SCALAR PRODUCT

Definition: Consider the two vectors  and  . If the product of two vectors   and    is a scalar then the multiplication is called scalar product (or) dot product. It is written as   .   . It is read as   dot    and it is defined as
Where (a, b) means the angle between  and

Note   1. If a = a1i + a2 j + a3k and b = b1i + b2j + b3k. Then
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3

2. If i, j, k are orthogonal unit vector triad in a right handed system, then

3. If    = a1i + a2j + a3k and    = b1i + b2j + b3k are any two perpendicular vectors then, a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

4. If   = a1i + a2 j + a3k  and   = b1i + b2j + b3k are parallel vectors then

5. a2 = a.a
6. a.b = b.a
7. (a + b)2 = a2 + b2 + 2 a.b
8. (a - b)2 = a2 + b2 - 2 a.b
9. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 a.b + 2 b.c + 2 c.a
10. (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
11. (a + b)2 - (a - b)2 = 4 a.b
12. a2 - b2 = (a + b).(a - b)

Conceptual Theorems
1. If  is any vector then  = (r.i) i + (r.j) j + (r.k) k

Proof: Let = xi + yj + zk
r.i = (xi + yj + zk).i
r.i = x(i.i) + y (j.i) + z (k.i)
r.i = x(1) + y(0) + z(0)               [  from Note (2) ]
r.i = x
(r.i)i = xi ........................ (1)
Similarly  (r.j)j = yj ......................... (2)
(r.k)k = zk .......................... (3)
(1) + (2) + (3)
(r.i)i + (r.j)j + (r.k)k = xi + yj + zk
(r.i)i + (r.j)j + (r.k)k =

2. By Vector method, prove that the angle in a semi circle is a right angle.
Proof: Let 0 be the centre and
AB be the diameter of the semi circle.
Let P be any point on the semi circle

Hence, the angle in a semi circle is a right angle.

Cosine Rule
3. In any ∆ ABC, if   = BC,   = CA and   = AB then by vector method prove that

Proof : Given

a2 = b2 + c2 + 2bc cos(180° - A)             [ (CA, AB) = 180° - A]
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
2bc cos A = b2 + c2 - a2

Projection Rule
4. In any triangle ABC, if a = BC, b = CA and c = AB then by vector method prove that a = b cos C + c cos B
Proof : Given

Similarly we can prove b = c cos A + a cos B
(Take  = -  -   in place of (1) and dot with left side part)

c = a cos B + b cos A
(Take = -  -   in place of (1) and dot with left side part)

5. By vector method, prove that the altitudes of a triangle are concurrent
Proof: Altitude: Means the line segment drawn from a vertex to its line of opposite side.

Hence the altitudes of a triangle are concurrent.

6. By vector method, prove that the perpendicular bisectors of the sides of a triangle are concurrent.
Proof:

Hence the perpendicular bisectors of the sides of a triangle are concurrent.

7. By vector method prove that cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B. Where A and B are acute.
Proof: Let P (cos A, sin A) , Q (cos B, sin B) be any two points

from (1) and (2)
cos (A + B) = cosA cosB - sinA sinB

8. By vector method prove that  cos (A - B) = cos A cos B + sin A sinB. Where A and B are acute.
Proof: Let P(cos A,sin A)
Q (cos B, sin B) be any two points

Posted Date : 07-11-2020

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

More

More

More

More