ఏ రెండు వృత్తాలైనా, ఏ రెండు చతురస్రాలైనా, ఏ రెండు సమబాహు త్రిభుజాలైనా సరూపాలు. అంటే ఒకే ఆకారంలో ఉండి తప్పనిసరిగా ఒకే పరిమాణంలో లేని పటాలను సరూప పటాలు అంటారు.
* ఏ రెండు రేఖాఖండాలైనా సరూపాలే.
* రెండు సర్వసమాన పటాలు సరూపాలు అవుతాయి. కానీ సరూప పటాలు సర్వసమానం కానవసరం లేదు.
* అన్ని భుజాలు, కోణాలు సమానంగా ఉండే బహుభుజిని క్రమ బహుభుజి అంటారు.
సరూపం కాని పటాలకు ఉదాహరణలు:
సరూప బహుభుజులు:
రెండు బహుభుజులు సరూపాలు కావాలంటే, వాటి
i) అనురూప కోణాలు సమానం కావాలి మరియు
ii) అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానం కావాలి.
సరూప త్రిభుజాలు:
రెండు త్రిభుజాలు సరూపాలు కావాలంటే, వాటి
i) అనురూప కోణాలు సమానం కావాలి.
ii) అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానంగా ఉండాలి.
సరూప త్రిభుజాల కొన్ని ఫలితాలను చూద్దాం.
1. ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం (థేల్స్ సిద్ధాంతం)
ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ, మిగిలిన రెండు భుజాలను వేర్వేరు బిందువుల్లో ఖండిస్తే, ఆ మిగిలిన రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
ఉపపత్తి: EF ⊥ AB కాబట్టి EF అనేది Δ ADE, Δ DBEకి ఎత్తు అవుతుంది.
DE, BC సమాంతర రేఖల మధ్య Δ BDE, Δ ECD ఉన్నాయి.
(ఒకే భూమి, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉన్న త్రిభుజాల వైశాల్యాలు సమానం)
పై నిష్పత్తులన్నీ సమానం అవుతాయి.
2. ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత విపర్యయం (థేల్స్ సిద్ధాంత విపర్యయం)
ఒక త్రిభుజంలో ఏవైనా రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించే సరళరేఖ, మూడో భుజానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది.
ఉపపత్తి: DE // BC (DE, BCకి సమాంతరం కాదు అనుకుందాం)
⇒ FC = EC అంటే E, F బిందువులు ఒక‌టైన‌ప్పుడే ఇది సాధ్యం
∴ DE // BC
3. త్రిభుజాల సరూపతకు కో.కో.కో. నియమం:
రెండు త్రిభుజాల్లో అనురూప కోణాలు సమానంగా ఉంటే, వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానంగా ఉంటాయి. ఆ రెండు త్రిభుజాలు సరూపాలు.
నిర్మాణం: AB = DP, AC = DQ అయ్యేలా DE, DFలపై వరుసగా P, Qలను గుర్తించాలి.
P, Qలను కలపాలి.
ఉపపత్తి: Δ ABC ≅ Δ DEF (భు.కో.భు. నియమం ప్రకారం)
4. త్రిభుజాల సరూపతకు భు.భు.భు. నియమం:
రెండు త్రిభుజాల్లో ఒక త్రిభుజంలోని భుజాలు వేరొక త్రిభుజంలోని భుజాలకు అనుపాతంలో ఉంటే ఆ రెండు త్రిభుజాలలోని అనురూప కోణాలు సమానం, అవి సరూపాలు.
5. త్రిభుజాల సరూపతకు భు.కో.భు. నియమం:
ఒక త్రిభుజంలోని ఒక కోణం, వేరొక త్రిభుజంలోని ఒక కోణానికి సమానమై, ఈ కోణాలను కలిగి ఉన్న భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సరూపాలు.
దత్తాంశం: Δ ABC మరియు Δ DEF లలో
సారాంశం: Δ ABC ~ Δ DEF అని చూపాలి.
నిర్మాణం: AB = DP, AC = DQ అయ్యేలా DE, DF లపై P, Q బిందువులను గుర్తించి P, Q లను కలపాలి.
ఉపపత్తి: Δ ABC, Δ DPQ లలో
AB = DP, AC = DQ (నిర్మాణం)
A = D (దత్తాంశం)
∴ Δ ABC ≅ ΔDPQ ............. (1)
Δ DPQ ~ Δ DEF (కో.కో.కో. నియమం) (2)
(1), (2) నుంచి
Δ ABC ~ Δ DPQ & Δ DPQ ~ Δ DEF
Δ ABC ~ Δ DEF
6. రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానం.
నిర్మాణం: AM ⊥ BC & PN ⊥ QR గీయాలి.
Δ ABC ~ Δ PQR (దత్తాంశం)
7. పైథాగరస్ సిద్ధాంతం:
ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం మీది వర్గం, మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానం.
దత్తాంశం: Δ ABC లో ∠B = 90°
సారాంశం: AC2 = AB2 + BC2 అని చూపాలి.
నిర్మాణం: BD ⊥ AC గీయాలి.
ఉపపత్తి: Δ ADB ~ Δ ABC
∴ AB2 = AD . AC → (1)
Δ BDC ~ Δ ABC
∴ BC2 = AC . CD → (2)
(1) + (2)
⇒ AB2 + BC2 = AD . AC + AC . CD
= AC (AD + DC)
= AC . AC
= AC2
8. పైథాగరస్ సిద్ధాంత విపర్యయం:
ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజం మీది వర్గం మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానమైతే మొదటి భుజానికి ఎదురుగా ఉండే కోణం లంబకోణం.
దత్తాంశం: Δ ABC లో AB2 + BC2 = AC2
సారాంశం: ∠B = 90° అని చూపాలి.
నిర్మాణం: PQ = AB, QR = BC, ∠Q = 90° అయ్యేలా Δ PQR గీయాలి.
ఉపపత్తి: Δ PQRలో ∠Q = 90° (నిర్మాణం)
PQ2 + QR2 = PR2 (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం)
AB2 + BC2 = PR2 (నిర్మాణం ప్రకారం)
కానీ AB2 + BC2 = AC2
∴ PR2 = AC2
⇒ PR = AC
∴ ΔABC ≌ Δ PQR
∴ ∠B = ∠Q = 90°
∴ ΔABC లంబకోణ త్రిభుజం.
నిర్మాణాలు:
1. 8 సెం.మీ. పొడవు గల రేఖాఖండాన్ని గీసి, దాన్ని 3 : 4 నిష్పత్తిలో విభజించండి.
నిర్మాణ క్రమం:
i) AB = 8 సెం.మీ. పొడవు గల రేఖాఖండం గీయాలి.
ii) రేఖాఖండం ABతో అల్పకోణం చేసేలా కిరణం AX ను గీయాలి.
iii) A కేంద్రంగా AXపై చాపం గీయాలి. చాపం, కిరణాన్ని ఖండించిన బిందువును A1 అనుకోండి.
iv) A1 కేంద్రంగా అదే కొలతతో మళ్లీ కిరణంపై చాపాన్ని గీయాలి. చాపం, కిరణాన్ని ఖండించిన బిందువును A2 అనుకోండి.
v) ఈ విధంగా 7 బిందువులను (3 + 4 = 7) గుర్తించాలి. అవి A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7.
ఇవి AA1 = A1A2 = A2 A3 = A3A4 = A4A5 = A5A6 = A6 A7 గా ఉంటాయి.
vi) A7, B ని కలపాలి. A3 బిందువు ద్వారా A7Bకి సమాంతరంగా రేఖ గీయాలి. ఇది ABని 'C' వద్ద తాకుతుంది.
∴ AC : CB = 3 : 4 అవుతుంది.
రచయిత: పి.వేణుగోపాల్
