అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు
1. ఏకచరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణం రాయండి.
జ: 2x + 1 = 0
2. 3[2x - 1] = 4 అయితే x విలువ ఎంత?
జ: 6x - 3 = 4
6x = 4 + 3
6x = 7 => x = 7/6
3. అనిశ్చిత వాక్యానికి ఒక ఉదాహరణ రాయండి.
జ: x + 1 = 8 (x యొక్క ఏ విలువకైనా x + 1 = 8 అనే వాక్యం సత్యమో, అసత్యమో చెప్పలేం. ఇలాంటి వాక్యాన్ని అనిశ్చిత వాక్యం అంటారు.)
4. ఒక సమీకరణంలో రెండు చరరాశులు ఉన్నప్పుడు దాన్ని తృప్తిపరిచే క్రమయుగ్మాలు ఎన్ని ఉంటాయి?
జ: అనేకం
5. 2x - y = 5 అనే సమీకరణానికి ఎన్ని సాధనలు ఉంటాయి?
జ: అనంతం
6. రెండు చరరాశుల్లో రేఖీయ సమీకరణాన్ని రాయండి.
జ: ax + by + c = 0 (a, b ≠ 0; a, b, c ϵ R)
7. రెండు చరరాశుల్లో ఒక జత రేఖీయ సమీకరణాలు రాయండి.
8. ఒకే రకమైన రెండు చరరాశులు ఉండే సమీకరణాలను ఏమంటారు?
జ: రేఖీయ సమీకరణాల జత
9. రెండు చరరాశులు ఉండే సమీకరణాలకు ఒకే సాధన కావాలంటే ఎన్ని స్వతంత్ర సమీకరణాలు కావాలి?
జ: రెండు
10. రెండు చరరాశులు ఉండే రేఖీయ సమీకరణానికి గీసిన గ్రాఫ్ను ఏమంటారు?
జ: సరళరేఖ
11. తలంలో ఒక సమీకరణాల జత ఎన్ని సరళరేఖలను సూచిస్తాయి?
జ: రెండు
12. ఒక తలంలో రెండు సరళరేఖలను గీసినప్పుడు వాటికి ఎన్ని సందర్భాలు ఉంటాయి?
జ: మూడు (ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకుంటాయి, సమాంతరంగా ఉంటాయి, తుల్యమవుతాయి.)
13. సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత అంటే ఏమిటి?
జ: రెండు చలరాశులు ఉండే రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఒకే ఒక సాధన ఉంటే వాటిని సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత అంటారు.
14. సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జ: 2x + 3y = 7, 3x + 2y = 8
15. సాధన లేని రేఖీయ సమీకరణాల జతలను ఏమంటారు?
జ: అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతలు
16. అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతలకు ఒక ఉదాహరణ రాయండి.
జ: x + y = 6, 2x + 2y = 12
17. అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతలు ఎన్ని బిందువుల వద్ద ఖండించుకుంటాయి?
జ: అసలు ఖండించుకోవు. సమాంతరంగా ఉంటాయి.
18. రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఉమ్మడి సాధన ఉంటే అవి ఏ విధంగా ఉంటాయి?
జ: తుల్యంగా ఉంటాయి (ఒకదానిపై ఒకటి)
19. రేఖీయ సమీకరణాల జత తుల్యం అయితే వాటికి ఎన్ని సాధనలు ఉంటాయి?
జ: అనంతం
20. రేఖీయ సమీకరణాల జత తుల్యం అయితే వాటిని ఏమంటారు?
జ: పరస్పర ఆధారిత రేఖీయ సమీకరణాలు
21. పరస్పర ఆధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత ఎల్లప్పుడూ సంగత జత అవుతుందా?
జ: కాదు, ఎందుకంటే సంగత జతలో ఒకే ఒక సాధన ఉంటుంది. కానీ పరస్పర ఆధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జతలో అనంత సాధనలు ఉంటాయి.
22. పరస్పర ఆధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత అసంగత జత అవుతుందా?
జ: కాదు. అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత సమాంతరంగా ఉంటుంది.
రెండు రేఖీయ సమీకరణాల జత అయితే కింది వాటికి సమాధానాలు రాయండి.
అయితే రేఖలు ఏ విధంగా ఉంటాయి?
జ: ఖండించుకుంటాయి
అయితే, ఆ రేఖలకు ఎన్ని సాధనలు ఉంటాయి?
జ: ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
అయితే ఆ రేఖలు ఏ విధంగా ఉంటాయి?
జ: సమాంతరంగా.
అయితే ఆ రేఖలకు సాధన ఏమిటి?
జ: సాధన లేదు.
అయితే ఆ రేఖలు ఏ విధంగా ఉంటాయి?
జ: రేఖలు ఒకదానికొకటి ఏకీభవిస్తాయి.
అయితే ఆ రేఖలకు సాధన ఏమిటి?
జ: అనంత సాధనలు ఉంటాయి
24. 3x + 2y = 6, 6x + ky = 18 రేఖలకు సాధన లేకుంటే k = ?
25. k యొక్క ఏ విలువలకు x + (k - 3)y = 6, 2x + (k + 1)y = 12 రేఖల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటాయి?
⇒ k + 1 = 2(k - 3)
⇒ k + 1 = 2k - 6 ⇒ 2k - k = 1 + 6
∴ k = 7
26. k యొక్క ఏ విలువలకు 5x - 3y + 11 = 0, 10x - 6y + k = 0 సమీకరణ జత ఏకీభవించే రేఖలవుతాయి?
27. k యొక్క ఏ విలువకు 3x + ky = 5, 2x - 3y = 7 రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఏకైక సాధన ఉంటుంది?
28. p యొక్క ఏ ధన విలువలకు కింది సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటాయి?
px + 3y - (p - 3) = 0
12x + py - p = 0
p2 = 12 × 3
p2 = 36
p = = ± 6
దీర్ఘసమాధాన ప్రశ్నలు
1. x + y = 25, x + 2y = 40 లను గ్రాఫ్ పద్ధతి ద్వారా సాధించండి.
2. 2x + 3y = 1, 3x - y = 7 రేఖీయ సమీకణాల జత ఖండన రేఖలా, సమాంతర రేఖలా లేదా ఏకీభవించే రేఖలా సరిచూస్తూ గ్రాఫ్ ద్వారా సాధించండి.
3. x + y = 8, 3x + 3y = 14 సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలా? అసంగత సమీకరణాలో తెలుపుతూ గ్రాఫ్ గీయండి.
4. 2x + 2y = 10, x + y = 5 సమీకరణాల జత పరస్పర ఆధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత అని గ్రాఫ్ ద్వారా చూపండి.
5. ఒక తోటలో కొన్ని తుమ్మెదలు, పువ్వులు ఉన్నాయి. ప్రతి పువ్వుపై ఒక తుమ్మెద వాలినప్పుడు 2 తుమ్మెదలు మిగులుతాయి. ప్రతి పువ్వుపై రెండు తుమ్మెదలు వాలితే 3 పువ్వులు మిగులుతాయి. అయితే పువ్వులెన్ని? తుమ్మెదలెన్ని?
సాధన: తుమ్మెదలు = x, పువ్వులు = y అనుకోండి.
ప్రతి పువ్వుపై ఒక తుమ్మెద వాలినప్పుడు 2 తుమ్మెదలు మిగులుతాయి.
x = y + 2
⇒ x - y = 2 → (1)
ప్రతి పువ్వుపై రెండు తుమ్మెదలు వాలితే 3 పువ్వులు మిగులుతాయి.
x = 2(y - 3)
⇒ x - 2y = - 6 → (2)
(2) - (1) : x - 2y = - 6
⇒ y = 8
y విలువను (1) లో రాస్తే
x - 8 = 2
∴ x = 2 + 8 = 10
అంటే తుమ్మెదలు = 10, పువ్వులు = 8
6. 8 మంది పదోతరగతి విద్యార్థులు ఒక వ్యాసరచన పోటీలో పాల్గొన్నారు. దానిలో పాల్గొన్న బాలికల సంఖ్య బాలుర సంఖ్య కంటే 2 ఎక్కువ. అయితే వ్యాసరచన పోటీలో పాల్గొన్న బాలికల సంఖ్య, బాలుర సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన: వ్యాసరచన పోటీలో పాల్గొన్న బాలుర సంఖ్య = x, బాలికల సంఖ్య = y అనుకోండి.
మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య = 8
⇒ x + y = 8 → (1)
బాలికల సంఖ్య బాలుర సంఖ్య కంటే 2 ఎక్కువ
y = x + 2
⇒ x - y = - 2 ............. (2)
(1) + (2) : x + y = 8
x - y = - 2
_______
2x = 6
⇒ x = = 3
x విలువను (1) లో రాయగా
3 + y = 8
⇒ y = 8 - 3 = 5
∴ బాలుర సంఖ్య = 3, బాలికల సంఖ్య = 5
7. వెడల్పు కంటే పొడవు 6 మీ. ఎక్కువ ఉన్న ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార తోట చుట్టు కొలతలో సగం 50 మీ. అయితే ఆ తోట కొలతలు కనుక్కోండి.
సాధన: పొడవు = x మీ., వెడల్పు = y మీ. అనుకోండి.
వెడల్పు కంటే పొడవు 6 మీ. ఎక్కువ
x = y + 6
⇒ x - y = 6 (1)
దీర్ఘచతురస్రాకార తోట చుట్టు కొలత = 2(x + y)మీ.
x విలువను (2)లో రాస్తే
28 + y = 50
∴ y = 50 - 28 = 22 మీ.
అంటే పొడవు = x = 28 మీ., వెడల్పు = y = 22 మీ.
8. జ్యోతి బ్యాంకు నుంచి రూ.5000 తీసుకోవాలనుకుంది. ఆ మొత్తానికి ₹100, ₹500 నోట్లను మాత్రమే ఇవ్వాలని క్యాషియర్ను కోరింది. ఆమెకు మొత్తం 30 నోట్లు వస్తే అందులో ఎన్ని ₹100 నోట్లు, ఎన్ని ₹500 నోట్లు వచ్చాయో తెలపండి.
సాధన: ₹100 నోట్ల సంఖ్య = x, ₹ 500 నోట్ల సంఖ్య = y అనుకోండి.
x + y = 30 ......... (1)
100x + 500y = 5000 [ ₹ 100, ₹ 500 నోట్ల మొత్తం విలువ ₹ 5000]
x + 5y = 50 ............ (2)
(2) - (1) : x + 5y = 50
x + y = 30
_ _ _
________________
4y = 20
y = = 5
y విలువను (1) లో రాస్తే
x + 5 = 30
⇒ x = 30 - 5 = 25
అంటే ₹ 100 నోట్ల సంఖ్య (x) = 25
₹ 500 నోట్ల సంఖ్య (y) = 5.
9. ఒక దీర్ఘ చతుస్రం పొడవు 2 యూనిట్లు తగ్గించి, వెడల్పు 2 యూనిట్లు పెంచితే వైశాల్యం 6 చదరపు యూనిట్లు పెరుగుతుంది. పొడవును 2 యూనిట్లు, వెడల్పును 3 యూనిట్లు పెంచితే వైశాల్యం 46 చదరపు యూనిట్లు పెరుగుతుంది. అయితే ఆ దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు, వెడల్పులు కనుక్కోండి.
సాధన: పొడవు = x, వెడల్పు = y యూనిట్లు అనుకోండి.
దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు = xy
(i) పొడవు 2 యూనిట్లు తగ్గించి, వెడల్పు 2 యూనిట్లు పెంచితే వైశాల్యం 6 చదరపు యూనిట్లు పెరుగుతుంది.
(x - 2)(y + 2) = xy + 6
xy + 2x - 2y - 4 = xy + 6
2x - 2y = 6 + 4
2x - 2y = 10
⇒ x - y = 5 → (1)
(ii) పొడవు 2 యూనిట్లు పెంచి, వెడల్పు 3 యూనిట్లు పెంచితే వైశాల్యం 46 చదరపు యూనిట్లు పెరుగుతుంది.
(x + 2)(y + 3) = xy + 46
xy + 3x + 2y + 6 = xy + 46
3x + 2y = 46 - 6
3x + 2y = 40 → (2)
(2) + (1) × 2:
3x + 2y = 40
2x - 2y = 10
____________
5x = 50
⇒ x = = 10 యూనిట్లు
x విలువను (1)లో రాస్తే
10 - y = 5
- y = 5 - 10
- y = - 5
⇒ y = 5 యూనిట్లు
10. ఇద్దరి వ్యక్తుల ఆదాయాల నిష్పత్తి 7 : 3, ఖర్చుల నిష్పత్తి 5 : 2. వారు ప్రతి నెలకు ₹ 1000 ఆదా చేస్తే వారి నెలవారి ఆదాయాలను కనుక్కోండి.
సాధన: మొదటి వ్యక్తి ఆదాయం = రూ. 7x, రెండో వ్యక్తి ఆదాయం = రూ. 3x
మొదటి వ్యక్తి ఖర్చు = రూ. 5y, రెండో వ్యక్తి ఖర్చు = రూ. 2y అనుకోండి.
7x - 5y = 1000 → (1)
3x - 2y = 1000 → (2)
(1) × 3 - (2) × 7:
21x - 15y = 3000
21x - 14y = 7000
_ + _
___________
- y = - 4000
y విలువను (1)లో రాస్తే
7x - 5(4000) = 1000
7x - 20,000 = 1000
∴ 7x = 1000 + 20,000
7x = 21,000
∴ x = = 3,000
మొదటి వ్యక్తి ఆదాయం = 7 × 3,000 = ₹ 21,000
మొదటి వ్యక్తి ఖర్చు = 5 × 4,000 = ₹ 20,000
రెండో వ్యక్తి ఆదాయం = 3 × 3,000 = ₹ 9,000
రెండో వ్యక్తి ఖర్చు = 2 × 4,000 = ₹ 8,000
11. రెండు సంపూరక కోణాల్లో చిన్న కోణం, పెద్ద కోణం కంటే 30º తక్కువ. అయితే ఆ కోణాలను కనుక్కోండి.
సాధన: చిన్న కోణం = x, పెద్ద కోణం = y అనుకోండి.
x + y = 180 → (1) (రెండు కోణాలు సంపూరకాలు)
చిన్న కోణం, పెద్ద కోణం కంటే 30º తక్కువ.
x = y - 30º
x - y = - 30º → (2)
(1) + (2) : x + y = 180º
x - y = - 30º
____________
2x = 150º
x = = 75º
x విలువను (1)లో రాస్తే
75º + y = 180º
∴ y = 180º - 75º = 105º.
12. ఒక భిన్నంలో లవ, హారాలకు 1 కలిపితే అది అవుతుంది. లవ, హారాల నుంచి 2 తీసివేస్తే
వస్తుంది. ఆ భిన్నమెంత?
సాధన: భిన్నం = అనుకోండి.
లవ, హారాలకు 1 కలిపితే అది అవుతుంది.
3(x + 1) = 2(y + 1)
⇒ 3x + 3 = 2y + 2
⇒ 3x - 2y = -1 → (1)
లవ, హారాల నుంచి 2 తీసివేస్తే
⇒ 3(x - 2) = 1(y - 2)
⇒ 3x - 6 = y - 2
⇒ 3x - y = - 2 + 6
⇒ 3x - y = 4 → (2)
(1) - (2):
⇒ y = 5
y విలువను (1) లో రాస్తే
3x - 2(5) = - 1
3x = - 1 + 10
⇒ 3x = 9
⇒ x = = 3
∴ కావాల్సిన భిన్నం =
13. ఒక పాఠ్యపుస్తకంలో 1644 పేజీలున్నాయి. దీన్ని రెండు భాగాలు చేశారు. మొదటి భాగంలో, రెండో భాగంలో కంటే 50 పేజీలు ఎక్కువ ఉన్నాయి. ప్రతి విభాగంలోని పేజీల సంఖ్య కనుక్కోండి.
సాధన: మొదటి భాగంలోని పేజీల సంఖ్య = x, రెండో భాగంలోని పేజీల సంఖ్య = y అనుకోండి.
x + y = 1644 → (1)
x = y + 50
⇒ x - y = 50 → (2)
(1) + (2) : x + y = 1644
x - y = 50
______________
2x = 1694
⇒ x = = 847
x విలువను (1) లో రాస్తే
847 + y = 1644
∴ y = 1644 - 847 = 797
అంటే మొదటి విభాగంలోని పేజీల సంఖ్య = 847, రెండో విభాగంలోని పేజీల సంఖ్య = 797.
14. ఒక రహదారిపై P, Q అనే ప్రదేశాలు 140 కి.మీ. దూరంలో ఉన్నాయి. P, Q నుంచి రెండు కార్లు ఒకే సమయంలో వేర్వేరు వేగాలతో ప్రయాణిస్తున్నాయి. ఆ రెండు కార్లు ఒకే దిశలో ప్రయాణం చేస్తే అవి 5 గంటల తర్వాత కలుస్తాయి. అలా కాకుండా ఒకదానివైపు మరొకటి ప్రయాణం చేస్తే 2 గంటల తర్వాత కలుస్తాయి. అయితే ఆ రెండు కార్ల వేగాలను కనుక్కోండి.
సాధన: P నుంచి బయలుదేరిన కారు వేగం = x కి.మీ./గంట
Q నుంచి బయలుదేరిన కారు వేగం = y కి.మీ./ గంట అనుకోండి.
P, Q మధ్య దూరం = 140 కి.మీ.
ఒకే దిశలో ప్రయాణిస్తే వాటి సాపేక్ష వేగం = (x - y) కి.మీ./ గంట
ఇవి 5 గంటల తర్వాత కలుస్తాయి.
దూరం = వేగం × కాలం
140 = 5(x - y)
x - y = = 28
x - y = 28 → (1)
ఒకదాని వైపు మరొకటి ప్రయాణిస్తే వాటి సాపేక్ష వేగం = (x + y) కి.మీ/గంట.
ఇవి 2 గంటల తర్వాత కలుస్తాయి.
దూరం = వేగం × కాలం
140 = 2(x + y)
x + y = = 70
∴ x + y = 70 → (2)
⇒ x = = 49 కి.మీ./గం.
x విలువను (1) లో రాస్తే
49 - y = 28
- y = 28 - 49
- y = - 21
y = 21 కి.మీ./ గం.
అంటే P నుంచి బయలుదేరిన కారు వేగం = 49 కి.మీ./గంట
Q నుంచి బయలుదేరిన కారు వేగం = 21 కి.మీ./గంట.
15. రసాయనాలు అమ్మే దుకాణదారుడి వద్ద రెండు రకాల హైడ్రోక్లోరిక్ ఆమ్లాలు (HCl) ఉన్నాయి. ఒకటి 40% ద్రావణం, రెండోది 80% ద్రావణం. 100 ml HCl ద్రావణంలో 60% ద్రావణం కావాలంటే ఆ రెండు ద్రావణాలను ఎంత పరిమాణంలో తీసుకోవాలి?
సాధన: 40% ద్రావణంలో ఉండే HCl పరిమాణం = x ml
80% ద్రావణంలో ఉండే HCl పరిమాణం = y ml అనుకోండి.
కావల్సిన ద్రావణం పరిమాణం = 100 ml
∴ x + y = 100 → (1)
40% ద్రావణంలో x శాతం =
80% ద్రావణంలో y శాతం =
సమస్య నుంచి
2x + 4y = 300
x + 2y = 150 → (2)
y విలువను (1) లో రాస్తే, x + 50 = 100
⇒ x = 50%
16. ప్రకాశ్ ₹ 20,000 దాచుకోవాలనుకున్నాడు. దానిలో కొంత మొత్తాన్ని 8% వడ్డీరేటుకు, మిగిలింది 16% వడ్డీ రేటుకు పొదుపు చేయాలనుకున్నాడు. అయితే మొత్తంమీద పొదుపు 10% వడ్డీరేటు రావాలంటే ఏ వడ్డీరేటున ఎంత సొమ్ము దాచాలి?
సాధన: 8% వడ్డీరేటుకు దాచిన మొత్తం = రూ. x
16% వడ్డీరేటుకు దాచిన మొత్తం = రూ. y అనుకోండి.
x + y = 20,000 → (1)
2x + 4y = 2000 × 25
x + 2y = 25000 → (2)
(2) - (1) : x + 2y = 25,000
x + y = 20,000
_____________
y = ₹ 5000
y విలువను (1) లో రాస్తే
x + 5,000 = 20,000 ∴ x = ₹15,000
అంటే 8% వడ్డీరేటుకు దాచిన మొత్తం = ₹ 15,000
16% వడ్డీరేటుకు దాచిన మొత్తం = ₹ 5,000
సాధన:
20x - 10y + 6x - 9y = 33
26x - 19y = 33 → (1)
3x + 5y + 3x - 6y = 11
6x - y = 11 → (2)
⇒ x = = 2
x విలువను (2) లో రాస్తే
6(2) - y = 11
⇒ -y = 11 - 12
⇒ -y = -1
∴ y = 1
18. 2x + 3y = 5xy, 3x + 2y = 15xy ను సాధించండి.
సాధన: 2x + 3y = 5xy ను xy తో భాగించగా
3x + 2y = 15xy ను xy తో భాగించగా
3a + 2b = 5 → (1)
2a + 3b = 15 → (2)
b విలువను (1) లో రాస్తే
3a + 2(7) = 5
⇒ 3a = 5 - 14
⇒ 3a = - 9
⇒ a = - = - 3
∴ = a = - 3
⇒ x = -
= b = 7
⇒ y =
2a + 3b = 13 → (1)
5a - 4b = 2 → (2)
(1) × 5 - (2) × 2:
b విలువను (1)లో రాస్తే
2a + 3(3) = 13
2a = 13 - 9
2a = 4
⇒ a = = 2
20. ఒక పనిని నలుగురు పురుషులు, ఆరుగురు స్త్రీలు కలిసి 10 రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు. అదే పనిని 10 మంది పురుషులు, ఆరుగురు స్త్రీలు కలిసి 5 రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు. పురుషుడు లేదా స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని చేయడానికి ఎంతకాలం పడుతుంది?
సాధన: పురుషుడు ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టేకాలం = x రోజులు
స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టేకాలం = y రోజులు అనుకోండి
పురుషుడు ఒక రోజులో చేయగలిగే పని =
స్త్రీ ఒక రోజులో చేయగలిగే పని = అవుతుంది
నలుగురు పురుషులు, ఆరుగురు స్త్రీలు కలిసి 10 రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు.
అంటే ఒక రోజులో చేయగల పని =
నలుగురు పురుషులు ఒక రోజులో చేయగల పని =
ఆరుగురు స్త్రీలు ఒక రోజులో చేయగల పని =
నలుగురు పురుషులు, ఆరుగురు స్త్రీలు కలిసి ఒక రోజులో చేయగల మొత్తం పని = +
కానీ లెక్క ప్రకారం = +
=
అదేవిధంగా
10 మంది పురుషులు, ఆరుగురు స్త్రీలు కలిసి ఒక రోజులో చేయగల మొత్తం పని = +
కానీ లెక్క ప్రకారం
40a + 60b = 1 → (3)
50a + 30b = 1 → (4)
అంటే పురుషుడు ఒక్కడే 60 రోజుల్లో, స్త్రీ ఒక్కరే 180 రోజుల్లో పని పూర్తిచేయగలరు.
రచయిత: పి. వేణుగోపాల్