ముఖ్యమైన ప్రశ్నలు
నాలుగు మార్కుల ప్రశ్నలు
1. ΔABC, ΔPQR లలో 
A, 
Pలు అల్పకోణాలు, sin A = sin P అయితే 
A = 
P అని చూపండి.
సాధన: sin A = sin P
2. cot = 
అయితే 
3. లంబకోణ త్రిభుజం ABCలో B లంబకోణం. tan A = 
, అయితే కింది విలువలు కనుక్కోండి.
i) sin A cos C + cos A sin C
ii) cos A cos C - sin A sin C 
4. 6 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల వృత్తంలో ఒక జ్యా కేంద్రం వద్ద 60º కోణం చేస్తుంటే ఆ జ్యా పొడవెంత?
సాధన: వృత్త వ్యాసార్ధం = OA = OB = 6 సెం.మీ
∠AOB = 60°
OC అనేది 'O' నుంచి AB పైకి గీసిన లంబం.
ఇది కోణ సమద్విఖండన రేఖ
∠COB = 30°
కానీ జ్యా పొడవు AB = 2BC = 2 × 3 = 6 సెం.మీ.
∴ జ్యా పొడవు = 6 సెం.మీ.
5. (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2 = 7 + tan2A + cot2A అని నిరూపించండి.
సాధన: L.H.S. = (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2
= (sin2 A + 2.sin A.cosec A + cosec2A) + (cos2A + 2.cosA.secA + sec2A)
= (sin2 A + 2.sin A. 
+ cosec2A) + (cos2A + 2.cosA. 
+ sec2A)
= (sin2 A + cos2 A + 2) + (cosec2 A + sec2 A + 2)
= sin2 A + cos2 A + cosec2 A + sec2 A + 4
= 1 + cosec2 A + sec2 A + 4
6. cosec θ + cot θ = k అయితే 
= అని నిరూపించండి.
కానీ cosec θ + cot θ = k
(cosec θ + cot θ)2 = k2
cosec2 θ + 2 cosec θ.cot θ + cot2 θ
7. cot B = 
అయితే tan2 B − sin2 B = sin4 B . sec2 B అని నిరూపించండి.
రెండు మార్కుల ప్రశ్నలు
1. PQR లంబకోణ త్రిభుజంలో భుజాలు వరుసగా PQ = 7 సెం.మీ., QR = 25 సెం.మీ., ∠P = 90°అయితే tan Q − tan R ను కనుక్కోండి.
సాధన: PQ = 7 సెం.మీ., QR = 25 సెం.మీ., ∠P = 90º
2. cos A = 
అయితే sin A, tan A లను కనుక్కోండి.
3. i) tan 48°. tan 16°. tan 42°. tan 74° = 1
ii) cos 36°. cos 54° − sin 36°. sin 54° = 0 అని చూపండి.
సాధన: i) tan 48°. tan 16°. tan 42°. tan 74°
= tan 48°. tan 42°. tan 16°. tan 74°
= tan 48°. tan (90° − 48°). tan 16°. tan (90° − 16°)
= tan 48°. cot 48°. tan 16°. cot 16º
= 1
ii) cos 36°. cos 54° − sin 36°. sin 54°
= cos36°. cos(90° − 36°) − sin 36°. sin(90° − 36°)
= cos 36°. sin 36° − sin 36°. cos 36°
= 0
4. A, B, C లు ΔABC యొక్క అంతరకోణాలు అయితే 
అని చూపండి.
సాధన: A, B, C లు ΔABC యొక్క అంతరకోణాలు
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + ∠B = 180° − ∠C
5. i) (1 + tan θ + sec θ)(1 + cot θ − cosec θ)
ii) (sec2 θ − 1) (cose2 θ − 1) లను కనుక్కోండి.
సాధన: i) (1 + tan θ + secθ)(1 + cot θ − cosec θ)
సాధన: L.H.S.= (cosec θ − cot θ)2 = cosec2 θ + cot2 θ − 2 cosec θ . cot θ
7. 
= sec A + tan A అని చూపండి.
9. ΔOPQలో P వద్ద లంబకోణం, OP = 7 సెం.మీ. OQ − PQ = 1 సెం.మీ. అయితే sin Q, cos Q విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన: ΔOPQలో
OQ2 = OP2 + PQ2
(1 + PQ)2 = OP2 + PQ2 (∴ OQ − PQ = 1 ⇒ OQ = 1 + PQ)
10. (1 + tan A. tan B)2 + (tan A − tan B)2 = sec2 A. sec2 B అని నిరూపించండి.
సాధన: L.H.S. = (1 + tan A . tan B)2 + (tan A − tan B)
= 1 + tan2 B + tan2 A . tan2 B + tan2 A
= sec2 B + tan2 A (tan2 B + 1)
= sec2 B + tan2 A (sec2 B)
= sec2B (1 + tan2 A)
= sec2 B. sec2 A = R.H.S.
11. ΔABCలో C వద్ద లంబకోణం ∠A = ∠B అయితే i) cos A = cos B, ii) tan A = tan B అవుతుందా?
సాధన: ΔABC లో ∠A = ∠B ⇒ BC = AC
BC = AC = x అనుకుందాం
AB2 = AC2 + BC2
= x2 + x2
AB2 = 2x2
ఒక మార్కు ప్రశ్నలు
2. cos (60° + 30°) = cos 60°.cos 30° − sin 60°.sin 30° సత్యమేనా?
సాధన: L.H.S. = cos(60° + 30°)
= cos 90°
= 0
∴ cos(60° + 30°) = cos 60° . cos 30° − sin 60° . sin 30° సత్యం.
3. PQR లంబకోణ త్రిభుజంలో Q వద్ద లంబకోణం, PQ = 6 సెం.మీ. ∠RPQ = 60° అయితే QR, PRల పొడవులు కనుక్కోండి.
సాధన: ΔPQRలో ∠Q = 90°, ∠RPQ = 60°, PQ = 6 సెం.మీ.
4. ΔXYZ లో Y వద్ద లంబకోణం, YZ = x, XZ = 2x అయితే ∠YXZ, ∠YZX లను కనుక్కోండి.
సాధన: ΔXYZలో ∠Y= 90°, YZ = x; XZ = 2x
∴ ∠Z = 60° ∠YZX = 60°
∴ ∠X = 30° ∠YXZ = 30°
6. tan A = cot B, A, B లు అల్పకోణాలు అయితే A + B = 90°అని నిరూపించండి.
సాధన: tan A = cot B
cot (90° − A) = cot B (∵ cot (90° − A) = tan A)
⇒ 90° − A = B
⇒ 90° = A + B
7. sin 75° + cos 65°ను 0°, 45°ల మధ్య ఉండే త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల్లో వ్యక్తపరచండి.
సాధన: sin 75° + cos 65° = sin(90° − 15°) + cos(90° − 25°)
= cos15° + sin 25°
8. (sin θ + cos θ)2 + (sin θ − cos θ)2 విలువను కనుక్కోండి.
సాధన: (sin θ + cos θ)2 + (sin θ − cos θ)2
= (sin2 θ + cos2 θ + 2 sin θ.cos θ) + (sin2 θ + cos2 θ − 2 sin θ.cos θ)
= (1 + 2 sin θ.cos θ) + (1 − 2sin θ.cos θ)
= 1 + 1 + 2 sin θ.cos θ − 2 sin θ.cos θ
= 2
రచయిత: టి.ఎస్.వి.ఎస్. సూర్యనారాయణ మూర్తి
