. అయితే ఆ తోట కొలతలు కనుక్కోండి.
సాధన: పొడవు = x మీ., వెడల్పు = y మీ. అనుకోండి.
వెడల్పు కంటే పొడవు 6 మీ. ఎక్కువ
x = y + 6
⇒ x - y = 6  (1)
దీర్ఘచతురస్రాకార తోట చుట్టు కొలత = 2(x + y)మీ.

  x విలువను (2)లో రాస్తే
   28 + y = 50
∴ y = 50 - 28 = 22 మీ.
అంటే పొడవు = x = 28 మీ., వెడల్పు = y = 22 మీ.

8. జ్యోతి బ్యాంకు నుంచి రూ.5000 తీసుకోవాలనుకుంది. ఆ మొత్తానికి  ₹100,  ₹500 నోట్లను మాత్రమే ఇవ్వాలని క్యాషియర్‌ను కోరింది. ఆమెకు మొత్తం 30 నోట్లు వస్తే అందులో ఎన్ని ₹100 నోట్లు, ఎన్ని  ₹500 నోట్లు వచ్చాయో తెలపండి.
సాధన:  ₹100 నోట్ల సంఖ్య = x,  ₹ 500 నోట్ల సంఖ్య = y అనుకోండి.
            x + y = 30 ......... (1)
100x + 500y = 5000 [ ₹ 100,  ₹ 500 నోట్ల మొత్తం విలువ ₹ 5000]
x + 5y = 50 ............ (2)
  (2) - (1) :    x + 5y = 50
                       x +   y = 30  
                   _      _        _

               ________________
            4y = 20
             y =  = 5
y విలువను (1) లో రాస్తే
 x + 5 = 30
⇒  x = 30 - 5 = 25
అంటే ₹ 100 నోట్ల సంఖ్య (x) = 25
₹ 500 నోట్ల సంఖ్య (y) = 5.

9. ఒక దీర్ఘ చతుస్రం పొడవు 2 యూనిట్లు తగ్గించి, వెడల్పు 2 యూనిట్లు పెంచితే వైశాల్యం 6 చదరపు యూనిట్లు పెరుగుతుంది. పొడవును 2 యూనిట్లు, వెడల్పును 3 యూనిట్లు పెంచితే వైశాల్యం 46 చదరపు యూనిట్లు పెరుగుతుంది. అయితే ఆ దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు, వెడల్పులు కనుక్కోండి.
సాధన: పొడవు = x, వెడల్పు = y యూనిట్లు అనుకోండి.
దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు = xy
(i) పొడవు 2 యూనిట్లు తగ్గించి, వెడల్పు 2 యూనిట్లు పెంచితే వైశాల్యం 6 చదరపు యూనిట్లు పెరుగుతుంది.
(x - 2)(y + 2) = xy + 6
xy + 2x - 2y - 4 = xy + 6
2x - 2y = 6 + 4
2x - 2y = 10
⇒ x - y = 5 → (1)
(ii) పొడవు 2 యూనిట్లు పెంచి, వెడల్పు 3 యూనిట్లు పెంచితే వైశాల్యం 46 చదరపు యూనిట్లు పెరుగుతుంది.
(x + 2)(y + 3) = xy + 46
xy + 3x + 2y + 6 = xy + 46
3x + 2y = 46 - 6
3x + 2y = 40 → (2)
(2) + (1) × 2:
3x + 2y = 40
2x - 2y = 10
____________
5x         = 50
⇒ x =  = 10 యూనిట్లు
x విలువను (1)లో రాస్తే
10 - y = 5
- y = 5 - 10
- y = - 5
⇒ y = 5 యూనిట్లు

10. ఇద్దరి వ్యక్తుల ఆదాయాల నిష్పత్తి 7 : 3, ఖర్చుల నిష్పత్తి 5 : 2. వారు ప్రతి నెలకు  ₹ 1000 ఆదా చేస్తే వారి నెలవారి ఆదాయాలను కనుక్కోండి.
సాధన: మొదటి వ్యక్తి ఆదాయం = రూ. 7x, రెండో వ్యక్తి ఆదాయం = రూ. 3x
మొదటి వ్యక్తి ఖర్చు = రూ. 5y, రెండో వ్యక్తి ఖర్చు = రూ. 2y అనుకోండి.
7x - 5y = 1000 → (1)
3x - 2y = 1000 → (2)
(1) × 3 - (2) × 7:
21x - 15y = 3000
21x - 14y = 7000
  _       +         _
___________
        - y = - 4000
y విలువను (1)లో రాస్తే
7x - 5(4000) = 1000
7x - 20,000 = 1000
∴ 7x = 1000 + 20,000
 7x = 21,000
∴ x =  = 3,000
మొదటి వ్యక్తి ఆదాయం = 7 × 3,000 = ₹ 21,000
మొదటి వ్యక్తి ఖర్చు = 5 × 4,000 = ₹ 20,000
రెండో వ్యక్తి ఆదాయం = 3 × 3,000 = ₹ 9,000
రెండో వ్యక్తి ఖర్చు = 2 × 4,000 = ₹ 8,000

11. రెండు సంపూరక కోణాల్లో చిన్న కోణం, పెద్ద కోణం కంటే 30º తక్కువ. అయితే ఆ కోణాలను కనుక్కోండి.
సాధన: చిన్న కోణం = x, పెద్ద కోణం = y అనుకోండి.
x + y = 180  →  (1)     (రెండు కోణాలు సంపూరకాలు)
చిన్న కోణం, పెద్ద కోణం కంటే 30º తక్కువ.
x = y - 30º
x - y = - 30º → (2)
(1) + (2) :  x + y = 180º
             x - y = - 30º
____________
 2x = 150º
 x =  = 75º
x విలువను (1)లో రాస్తే
75º + y = 180º
∴  y = 180º - 75º = 105º.

12. ఒక భిన్నంలో లవ, హారాలకు 1 కలిపితే అది  అవుతుంది. లవ, హారాల నుంచి 2 తీసివేస్తే

 వస్తుంది. ఆ భిన్నమెంత?
సాధన: భిన్నం =  అనుకోండి.
లవ, హారాలకు 1 కలిపితే అది  అవుతుంది.

3(x + 1) = 2(y + 1)
⇒ 3x + 3 = 2y + 2
⇒ 3x - 2y = -1 → (1)
లవ, హారాల నుంచి 2 తీసివేస్తే

⇒ 3(x - 2) = 1(y - 2)
⇒ 3x - 6 = y - 2
⇒ 3x - y = - 2 + 6
⇒ 3x - y = 4 → (2)
(1) - (2):

⇒ y = 5
y విలువను (1) లో రాస్తే
3x - 2(5) = - 1
3x = - 1 + 10
⇒ 3x = 9 
⇒  x =  = 3
 ∴ కావాల్సిన భిన్నం = 

13. ఒక పాఠ్యపుస్తకంలో 1644 పేజీలున్నాయి. దీన్ని రెండు భాగాలు చేశారు. మొదటి భాగంలో, రెండో భాగంలో కంటే 50 పేజీలు ఎక్కువ ఉన్నాయి. ప్రతి విభాగంలోని పేజీల సంఖ్య కనుక్కోండి.
సాధన: మొదటి భాగంలోని పేజీల సంఖ్య = x, రెండో భాగంలోని పేజీల సంఖ్య = y అనుకోండి.
 x + y = 1644 → (1)
 x = y + 50
⇒ x - y = 50 → (2)
(1) + (2) :  x + y = 1644
             x - y = 50
______________
         2x     = 1694  
⇒  x =  = 847
x విలువను (1) లో రాస్తే
   847 + y = 1644
∴ y = 1644 - 847 = 797
అంటే మొదటి విభాగంలోని పేజీల సంఖ్య = 847, రెండో విభాగంలోని పేజీల సంఖ్య = 797.

14. ఒక రహదారిపై P, Q అనే ప్రదేశాలు 140 కి.మీ. దూరంలో ఉన్నాయి. P, Q నుంచి రెండు కార్లు ఒకే సమయంలో వేర్వేరు వేగాలతో ప్రయాణిస్తున్నాయి. ఆ రెండు కార్లు ఒకే దిశలో ప్రయాణం చేస్తే అవి 5 గంటల తర్వాత కలుస్తాయి. అలా కాకుండా ఒకదానివైపు మరొకటి ప్రయాణం చేస్తే 2 గంటల తర్వాత కలుస్తాయి. అయితే ఆ రెండు కార్ల వేగాలను కనుక్కోండి.
సాధన: P నుంచి బయలుదేరిన కారు వేగం = x కి.మీ./గంట
Q నుంచి బయలుదేరిన కారు వేగం = y కి.మీ./ గంట అనుకోండి.
P, Q మధ్య దూరం = 140 కి.మీ.
ఒకే దిశలో ప్రయాణిస్తే వాటి సాపేక్ష వేగం = (x - y) కి.మీ./ గంట
ఇవి 5 గంటల తర్వాత కలుస్తాయి.
దూరం = వేగం × కాలం
140 = 5(x - y)
x - y =  = 28
x - y = 28 →   (1) 
ఒకదాని వైపు మరొకటి ప్రయాణిస్తే వాటి సాపేక్ష వేగం = (x + y) కి.మీ/గంట.
ఇవి 2 గంటల తర్వాత కలుస్తాయి.
దూరం = వేగం × కాలం 
140 = 2(x + y)
x + y =  = 70
∴ x + y = 70 → (2)

⇒ x =  = 49 కి.మీ./గం.
x విలువను (1) లో రాస్తే
49 - y = 28
 - y = 28 - 49
  - y = - 21
y = 21 కి.మీ./ గం.
అంటే P నుంచి బయలుదేరిన కారు వేగం = 49 కి.మీ./గంట
Q నుంచి బయలుదేరిన కారు వేగం = 21 కి.మీ./గంట.

15. రసాయనాలు అమ్మే దుకాణదారుడి వద్ద రెండు రకాల హైడ్రోక్లోరిక్ ఆమ్లాలు (HCl) ఉన్నాయి. ఒకటి 40% ద్రావణం, రెండోది 80% ద్రావణం. 100 ml HCl ద్రావణంలో 60% ద్రావణం కావాలంటే ఆ రెండు ద్రావణాలను ఎంత పరిమాణంలో తీసుకోవాలి?
సాధన: 40% ద్రావణంలో ఉండే HCl పరిమాణం = x ml
   80% ద్రావణంలో ఉండే HCl పరిమాణం = y ml అనుకోండి.
   కావల్సిన ద్రావణం పరిమాణం = 100 ml
∴  x + y = 100 → (1)
40% ద్రావణంలో x శాతం =  
80% ద్రావణంలో y శాతం = 
సమస్య నుంచి  
       2x + 4y = 300
       x + 2y = 150 → (2)

y విలువను (1) లో రాస్తే,  x + 50 = 100
         ⇒ x = 50%

16. ప్రకాశ్ ₹ 20,000 దాచుకోవాలనుకున్నాడు. దానిలో కొంత మొత్తాన్ని 8% వడ్డీరేటుకు, మిగిలింది 16% వడ్డీ రేటుకు పొదుపు చేయాలనుకున్నాడు. అయితే మొత్తంమీద పొదుపు 10% వడ్డీరేటు రావాలంటే ఏ వడ్డీరేటున ఎంత సొమ్ము దాచాలి?
సాధన: 8% వడ్డీరేటుకు దాచిన మొత్తం = రూ. x
          16% వడ్డీరేటుకు దాచిన మొత్తం = రూ. y అనుకోండి.
          x + y = 20,000 → (1) 
 
2x + 4y = 2000 × 25
x + 2y = 25000  →  (2)
(2) - (1) :  x + 2y = 25,000
                    x + y = 20,000
                   _____________  
                           y =  ₹ 5000
y విలువను (1) లో రాస్తే
x + 5,000 = 20,000     ∴  x =  ₹15,000
అంటే 8% వడ్డీరేటుకు దాచిన మొత్తం = ₹ 15,000
16% వడ్డీరేటుకు దాచిన మొత్తం = ₹ 5,000

సాధన:

20x - 10y + 6x - 9y = 33
26x - 19y = 33 → (1)
3x + 5y + 3x - 6y = 11
6x - y = 11 → (2)

⇒ x =  = 2
  x విలువను (2) లో రాస్తే
  6(2) - y = 11
⇒  -y = 11 - 12
⇒  -y = -1
∴  y = 1

18. 2x + 3y = 5xy, 3x + 2y = 15xy ను సాధించండి.
సాధన: 2x + 3y = 5xy ను xy తో భాగించగా

3x + 2y = 15xy ను xy తో భాగించగా

3a + 2b = 5  →  (1)
2a + 3b = 15 → (2)

b విలువను (1) లో రాస్తే
 3a + 2(7) = 5
⇒  3a = 5 - 14 
⇒ 3a = - 9
⇒ a = -  = - 3 
∴   = a = - 3 
⇒  x = - 
  = b = 7 
⇒ y =

 

2a + 3b = 13 → (1)
5a -  4b =  2 → (2)
(1) × 5 - (2) × 2: 

b విలువను (1)లో రాస్తే
 2a + 3(3) = 13
 2a = 13 - 9
 2a = 4
⇒ a =  = 2 

20. ఒక పనిని నలుగురు పురుషులు, ఆరుగురు స్త్రీలు కలిసి 10 రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు. అదే పనిని 10 మంది పురుషులు, ఆరుగురు స్త్రీలు కలిసి 5 రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు. పురుషుడు లేదా స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని చేయడానికి ఎంతకాలం పడుతుంది?
సాధన: పురుషుడు ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టేకాలం = x రోజులు
           స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టేకాలం = y రోజులు అనుకోండి
పురుషుడు ఒక రోజులో చేయగలిగే పని = 

స్త్రీ ఒక రోజులో చేయగలిగే పని =  అవుతుంది
నలుగురు పురుషులు, ఆరుగురు స్త్రీలు కలిసి 10 రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు.
అంటే ఒక రోజులో చేయగల పని = 
నలుగురు పురుషులు ఒక రోజులో చేయగల పని = 
ఆరుగురు స్త్రీలు ఒక రోజులో చేయగల పని = 
నలుగురు పురుషులు, ఆరుగురు స్త్రీలు కలిసి ఒక రోజులో చేయగల మొత్తం పని =  + 
కానీ లెక్క ప్రకారం =  +  = 

అదేవిధంగా 
10 మంది పురుషులు, ఆరుగురు స్త్రీలు కలిసి ఒక రోజులో చేయగల మొత్తం పని =  + 
కానీ లెక్క ప్రకారం

40a + 60b = 1 → (3)
50a + 30b = 1 → (4)

అంటే పురుషుడు ఒక్కడే 60 రోజుల్లో, స్త్రీ ఒక్కరే 180 రోజుల్లో పని పూర్తిచేయగలరు.

రచయిత: పి. వేణుగోపాల్