సంభావ్యత అనే పదానికి అర్థం మనకు పూర్తిస్థాయిలో తెలియనప్పటికీ నిత్యజీవితంలో అనేక సందర్భాల్లో ఈ భావాన్ని ఉపయోగిస్తుంటాం. సాధారణంగా 'సంభావ్యత' అనే పదాన్ని ఉపయోగించనప్పటికీ దీని భావంపై కొంత అవగాహన అందరికీ ఉంటుంది.
ఉదాహరణలు
i) బహుశా ఆమె కరెక్ట్ కావచ్చు.
ii) ఈ రోజు వర్షం పడే అవకాశం ఉంది.
iii) అతడు రాజకీయాల్లో చేరే అవకాశాలు ఉన్నాయి.
   'బహుశా' 'సంభవం', 'సాధ్యం' లాంటి పదాలు, వాటిని గణించే విధానం గురించి చర్చించే అధ్యాయమే సంభావ్యత. మనం 9వ తరగతిలో పూర్తి సంభవం లేదా కచ్చిత ఘటన, పూర్తి అసంభవం లేదా అసంభవ సంఘటనల గురించి తెలుసుకున్నాం. ఇంకా ఒక ఘటన యొక్క అవకాశాల గురించి, ఒక ఘటన పర్యవసానం ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉండనవసరం లేదు అనే విషయాన్ని కూడా తెలుసుకున్నాం. ప్రమాణీకరణాన్ని సంఖ్యాత్మంగా తెలపడాన్ని 'సంభావ్యత' అంటారు.

సంభావ్యత అంటే?
   ఒక నాణేన్ని 1000 సార్లు ఎగురవేసినప్పుడు 455 సార్లు బొమ్మ, 545 సార్లు బొరుసు పడింది. బొమ్మపడే సంభవాన్ని ప్రమాణీకరణం చేస్తే 1000కి 455 సార్లు అంటే  = 0.455. ఇలా ప్రయోగ పూర్వక ఫలితాల ఆధారంగా లెక్కించిన సంభావ్యతను 'ప్రాయోగిక సంభావ్యత' (Experimental probability) అంటారు. ఈ ప్రాయోగిక సంభావ్యత అంచనాకు ఒక ప్రయోగం, దాని ఫలితాలు ఆధారం. అంటే ఈ ప్రయోగాన్నే మళ్లీ 1000 సార్లు చేసినప్పుడు ఇదే సంభావ్యత ఏర్పడుతుందని చెప్పలేం. స్వల్ప భేదం ఉండవచ్చు. ఇదే ప్రయోగాన్ని 10 లక్షల సార్లు లేదా కోటిసార్లు చేసి బొమ్మపడే సంభావ్యతను లెక్కించాల్సి వస్తే బొమ్మ లేదా బొరుసు పడే సంభావ్యత సంఖ్యాత్మకంగా 0.5 లేదా  అని చెప్పవచ్చు. అంటే ప్రయోగం చేయకుండానే అన్ని పర్యవసానాలను బట్టి ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను అంచనా వేయవచ్చు. దీన్నే సైద్ధాంతిక సంభావ్యత (Theoretical probability) లేదా సంప్రదాయక సంభావ్యత (Classical probability) అంటారు.

సంభావ్యత - సైద్ధాంతిక వివరణ
   యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో నిష్పాక్షిక నాణేన్ని ఎగురవేసే సందర్భాన్ని పరిశీలిస్తే నాణెం సౌష్ఠవంగా ఉన్నప్పుడు బొమ్మ లేదా బొరుసుపడే సంభవాల్లో ఏది ఎక్కువ, ఏది తక్కువ అనడానికి అవకాశం లేదు. అందువల్ల నాణేన్ని 'నిష్పాక్షికం' అని, ఎగురవేయడాన్ని 'యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం' అని అంటారు. బొమ్మ, బొరుసులను సమసంభవ ఘటనలు అంటారు. యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో వెలువడే ఫలితాలను సమసంభవమైనవిగా, ప్రతిరూప ఆవరణమైనవిగా పరిగణిస్తారు.
ఒక ఘటన E యొక్క ప్రాయోగిక సంభావ్యత P(E) అయితే

T అనే ఘటన యొక్క సైద్ధాంతిక లేదా సంప్రదాయక సంభావ్యతను P(T) అని రాస్తారు.

   ఇక్కడ అన్ని పర్యవసానాలను సమసంభవాలుగా పరిగణించాలి. సాధారణంగా సైద్ధాంతిక సంభావ్యతను సంభావ్యత అంటారు.

ముఖ్యమైన భావనలు
* సంభావ్యత అనేది ఒక విధంగా అంచనా వేయడం.
* సంభావ్యతను మొదటిసారిగా 1795లో పియర్ సింప్సన్ లాప్లేస్ నిర్వచించాడు.
* 16వ శతాబ్దంలో జెరొలామో కార్డెనో అనే ఇటలీకి చెందిన భౌతిక శాస్త్రవేత్త, గణితజ్ఞుడు 'ది బుక్ ఆన్ గేమ్స్ ఆఫ్ ఛాన్స్' పుస్తకాన్ని రాయడంతో సంభావ్యత ఒక శాస్త్రంగా ఆవిర్భవించింది.
* జేమ్స్ బెర్నౌలీ (1654 - 1705), ఎ.డి. మాలియర్ (1667 - 1754), పియర్ సింప్సన్ సంభావ్యత అధ్యయనానికి, అభివృద్ధికి కృషి చేశారు.
* యథార్థంగా నిర్వహించిన ప్రయోగ ఫలితాలను బట్టి అంచనా వేసి తెలియజేసే సంభావ్యతను 'ప్రాయోగిక సంభావ్యత' అంటారు.
* ఒక ఘటన (E) యొక్క సైద్ధాంతిక లేదా సంప్రదాయక సంభావ్యతను P(E)తో సూచిస్తూ కింది విధంగా నిర్వచిస్తారు.

నిర్వచనాలు
ఘటన: ఇచ్చిన నిబంధనలకు లోబడి వెలువడే పర్యవసానమే ఘటన.
ప్రాథమిక ఘటన: ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటనకు అనుకూల పర్యవసానం ఒకటి మాత్రమే ఉంటే దాన్ని ప్రాథమిక ఘటన అంటారు.
సమసంభవ ఘటనలు: ఒక ప్రయోగంలోని రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఘటనలు సంభవించడానికి సమాన అవకాశాలు ఉంటే వాటిని సమసంభవ ఘటనలు అంటారు.
పరస్పర వర్జిత ఘటనలు: ఒక ప్రయోగంలో రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఘటనల్లో ఒక ఘటన యొక్క సంభవం మిగిలిన అన్ని ఘటనల సంభవాన్ని నిరోధిస్తే ఆ ఘటనలను పరస్పర వర్జిత ఘటనలు అంటారు.
పూరక ఘటనలు: ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటన యొక్క అనుకూల పర్యవసానాలు లేదా ప్రతిరూప ఆవరణలోని మిగిలిన అన్ని పర్యవసానాలు గల ఘటనను మొదటి దాని పూరక ఘటన అంటారు.
పూర్ణ ఘటనలు: ఒక ప్రయోగంలోని అన్ని ఘటనల సమ్మేళనం ప్రతిరూప ఆవరణం అయితే వాటిని పూర్ణ ఘటనలు అంటారు.
కచ్చిత ఘటన: ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటన యొక్క సంభవం కచ్చితం, సంభావ్యత ఒకటి అయితే దాన్ని కచ్చిత లేదా దృఢ ఘటన అంటారు.
అసాధ్య ఘటన: ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటన ఎప్పుడూ సాధ్యపడకపోతే దాన్ని అసాధ్య ఘటన అంటారు.
శాంపిల్ స్పేస్: ఒక ప్రయోగంలో సాధ్యపడే అన్ని అనుకూల పర్యవసానాల సమితిని శాంపిల్ స్పేస్ అంటారు.

ముఖ్యాంశాలు
* ఒక ఘటన E యొక్క సంభావ్యత P(E) అయితే 0 ≤ P(E) ≤ 1.
* ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటనకు ఒకటి మాత్రమే అనుకూల పర్యవసానం ఉంటే దాన్ని ప్రాథమిక ఘటన అంటారు. ఒక ప్రయోగంలో అన్ని ప్రాథమిక ఘటనల సంభావ్యత మొత్తం 'ఒకటి' అవుతుంది.
* కచ్చిత ఘటన యొక్క సంభావ్యత '1'.
* అసాధ్య ఘటన యొక్క సంభావ్యత '0'.
* E ఒక ఘటన అయితే  అనేది E కు పూరక ఘటన అవుతుంది. P(E) + P(

) = 1

ఉదాహరణలు
1. ఒక నాణేన్ని ఒకసారి ఎగురవేసినప్పుడు బొమ్మ, బొరుసుపడే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన: ఒక నాణేన్ని ఒకసారి ఎగురవేసినప్పుడు ఏర్పడే పర్యవసానాలు బొమ్మ (H), బొరుసు (T).
ప్రతిరూప ఆవరణం S = {H, T}
సాధ్యపడే మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 2
బొమ్మ పడటానికి సాధ్యమయ్యే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య
 n(H) = 1
బొమ్మ పడటానికి సంభావ్యత P(H) = 
ఇదేవిధంగా బొరుసు పడటానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(T) = 1
బొరుసు పడటానికి సంభావ్యత P(T) =  
ఒక నాణేన్ని రెండు సార్లు లేదా రెండు నాణేలను ఒకేసారి ఎగురవేసినప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య 4.
 ప్రతిరూపం ఆవరణం S = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 4
కనీసం ఒక బొమ్మ పడటానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(H) = 3
కనీసం ఒక బొమ్మపడే సంభావ్యత P(H) = 
ఇదేవిధంగా కనీసం ఒక బొరుసు పడే సంభావ్యత P(T) =  
కచ్చితంగా బొమ్మ మాత్రమే పడటానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య 1.
బొమ్మ మాత్రమే పడే సంభావ్యత = 
ఇదే విధంగా బొరుసు మాత్రమే పడే సంభావ్యత = 
   ఈ సందర్భాలను పరిగణనలోకి తీసుకొని ఒక నాణేన్ని రెండు, మూడు, ..... n  సార్లు ఎగురవేసినప్పుడు ఏర్పడే సంభావ్యత

2. ఒక పాచికను ఒకసారి దొర్లించినప్పుడు (i) 4 కంటే ఎక్కువ పడే ఘటన సంభావ్యత (ii) 4 లేదా అంతకంటే తక్కువ పడే ఘటన సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన: ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు
ప్రతిరూప ఆవరణం S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 6
(i) 4 కంటే ఎక్కువ అనే ఘటనకు అనుకూల పర్యవసానాలు E = {5, 6}
E కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 2
ఘటన E సంభావ్యత n(E) =  =  
(ii) F అనే ఘటన 4 లేదా అంతకంటే తక్కువ పడటం అయితే
F కు అనుకూల పర్యవసానాలు F = {1, 2, 3, 4}
F కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(F) = 4
ఘటన F సంభావ్యత P(F) =  = 

3. రెండు పాచికలను ఒకేసారి దొర్లించినప్పుడు సాధ్యపడే అన్ని పర్యవసానాలను పేర్కొనండి. రెండు పాచికలపై కనిపించే సంఖ్యల మొత్తం (i) 8 (ii) 13 (iii) 12 లేదా అంతకంటే తక్కువ అవడానికి సంభావ్యతలు ఎంత?
సాధన: ఒకటో పాచికపై 1 ఉన్నప్పుడు రెండో పాచికపై 1, 2, 3, 4, 5 లేదా 6 ఏదైనా ఉండవచ్చు. అలాగే మొదటి పాచికపై 2, 3, 4, 5 లేదా 6 ఉన్నప్పుడు కూడా వివిధ పర్యవసానాలు ఉంటాయి.
సాధ్యపడే పర్యవసానాలన్నింటినీ పట్టికలో క్రమయుగ్మాలుగా చూపారు. ప్రతి క్రమయుగ్మంలో మొదటి అంకె 1వ పాచికపై అంకెను, రెండో అంకె 2వ పాచికపై అంకెను సూచిస్తుంది. కాబట్టి (1, 4) అనే క్రమయుగ్మం (4, 1) క్రమయుగ్మానికి సమానం కాదు. కాబట్టి సాధ్యపడే మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
n(S) = 6 × 6 = 36
(i) ఘటన E (రెండు సంఖ్యల మొత్తం 8) యొక్క అనుకూల పర్యవసానాలు
= {(2, 6), (3, 5) , (4, 4) (5, 3), (6, 2)}
E కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 5

(ii) ఘటన F (రెండు సంఖ్యల మొత్తం 13) కు అనుకూల పర్యవసానాలు లేవు.

(iii) ఘటన G (12 లేదా అంతకంటే కంటే తక్కువ) కు అన్ని పర్యవసానాలు అనుకూలమే.

   సంభావ్యత సున్నా వచ్చే ఘటనను అసంభవ లేదా అసాధ్య ఘటన, సంభావ్యత 1 వచ్చే ఘటనను కచ్చిత ఘటన అని అంటారు.
 

అసాధ్య ఘటన: ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటన ఎప్పుడూ సాధ్యపడకపోతే దాన్ని అసాధ్య ఘటన అంటారు.
ఉదా: ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు 7 పడే ఘటన సంభావ్యత
P (7 పడటం) =  = 0
 

కచ్చిత ఘటన: ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటన యొక్క సంభవం కచ్చితం, సంభావ్యత 1 అయితే దాన్ని కచ్చిత లేదా దృఢ ఘటన అంటారు.
ఉదా: ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు 6 లేదా అంతకంటే తక్కువ అంకె పడే ఘటన
P (6 లేదా అంతకంటే తక్కువ అంకె పడటం) =  = 1
గమనిక: సంభావ్యత నిర్వచనాన్ని బట్టి దాని భిన్నంలో లవం ఎల్లప్పుడూ హారం కంటే తక్కువ లేదా హారానికి సమానంగా ఉంటుంది.
 ∴ 0 ≤ P(E) ≤ 1
 

ప్రాథమిక ఘటన: ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటనకు అనుకూల పర్యవసానం ఒకటి మాత్రమే ఉంటే దాన్ని ప్రాథమిక ఘటన అంటారు.
ఉదా: ఒక నాణేన్ని పైకి ఎగురవేసినప్పుడు బొమ్మ లేదా బొరుసు పడే ఘటనను ప్రాథమిక ఘటన అంటారు. ఎందుకంటే దీనిలో అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య 1.
 

ప్రత్యుదాహరణ: ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు 4 లేదా అంతకంటే పెద్ద సంఖ్య పడే ఘటన ప్రాథమిక ఘటన కాదు. ఎందుకంటే దీనికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య 3.
      ఒక ప్రయోగంలోని అన్ని ప్రాథమిక ఘటనల సంభావ్యతల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ 1కి సమానం.
ఉదా: 1) ఒక నాణేన్ని ఎగురవేసినప్పుడు P(H) = , P(T) =  
ఇవి రెండూ ప్రాథమిక ఘటనలే
P(H) + P(T) =  +  = 1
2) ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు
P(1) = , P(2) = , P(3) = , P(4) = , P(5) = , P(6) =  

P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) =  +  +  +  +  +  =  = 1
 

పూరక ఘటనలు: ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటన యొక్క అనుకూల పర్యవసానాలు లేదా ప్రతిరూప ఆవరణంలో మిగిలిన అన్ని పర్యవసానాలు గల ఘటనను మొదటిదాని యొక్క పూరక ఘటన అంటారు.
      P(E) అనేది ఒక ఘటన (E) యొక్క సంభావ్యత. F అనేది E కు అనుకూలం కాని పర్యవసానాల సమితి అయితే దాన్ని 'E కాదు' అంటారు.
దీన్ని  తో సూచిస్తారు.

 అనేది E కు పూరక ఘటన.
P(E) + P() = 1
⇒ P() = 1 - P (E)

4. బాగా కలిపిన పేకాట కార్డుల కట్టలో 52 కార్డుల నుంచి ఒక కార్డు తీయడంలో అది (i) ఏస్ అవడానికి (ii) ఏస్ కాకపోవడానికి సంభావ్యతలను లెక్కించండి.
సాధన: కార్డులను బాగా కలిపారు కాబట్టి పర్యవసానాలన్నీ సమ సంభవాలుగా పరిగణించాలి.
(i) ఒక కట్టలో 4 ఏస్‌లు ఉంటాయి
తీసుకున్న కార్డు ఏస్ అవడం అనే ఘటన E కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 4
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 52

(ii) తీసుకున్న కార్డు ఏస్ కాదు అనే ఘటన F అయితే
F కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(F) = 52 - 4 = 48
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 52

మరొక పద్ధతి: ఘటన F అంటే E కానిది ()

ఇక్కడ E, F అనేవి పూరక ఘటనలు.

సంభావ్యత ఉపయోగాలు
* సంభావ్యతను ఆటల పోటీల్లో ఉపయోగిస్తారు. ఒక టీమ్ లేదా ఒక ఆటగాడు గెలిచేందుకు గల సంభావ్యతను చెప్పడం.
* ఇద్దరు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వ్యక్తుల పుట్టిన రోజులు ఒకే రోజు వచ్చే సంభావ్యత. ఇది సాధారణమా? యాదృచ్ఛికమా? అవకాశాలెంత?
* ఒక సాధారణ సంవత్సరం లేదా లీపు సంవత్సరంలో 53 ఆదివారాలు (లేదా సోమవారాలు లేదా మంగళవారాలు....) వచ్చే సంభావ్యతను లెక్కించడం.

రచయిత: టి.ఎస్.వి.ఎస్. సూర్యనారాయణ మూర్తి