Triple products are two types
1) Scalar triple product
2) Vector triple product

SCALAR TRIPLE PRODUCT
Definition :  Consider three vectors  ,   and  .
           If the product of three vectors is a scalar, then the multiplication is called scalar triple product. It is written as [    ]. It is read as box  

​​​​ and defined as
       
Note : 1)  If i, j, k are perpendicular unit vectors, then

[ I  j  k ]   =    [ j  k  I ]   =   [ k  i  j ]   =   1

[ j  i  k ]    =    [ k  j  I ]    =    [ I  k  j ]    =    - 1

[ i  I  j ]     =     [ j  j  k ]    =    [ k  k  I ]    =    0
 

Conceptual theorem
1. If   =  a₁i  +  a₂j  +  a₃k,    =  b₁i  +  b₂j  +  b₃k,  

 =  c₁i  +  c₂j  +  c₃k,  then prove that

Proof: We know that [        ]  =    .   × 

  ×  =  i (b₂ c₃  -  b₃ c₂ )  -  j (b₁ c₃  -  b₃ c₁)  +  k (b₁ c₂  -  b₂ c₁)

a. ( b × c )  =  (a₁i  +  a₂j  +  a₃k) .  [ i (b₂c₃  - b₃c₂)  -  j (b₁c₃  - b₃c₁) +  k (b₁c₂  -  b₂ c₁) ]
     [ a  b  c]  =  a₁(b₂ c₃  -  b₃ c₂)    -   a₂(b₁ c₃  -   b₃ c₁)   +   a₃(b₁ c₂   -   b₂ c₁)   ..........  (1)
          
    =  a₁(b₂ c₃  -  b₃ c₂)   -   a₂(b₁ c₃  -   b₃ c₁)   +   a₃ ( b₁ c₂   -   b₂ c₁) ........(2)
From (1) and (2)