ముఖ్యమైన ప్రశ్నలు
నాలుగు మార్కుల ప్రశ్నలు
1. ఒక వ్యక్తి నదికి ఒకవైపు ఒడ్డున నిలబడి అవతలి ఒడ్డున ఉన్న ఒక చెట్టును 600 ఊర్థ్వకోణంతో గమనించాడు. అతడు తానున్న ప్రదేశం నుంచి అదే రేఖపై 20 మీటర్లు వెనకకు నడిచినప్పుడు ఆ చెట్టు 300 ఊర్థ్వకోణాన్ని చేస్తుంది. అయితే ఆ చెట్టు ఎత్తు, నది వెడల్పును కనుక్కోండి.
సాధన: నది వెడల్పు AB = x మీ.
చెట్టు ఎత్తు BC = h మీ. అనుకొనుము
A వద్ద ఊర్థ్వకోణం = 60o
A నుంచి వెనుకకు 20 మీ. నడవగా Dని చేరాడు అనుకుంటే
AD = 20 మీ.
D వద్ద ఊర్థ్వకోణం = 30o
2. సూర్యకిరణాలు స్తంభం మీదుగా భూమిని తాకుతున్నాయి. భూమిపై కిరణాలు చేసే ఊర్థ్వకోణం 450 నుంచి 300లకు మారినప్పుడు స్తంభం నీడ పొడవు 10 మీటర్లు పెరిగినట్లయితే దాని ఎత్తు ఎంత?
సాధన: స్తంభం ఎత్తు AB = h మీ.
స్తంభం నీడ పొడవులు AC = x మీ., AD = AC + CD
ఇవి వరుసగా 45o, 30o ఊర్థ్వకోణాలు చేస్తున్న పొడవులు అనుకొనుము.
CD = 10 మీ. అయితే AD = AC + CD = (x + 10) మీ.
3. భూమి నుంచి 1200 మీటర్ల ఎత్తులో ఎగురుతున్న ఒక విమానం వైపుగా ఒకే దిశలో ప్రయాణిస్తున్న రెండు ఓడలను పరిశీలించగా అవి 600, 300 నిమ్నకోణాలు చేస్తున్నట్లు గమనించారు. అయితే ఆ రెండు ఓడల మధ్య దూరం ఎంత?
సాధన: విమానం 'B' వద్ద రెండు ఓడలు C, D.
అవి B నుంచి వరుసగా 600, 300 ల నిమ్నకోణాలు చేస్తున్నాయనుకొనుము.
AB = 1200 మీ., AC = x మీ.
CD = y మీ. అనుకొనుము
4. సమాన ఎత్తు ఉన్న రెండు స్తంభాలు 100 మీటర్ల వెడల్పు గల రోడ్డుకు ఇరువైపులా ఉన్నాయి. రోడ్డుపైన ఒక బిందువు నుంచి రెండు స్తంభాల ఊర్థ్వకోణాలు 60º, 30º. అయితే రోడ్డుపైన ఆ బిందువు స్థానాన్ని, స్తంభాల ఎత్తును కనుక్కోండి.
సాధన: AB, CDలు h మీ. ఎత్తు గల రెండు స్తంభాలు.
రోడ్డుపై ఉన్న రెండు స్తంభాల మధ్య బిందువు 'P'.
AP = x మీ. CP = (100 - x) మీ.
(1) నుంచి h = 25
మీ. = 25 × 1.732 = 43300
= 43.3 మీ.
రోడ్డుపై ఉన్న బిందువు AB స్తంభానికి 25 మీ., CD స్తంభానికి 75(100 - 25) మీ. దూరంలో ఉంది.
స్తంభం ఎత్తు h = 43.3 మీ.
5. భవనంపై నుంచి ఒక సెల్‌టవర్ పైభాగాన్ని 60º ఊర్థ్వకోణం, టవరు కింది భాగాన్ని 45º నిమ్నకోణంతో పరిశీలిస్తే భవనానికి, సెల్‌టవర్‌కు మధ్య దూరం 7 మీటర్లు. అయితే టవరు ఎత్తు ఎంత?
సాధన: సెల్‌టవర్ ఎత్తు BE = BC + CE = h మీ.
భవనం ఎత్తు AD = BC = x మీ.
సెల్‌టవర్‌కు, భవనానికి మధ్య దూరం AB = 7 మీ.
CE = BE − BC = (h − x) మీ.
D వద్ద ఊర్థ్వకోణం = ∠CDE = 60º
D వద్ద నిమ్నకోణం = ∠CDB = 45º
∴ ∠ABD = ∠CDB = 45º (ఏకాంతర కోణాలు)
(1), (2) ల నుంచి
h - 7 = 7 ⇒ h = 7 + 7
= 7(1 + )
⇒ h = 7(2.732)
= 19.124
∴ సెల్ టవరు ఎత్తు h = 19.124 మీ.
6. టవరుతో ఒకే సరళరేఖపై ఉండే 4 మీ., 9 మీ. దూరంలో ఉన్న రెండు బిందువుల నుంచి టవరు కొనను పరిశీలిస్తే అవి చేసే ఊర్థ్వకోణాలు పూరకాలు. అయితే టవరు ఎత్తును కనుక్కోండి.
సాధన: టవరు ఎత్తు AB= h మీ.
మొదటి పరిశీలక స్థానం నుంచి టవరుకు దూరం AC = 4 మీ.
రెండో పరిశీలక స్థానం నుంచి టవరకు దూరం AD = 9 మీ.
∠ACB = x, ∠ADB = 90 − x
7. భూమితో 30º ఊర్థ్వకోణం చేసేలా, 18 మీటర్ల పొడవున్న దృఢమైన లోహపు తీగ ఆధారంగా ఒక విద్యుత్ స్తంభాన్ని నిలబెట్టారు. తీగ పొడవు చాలా ఎక్కుగా ఉండటంతో దానిలో కొంత భాగాన్ని కత్తిరించి మిగిలిన దాన్ని భూమితో 60º కోణం చేసేలా అమర్చారు. అయితే కత్తిరించగా మిగిలిన తీగ పొడవు ఎంత?
సాధన: విద్యుత్ స్తంభం ఎత్తు AD = h మీ.
భూమితో 30º కోణం చేస్తూ విద్యుత్ స్తంభానికి కట్టిన తీగ పొడవు AB = 18 మీ.
భూమితో 60º కోణం చేస్తూ విద్యుత్ స్తంభానికి కట్టిన తీగ పొడవు AC = x మీ.
8. 9 మీటర్ల ఎత్తు గల విద్యుత్ స్తంభంపై ఒక ఎలక్ట్రీషియన్ మరమ్మతు పని చేయాల్సి ఉంది. అతడు మరమ్మతు చేయడానికి ఆ స్తంభం నుంచి 1.8 మీటర్ల తక్కువ ఎత్తులో ఉండాలి. ఒక నిచ్చెనను భూమిపై 60º కోణంతో నిలపాల్సి వస్తే ఎంత పొడవున్న నిచ్చెనను తీసుకోవాలి. అయితే నిచ్చెన అడుగు భాగం నుంచి స్తంభం అడుగు భాగానికి గల దూరం ఎంత?
సాధన: స్తంభం ఎత్తు AB = 9 మీ.
నిచ్చెన పొడవు = CD
నిచ్చెన విద్యుత్ స్తంభాన్ని C వద్ద తాకుతుంది.
∴ AC = 9 - 1.8 = 7.2 మీ.
నిచ్చెన అడుగుకు, స్తంభం అడుగుకు మధ్య ఉండే దూరం = AD
నిచ్చెన భూమితో చేసే కోణం = 60º
2 మార్కుల ప్రశ్నలు
1. గాలికి విరిగిన ఒక చెట్టు పైభాగం భూమికి 30º కోణం చేస్తూ నేలపై పడింది. చెట్టు అడుగు భాగం కిందపడిన చెట్టుకొన మధ్య దూరం 6 మీటర్లు. అయితే చెట్టు విరగక ముందు దాని ఎత్తు ఎంత?
సాధన: చెట్టు విరిగిన తర్వాత ఎత్తు = AB
విరిగిన భాగం = AC
భూమితో C వద్ద చేసే కోణం ∠ACB = 30º
చెట్టు అడుగు భాగం నుంచి, చెట్టుకొన నేలకు తాకుతున్న బిందువుకు మధ్య
దూరం BC = 6 మీ.
విరగక ముందు చెట్టు ఎత్తు = AB + AC
= 2 + 4
= 6 మీ.
2. ఉదయం 7 గంటలకు 15 మీటర్ల ఎత్తు గల స్తంభం నీడ పొడవు 5 మీటర్లు. ఆ సమయంలో సూర్యకిరణాలు భూమితో చేసే కోణం ఎంత?
సాధన: స్తంభం ఎత్తు AB = 15 మీ.
స్తంభం నీడ పొడవు BC= 5 మీ.
3. ఒక పడవ నదిని దాటాల్సి ఉంది. కానీ ఆ పడవ నీటి ప్రవాహం కారణంగా నదీ తీరంతో 60º కోణం చేస్తూ 600 మీటర్లు ప్రయాణించి అవతలి తీరాన్ని చేరింది. అయితే ఆ నది వెడల్పు ఎంత?
సాధన: నది వెడల్పు = AB
నదీ తీరం వద్ద చేసే కోణం = 60º
పడవ A నుంచి C కు 600 మీటర్లు ప్రయాణించింది.
ఒక మార్కు ప్రశ్నలు
1. భూమిపై ఒక టవర్ నిటారుగా ఉంది. దాని అడుగు నుంచి 15 మీ. దూరంలో ఆ టవర్ కొనను 45° ఊర్థ్వ కోణంతో పరిశీలిస్తే, టవర్ ఎత్తు ఎంత?
సాధన: టవర్ ఎత్తు = AB
టవర్ అడుగు భాగం నుంచి పరిశీలన స్థానం C వరకు ఉన్న దూరం BC = 15 మీ.
C వద్ద ఊర్థ్వకోణం = 45°
2. ఒక టవర్ అడుగు భాగం నుంచి 30 మీ., దూరంలో దాని పైభాగాన్ని 30° ఊర్థ్వ కోణంతో గమనిస్తే ఆ టవర్ ఎత్తు?
సాధన: టవర్ ఎత్తు =AB
టవర్ అడుగు భాగానికి, పరిశీలక స్థానానికి మధ్యదూరం BC = 30 మీ.
C వద్ద ఊర్థ్వ కోణం = 30
3. కింది సందర్భానికి తగిన పటాన్ని గీయండి.
'రెండు స్తంభాలను క్షితిజ లంబంగా నిలబెట్టారు. వాటి మధ్య దూరం 140 మీ. మొదటి స్తంభం పైకొనను రెండో స్తంభం పైకొన నుంచి 30° ఊర్థ్వ కోణంతో గమనించారు. రెండో స్తంభం ఎత్తు 
60 మీ.
సాధన: మొదటి స్తంభం ఎత్తు = AB
రెండో స్తంభం ఎత్తు = CD = 60 మీ.
రెండు స్తంభాల మధ్య దూరం AC = 140 మీ.
మొదటి స్తంభం పైకొన B ను, రెండో స్తంభం
పైకొన D నుంచి చూసినప్పుడు ఏర్పడిన ఊర్థ్వ కోణం = 30°
4. 'సముద్ర మట్టానికి 100 మీ. ఎత్తున ఉన్న ఒక దీపస్తంభం పైకొన నుంచి దాని వైపుగా వస్తున్న ఒక ఓడను గమనిస్తే ఏర్పడిన నిమ్నకోణం 30° నుంచి 45° 
కు మారినట్లు గమనించారు. ఈ సందర్భానికి తగిన పటం గీయండి.
సాధన: ఓడ మొదటి స్థానం A నుంచి B వద్దకు ప్రయాణించింది.
పరిశీలక స్థానం D, దీపస్తంభం పైకొన నుంచి దీపస్తంభం ఎత్తు
CD =100 మీ.
D నుంచి చూసినప్పుడు A, B లతో ఏర్పరిచే
నిమ్నకోణాలు వరుసగా 30°, 45°
రచయిత: టి.ఎస్.వి.ఎస్. సూర్యనారాయణ మూర్తి
