Questions - Answers

          

 

3. Show that (−1 + i )³ⁿ  +  (−1 − i 

)³ⁿ  =  (−1)³ⁿ 2³ⁿ⁺¹ cos nπ  .

Sol. L.H.S   =   (−1 + i )³ⁿ  +  (−1 − i )³ⁿ

                    =   [−1 (1 − i )]³ⁿ  +  [−1 (1 + i )]³ⁿ

                    =   (−1)³ⁿ [(1 − i )³ⁿ  +  (1 + i )³ⁿ]

 Let us find the Mod - amplitude form of 1 + i .

 Let 1 + i  = x + iy.

   x = 1          y =

4. If 'n' is a positive integer, show that

Sol. Let p + iq = r (cosθ + i sinθ).

Then,      r cosθ  =  p ....... (1)                     r sinθ  =  q ....... (2)

(1)² + (2)²

⇒  r ² cos²θ  +  r ² sin²θ  =  p²  +  q²

⇒   r ²  =  p²  +  q²

          

         

                     

9. If cos α  +  cos β  +  cos γ  =  0  =  sin α  +  sin β  +  sin γ  then  Prove that 

i.   cos 3α  +  cos 3β  +  cos 3 γ  =  3 cos(α  +  β  +  γ)

ii.   sin 3α  +  sin 3β  +  sin 3γ  =  3 sin(α  +  β  + γ) .

Sol: Given cos α  +  cos β  +  cos γ  =  0  =  sin α  +  sin β  +  sin γ .................(1)

Let a = cos α + i sin α = cis α

b = cos β + i sin β = cis β

c = cos γ + i sin γ = cis γ

Now, a + b + c = (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ)

⇒ a + b + c = (cos α  +  cos β  +  cos γ) + i (sin α  +  sin β  +  sin γ)

⇒ a + b + c = 0 + i(0)                                        [    From (1) ]

⇒ a + b + c = 0

⇒ a³  +  b³  +  c³ = 3abc

⇒ (cos α  +  i sin α)³  +  (cos β  +  i sin β)³  +  (cos γ  +  i sin γ)³  =  3  cis α  cis β  cis γ

⇒ (cos 3α  +  i sin 3α)  +  (cos 3β  +  i sin 3β)  + (cos 3γ  +  i sin 3γ)  =  3 cis (α  +  β  + γ )     

⇒ (cos 3α  +  cos 3β  +  cos 3γ)  +  i(sin 3α  +  sin 3β  +  sin 3γ)  =  3[cos (α  +  β  +  γ) +  i sin  (α  +  β  +  γ)]

Equating real and imaginary parts on both sides

i.   cos 3α  +  cos 3β  +  cos 3γ  =  3 cos (α  +  β  +  γ)

ii.  sin 3α  +  sin 3β  +  sin 3γ   =  3 sin(α  +  β  +  γ).

10. If cos α  +  cos β  +  cos γ  =  0  =  sin α  +  sin β  +  sin γ  Then prove that

i.  cos² α  +  cos² β  +  cos² γ  =   3/2

ii.  sin² α  +  sin² β  +  sin² γ  =  3/2

Sol : Given : cos α  +  cos β  +  cos γ  =  0  =  sin α  +  sin β  +  sin γ  ........  (1)

We  know  that a  +  b  +  c  =  0

(a  +  b  +  c)²  =  0

⇒ a²  +  b²  +  c²  +  2ab  +  2bc  +  2ca  =  0

⇒ a²  +  b²  +  c²  =  - 2ab  -  2bc  -  2ca

⇒ a²  +  b²  +  c²  =  -2abc   

⇒ (cos α  +  i sin α)²  +  (cos β  +  i sin β)²  +  (cos γ  +  i sin γ)²

= -2abc [(cos γ - i sin γ)  +  (cos α   - i sin α)  +  (cos β  -  i sin β)]

⇒ (cos 2α  +  i sin 2α)  +  (cos 2β  +  i sin 2β)  +  (cos 2γ  +  i sin 2γ)

= -2abc [(cos α  +  cos β  +  cos γ)  -  i(sin α  +  sin β  +  sin γ)]

⇒ (cos 2α  +  cos 2β  +  cos 2γ)  +  i(sin 2α  +  sin 2β  +  sin 2γ)

=  -2abc [0  -  i (0)]              [From (1)]

⇒ (cos 2α  +  cos 2β  +  cos 2γ)  +  i(sin 2α  +  sin 2β  +  sin 2γ)  =  0  =  0  +  i (0)

Equating real parts on both sides

cos 2α  +  cos 2β  +  cos 2γ  =  0

⇒  2cos2 α  -  1  +  2cos2 β  -  1  +  2cos2 γ  -  1  =  0

⇒ 2(cos2 α  +  cos2 β  +  cos2 γ)  =  3

∴ (i)  cos2 α  +  cos2 β  +  cos2 γ  =  3/2

⇒ 1 - sin2 α  +  1 - sin2 β  +  1 - sin2 γ  =  3/2

⇒ sin2 α  +  sin2 β  +  sin2 γ  =  3 - 3/2

∴ (ii) sin2 α + sin2 β + sin2 γ  =  3