ముఖ్యమైన ప్రశ్నలు
4 మార్కుల ప్రశ్నలు
1. ఒక పేక ముక్కల కట్ట (52) నుంచి కళావరు రాజు, కళావరు రాణి, కళావరు జాకీలను తొలగించారు. మిగిలిన కార్డుల నుంచి ఒక కార్డును తీస్తే అది
i) హృదయం గుర్తు ఉన్న కార్డు అవడానికి
ii) రాజు అవడానికి
iii) కళావరు కార్డు అవడానికి
iv) హృదయం గుర్తు ఉన్న 10 అవడానికి సంభావ్యత ఎంత?
సాధన: 52 పేక ముక్కల కట్ట నుంచి కళావరు రాజు, రాణి, జాకీలను తొలగించగా
మిగిలిన కార్డుల సంఖ్య = 52 - 3 = 49
సాధ్యమయ్యే మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 49
i) మిగిలిన కట్టలో హృదయం గుర్తు ఉన్న కార్డుల సంఖ్య = 13
హృదయం గుర్తు ఉన్న కార్డు రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(H) = 13
హృదయం గుర్తు ఉన్న కార్డు వచ్చే సంభావ్యత P(H) = 
ii) మిగిలిన 49 కార్డుల్లో ఉండే రాజుల సంఖ్య = 3
రాజు ఉండే కార్డు రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(K) = 3
రాజు ఉండే కార్డు వచ్చే సంభావ్యత p(K) = 
iii) కళావరు కార్డులు 13 నుంచి రాజు, రాణి, జాకీలను తొలగించగా
మిగిలిన కార్డుల సంఖ్య = 13 - 3 = 10
కళావరు కార్డు రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(C) = 10
కళావరు కార్డు వచ్చే సంభావ్యత p(C) = 
iv) హృదయం గుర్తు ఉండే 10 కలిగిన కార్డు ఒక్కటే ఉంటుంది.
హృదయం గుర్తు ఉండే 10 కలిగిన కార్డు రావడానికి అనుకూల పర్యవసనాల సంఖ్య n(T) = 1
హృదయపు గుర్తు గల 10 కలిగిన కార్డు వచ్చే సంభావ్యత p(T) = 
2. 1, 2, 3, ......, 17 సంఖ్యలు వేసి 17 కార్డులను బాగా కలిపి ఒక పెట్టెలో ఉంచారు. వీటి నుంచి ఒక వ్యక్తి యాదృచ్ఛికంగా ఒక కార్డును తీసినట్లయితే అది
i) బేసి సంఖ్య ii) ప్రధాన సంఖ్య iii) 3తో భాగించబడే సంఖ్య iv) 2, 3 లతో భాగించబడే సంఖ్య అయ్యే సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.
సాధన: పెట్టెలో ఉండే మొత్తం కార్డుల సంఖ్య = 17
సాధ్యమయ్యే మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 17
i) 1 నుంచి 17 సంఖ్యల్లో బేసి సంఖ్యలు 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
1 నుంచి 17 సంఖ్యల్లో ఉండే బేసి సంఖ్యల సంఖ్య = 9
బేసి సంఖ్య రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(O) = 9
బేసి సంఖ్య వచ్చే సంభావ్యత p(O) = 
ii) 1 నుంచి 17 సంఖ్యల్లో ప్రధాన సంఖ్యలు 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
ప్రధాన సంఖ్య రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(P) = 7
ప్రధాన సంఖ్య వచ్చే సంభావ్యత P(E) = 
iii) 1 నుంచి 17 సంఖ్యల్లో 3తో భాగించబడే సంఖ్యలు 3, 6, 9, 12, 15
3తో భాగించబడే సంఖ్య రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 5
3తో భాగించబడే సంఖ్య రావడానికి సంభావ్యత P(E) = 
iv) 1 నుంచి 17 సంఖ్యల్లో 2, 3తో భాగించబడే సంఖ్యలు అంటే 6తో భాగించబడే సంఖ్యలు 6, 12
2, 3తో భాగించబడే సంఖ్య రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(A) = 2
2, 3తో భాగించబడే సంఖ్య రావడానికి సంభావ్యత P(A) = 
3. ఒక సంచిలో 5 ఎరుపు బంతులు, 8 తెలుపు బంతులు, 5 పచ్చ బంతులు, 7 నలుపు బంతులు ఉన్నాయి. వీటి నుంచి ఒక బంతిని యాదృచ్ఛికంగా తీయగా అది i) నలుపు బంతి ii) ఎరుపు బంతి iii) తెలుపు బంతి iv) పచ్చబంతి కాకపోవడానికి గల సంభావ్యతను లెక్కించండి.
సాధన: సంచిలోని మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 5 + 8 + 5 + 7 = 25
సాధ్యమయ్యే మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 25
i) సంచిలోని నలుపు బంతుల సంఖ్య = 7
నలుపు బంతి రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(b) = 7
నలుపు బంతి వచ్చే సంభావ్యత p(b) = 
ii) సంచిలోని ఎరుపు బంతుల సంఖ్య = 5
ఎరుపు బంతి రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(r) = 5
ఎరుపు బంతి వచ్చే సంభావ్యత p(r) = 
iii) సంచిలోని తెలుపు బంతుల సంఖ్య = 8
తెలుపు బంతి రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(w) = 8
తెలుపు బంతి వచ్చే సంభావ్యత p(w) = 
iv) పచ్చ రంగు బంతి కాకుండా మిగిలిన బంతుల సంఖ్య = 5 + 8 + 7 = 20
పచ్చ రంగు కానీ బంతి వచ్చేందుకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = n(g) = 20
పచ్చరంగు కానీ బంతి వచ్చే సంభావ్యత p(g) = 
4. ఒక ఆటలో వేగంగా తిప్పిన బాణం పటంలో చూపినట్లు 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 లేదా 8 ని సూచిస్తూ ఆగుతుంది. అన్ని పర్యవసానాలు సమ సంభవాలైతే కింది ఘటనల సంభావ్యతలను లెక్కించండి. బాణం గుర్తు సూచించేది.
i) 6 ii) ఒక సరి సంఖ్య iii) 3 కంటే పెద్ద సంఖ్య iv) 9 కంటే చిన్న సంఖ్య
సాధన: బాణం గుర్తు 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 లేదా 8లలో ఏదో ఒకదానిపై ఆగుతుంది. కాబట్టి సాధ్యమయ్యే మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 8
i) 6 వద్ద బాణం గుర్తు ఆగడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్యం n(E1) = 1
బాణం గుర్తు 6 వద్ద ఆగే సంభావ్యత P(E1) = 
ii) వీటిలో సరిసంఖ్యలు 2, 4, 6, 8
సరిసంఖ్యపై బాణం గుర్తు ఆగడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్యం n(E2) = 4
బాణం గుర్తు సరిసంఖ్యపై ఆగడానికి సంభావ్యత P(E2) = 
iii) 3 కంటే పెద్ద సంఖ్యలు 4, 5, 6, 7, 8
3 కంటే పెద్ద సంఖ్యపై బాణం గుర్తు ఆగడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E3) = 5
3 కంటే పెద్ద సంఖ్యపై బాణం గుర్తు ఆగే సంభావ్యత P(E3) = 
iv) 9 కంటే చిన్న సంఖ్యలు 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
9 కంటే చిన్న సంఖ్యపై బాణం గుర్తు ఆగడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E4) = 8
9 కంటే చిన్న సంఖ్యపై బాణం గుర్తు ఆగే సంభావ్యత P(E4) = 
5. ఒక బాణాన్ని విసిరినప్పుడు అది పటంలో షేడ్ చేసిన ప్రాంతంలో గుచ్చుకోవడానికి సంభావ్యత ఎంత?
సాధన: పటం నుంచి
AB = CD = 8, BC = AD = 6
ABCD ఒక దీర్ఘచతురస్రం, AC ఒక కర్ణం
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం ΔABC లో
AC2 = AB2 + BC2
= 82 + 62 = 100
AC = 
= 10 (ధనాత్మక విలువను మాత్రమే పరిగణించాలి)
కాబట్టి వృత్త వ్యాసార్ధం r = 5
వృత్త వైశాల్యం = Πr
= 
× 5 × 5
= 
= 78.57 చ.యూ.
ABCD దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = AB × BC = 8 × 6 = 48 చ.యూ.
షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం = వృత్త వైశాల్యం - దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం
= 78.57 − 48 = 30.57 చ.యూ.
6. ఒక పెట్టెలో 1 నుంచి 90 వరకు రాసిన 90 పలకలు ఉన్నాయి. వాటి నుంచి యాదృచ్ఛికంగా ఒక పలకను ఎన్నుకుంటే దానిపై కింది సంఖ్యలు ఉండటానికి సంభావ్యత ఎంత?
(i) రెండంకెల సంఖ్య (ii) కచ్చిత వర్గ సంఖ్య (iii) 5తో భాగించబడే సంఖ్య
సాధన: మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 90
(i) 1 నుంచి 90 వరకు గల సంఖ్యల్లో ఒక అంకె సంఖ్యలు 9, మొత్తం సంఖ్యలు 90.
కాబట్టి రెండంకెల సంఖ్యలు 90 - 9 = 81
రెండంకెల సంఖ్య రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 81
(ii) 1 నుంచి 90 వరకు గల సంఖ్యల్లో వర్గ సంఖ్యలు 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.
వర్గ సంఖ్యల సంఖ్య n(F) = 9
(iii) 1 నుంచి 90 వరకు గల సంఖ్యల్లో 5తో భాగించబడే సంఖ్యలు
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90
5తో భాగించబడే సంఖ్యల సంఖ్య n(q) = 18
2 మార్కుల ప్రశ్నలు
1. 600 విద్యుత్ బల్బులు గల ఒక పెట్టెలో లోపాలున్న బల్బులు 12. పెట్టె నుంచి యాదృచ్ఛికంగా తీసిన బల్బు లోపాలు లేనిది అవడానికి సంభావ్యత ఎంత?
సాధన: పెట్టెలోని బల్బుల సంఖ్య = 600
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 600
లోపాలున్న బల్బుల సంఖ్య = 12
లోపాలు లేని బల్బుల సంఖ్య = 600 - 12 = 588
లోపాలు లేని బల్బు రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(b) = 588
2. ఒక లీపు సంవత్సరంలో 53 ఆదివారాలు వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన: ఒక లీపు సంవత్సరానికి 366 రోజులు
366 రోజులు = 52 వారాలు + 2 రోజులు
కాబట్టి ఒక లీపు సంవత్సరంలో 52 ఆదివారాలు, ఇంకా 2 రోజులు ఉంటాయి. ఆ రెండు రోజులు
1. ఆదివారం, సోమవారం
2. సోమవారం, మంగళవారం
3. మంగళవారం, బుధవారం
4. బుధవారం, గురువారం
5. గురువారం, శుక్రవారం
6. శుక్రవారం, శనివారం
7. శనివారం, ఆదివారాల్లో ఏదో ఒకటి కావచ్చు. ఇక్కడ 7 ప్రాథమిక ఘటనలు ఉంటాయి.
సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 7
పై ఘటనల నుంచి శనివారం, ఆదివారం లేదా ఆదివారం, సోమవారాల్లో ఆదివారం ఉంది కాబట్టి
ఆదివారం రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 2
53వ ఆదివారం రావడానికి సంభావ్యత P(E) = 
3. ఒక పెట్టెలో 1 నుంచి 40 వరకు సంఖ్యలు రాసిన 40 కార్డులు ఉన్నాయి. ఒక వ్యక్తి ఒక కార్డును యాదృచ్ఛికంగా తీసినట్లయితే ఆ కార్డు (i) ప్రధాన సంఖ్య అవడానికి (ii) 2, 3తో భాగించబడే సంఖ్య అవడానికి సంభావ్యత ఎంత?
సాధన: మొత్తం కార్డుల సంఖ్య = 40
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 40
(i) ఈ 40 సంఖ్యల్లో ప్రధాన సంఖ్యలు 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.
ప్రధాన సంఖ్య రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 12
(ii) 2, 3తో భాగించబడే సంఖ్య అంటే 6తో భాగించబడుతుంది.
ఈ 40 సంఖ్యల్లో 6తో భాగించబడే సంఖ్యలు 6, 12, 18, 24, 30, 36.
అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(F) = 6
4. 'MATHEMATICS' అనే పదం నుంచి ఒక అక్షరాన్ని యాదృచ్ఛికంగా తీసినప్పుడు అది (i) అచ్చు (ii) హల్లు అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన: 'MATHEMATICS' అనే పదంలోని అక్షరాల సంఖ్య = 11
∴ మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 11
(i) 'MATHEMATICS' అనే పదంలోని అచ్చుల సంఖ్య = 4
అచ్చు రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(V) = 4
అచ్చు వచ్చే సంభావ్యత P(V) = 
(ii) 'MATHEMATICS' అనే పదంలోని హల్లుల సంఖ్య = 7
హల్లు రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(C) = 7
హల్లు వచ్చే సంభావ్యత P(C) = 
5. శారద, హమీద మంచి స్నేహితులు. వారిద్దరి పుట్టిన రోజులు సంవత్సరంలో (i) వేర్వేరు రోజులు రావడానికి (ii) ఒకే రోజు రావడానికి గల సంభావ్యతలను లెక్కించండి.
సాధన: సంవత్సరంలోని 365 రోజుల్లో ఇద్దరి పుట్టినరోజు ఏ రోజైనా రావచ్చు. కాబట్టి మొత్తం 365 పర్యవసానాలు సమసంభవాలని పరిగణించాలి.
(i) శారద, హమీద పుట్టిన రోజులు వేర్వేరు రోజులు కావడానికి అనుకూల పర్యవసానాలు
365 - 1 = 364
ఇద్దరి పుట్టిన రోజులు వేర్వేరు కావడానికి సంభావ్యత P(E) = 
(ii) ఇద్దరి పుట్టినరోజులు ఒకేరోజు కావడానికి సంభావ్యత 1 - P(E) = 1 -
= 
6. ఒక పెట్టెలోని 100 చొక్కాల్లో 88 సరిగ్గా ఉన్నాయి. చొక్కాల్లో కొద్ది లోపాలున్నవి 8, ఎక్కువ లోపాలున్నవి 4. జానీ అనే వ్యాపారి మంచి చొక్కాలను మాత్రమే కొన్నాడు. సుజాత అనే మరో వ్యాపారి ఎక్కువ లోపాలున్న చొక్కాలను మాత్రమే నిరాకరిస్తుంది. పెట్టెలో నుంచి యాదృచ్ఛికంగా ఒక చొక్కాను తీస్తే జానీ, సుజాతల్లో కొనగల సంభావ్యత ఎంత?
సాధన: పెట్టెలోని 100 చొక్కాల్లో ఒక చొక్కాను యాదృచ్ఛికంగా తీస్తే ఆ పర్యవసానాలన్నీ సమసంభవాలు.
జానీ కొనడానికి అనుకూల పర్యవసానాలు = 88
జానీ చొక్కాను కొనడానికి సంభావ్యత = 
= 0.88
సుజాత చొక్కాను కొనడానికి అనుకూల పర్యవసానాలు = 88 + 8
= 96
సుజాత చొక్కా కొనడానికి సంభావ్యత = 
= 0.96
7. ఒక పాచికను ఒకసారి విసిరినప్పుడు i) ప్రధాన సంఖ్య ii) సంయుక్త సంఖ్య iii) 2, 6 మధ్య ఉండే అంకె
iv) బేసిసంఖ్య వచ్చే సంభావ్యతలు ఎంత?
సాధన: పాచికను దొర్లించినప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 6
i) వీటిలో ప్రధాన సంఖ్యలు {2, 3, 5}
ప్రధాన సంఖ్య రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E1) = 3
ii) సంయుక్త సంఖ్యలు = {4, 6}
సంయుక్త సంఖ్య అవడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E2) = 2
iii) 2, 6ల మధ్య ఉండే సంఖ్యలు = {3, 4, 5}
2, 6ల మధ్య సంఖ్య రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E3) = 3
iv) బేసిసంఖ్యలు = {1, 3, 5}
బేసిసంఖ్య రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E4) = 3
8. లోపాలున్న 12 పెన్నులు పొరపాటుగా 132 మంచి పెన్నులతో కలిసి పోయాయి. చూడగానే లోపాలున్న పెన్నులను గుర్తించలేం. అయితే యాదృచ్ఛికంగా ఒక పెన్నును ఎన్నుకుంటే అది మంచి పెన్ను అవడానికి సంభావ్యత ఎంత?
సాధన: లోపాలున్న పెన్నుల సంఖ్య = 12
మంచి పెన్నుల సంఖ్య = 132
మొత్తం పెన్నుల సంఖ్య = 12 + 132 = 144
∴ సాధ్యమయ్యే మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 144
మంచి పెన్నును తీసే ఘటన E అయితే
E కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 132
ఒక మార్కు ప్రశ్నలు
1. ఒక సంచిలో 3 ఎరుపు, 2 నీలం గోళీలు ఉన్నాయి. యాదృచ్ఛికంగా సంచి నుంచి ఒక గోళీని తీస్తే అది నీలం రంగుది అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన: సంచిలోని మొత్తం గోళీల సంఖ్య 3 + 2 = 5
సాధ్యమయ్యే మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 5
నీలం గోళి వచ్చేందుకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(b) = 2
2. 1 నుంచి 20 వరకు సంఖ్యలు రాసిన 20 టికెట్ల నుంచి యాదృచ్ఛికంగా ఒక టికెట్‌ను తీస్తే అది 5 లేదా 7 గుణిజమయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన: మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 20
5 లేదా 7 గుణిజాలు 5, 7, 10, 14, 15, 20.
5 లేదా 7 గుణిజం వచ్చేందుకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 6
3. లక్ష్మి, ఉమ టెన్నిస్ ఆడుతున్నారు. లక్ష్మి ఆట గెలిచే సంభావ్యత 0.62 అయితే ఉమ గెలిచే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన: లక్ష్మి గెలిచే సంభావ్యత P(L) = 0.62
ఉమ గెలిచే సంభావ్యత P(U) అనుకుంటే
P(L) + P(U) = 1
P(U) = 1 - P(L)
= 1 - 0.62
= 0.38
∴ ఉమ గెలిచే సంభావ్యత P(U) = 0.38
4. పటంలో చూపిన దీర్ఘచతురస్రాకార ప్రాంతంలో ఒక హెలికాప్టర్ కూలిపోయిందని సమాచారం వచ్చింది. అది కొలనులో కూలిపోయి ఉండటానికి సంభావ్యత ఎంత?
సాధన: మొత్తం దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలంలో హెలికాప్టర్ ఏ బిందువు వద్దనైనా కూలి ఉండవచ్చు.
ఘటన జరగడానికి పూర్తి స్థల వైశాల్యం
n(S) = 4.5 × 9 = 40.5 కి.మీ.2
ఘటన జరగడానికి అనుకూల ప్రాంత వైశాల్యం n(E) = 2 × 3
= 6 కి.మీ.2
5. P(E) = 0.05 అయితే "E కాదు" యొక్క సంభావ్యత ఎంత?
సాధన: P(E) = 
"E కాదు" ను 
తో సూచిస్తాం
P(E) + P () = 1
P() = 1 - P(E)
= 1 - 0.05
= 0.95
6. బాగా కలిపిన 52 కార్డుల నుంచి ఒక కార్డును తీస్తే అది ఫేస్ కార్డు కాకపోవడానికి సంభావ్యత ఎంత?
సాధన: ఫేస్ కార్డులు అంటే రాజు, రాణి, జాకీ
మొత్తం కట్టలో ఉండే ఫేస్ కార్డుల సంఖ్య n(F) = 12 (4 × 3)
సాధ్యమయ్యే మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 52
ఫేస్ కార్డులు కాకుండా మిగిలిన కార్డుల సంఖ్య n() = 52 - 12
= 40
7. రెండు నాణేలను ఒకేసారి ఎగురవేసినప్పుడు కచ్చితంగా ఒక బొమ్మపడే సంభావ్యత?
సాధన: రెండు నాణేలను ఒకేసారి ఎగురవేసినప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు
HH, HT, TH, TT (H = బొమ్మ, T = బొరుసు).
సాధ్యమయ్యే మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 4
కచ్చితంగా బొమ్మ పడేందుకు అనుకూల పర్యవసానాలు n(H) = 2
8. ఆంగ్ల భాషాక్షారాల నుంచి ఒక అక్షరాన్ని ఎంపిక చేస్తే అది హల్లు అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన: సాధ్యమయ్యే మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 26
హల్లు అయ్యేందుకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(C) = 21
రచయిత: టి.ఎస్.వి.ఎస్. సూర్యనారాయణ మూర్తి
