• facebook
  • twitter
  • whatsapp
  • telegram

System of Circles

Definition: Means a group of circles.
Radical Axis :  A line between two circles.


                  

Radical centre : The point of intersection of radical axes.


                            
Coaxial system of circles: A system of circles is said to be coaxial when any two circles of the system have the same radical axis. Any cirlcle belonging to the coaxial system takes the form  where  S = 0 is a member of  the system and L = 0 is the radical axis of the system.  (λ is a parameter)


                 

Limiting points : 
         The members of a coaxial system of circles with zero radius are called the limiting points of the coaxial system.
Conceptual Theorems
1.
If S = 0 and S' = 0 are two intersecting circles of radii r1 and r2 respectively, 'd' is the distance between the two circles and 'θ' is the angle between the two circles then
show that   
Proof :


                          

Let centres be :   C1 and C2
Given :  C1C2  =  d
Given radii :  r1 and  r2
From figure:  C1P  =  r1;   C2P  =  r2


2. Show that the condition that the circles S = 0 and S' = 0 may cut each other orthogonally is 2gg'  +  2ff '  =  c  +  c'.
Proof:


                                     

Given Circle (S)    x2 + y2  +  2gx  + 2fy  +  c  =  0
Centre :  C1 ( -g,  -f)
Radius :  
Given circle (S') : x2  +  y2 +  2g'x  + 2f'y  +  c'  =  0
Centre : C2 (-g', -f ')
Radius  :  
By data : C1 C2  =  90°
⇒ C1C22  =  C1P2  +  C2P2
⇒ (-g + g')2  +  (-f + f ')2  =  g2  +  f2 - c  +  (g')2  +  (f ')2 - c'
⇒ g2  +  g'2 - 2gg'  +  f2  +  f '2  - 2ff ' = g2  +  f2 - c  +  g'2  +  f '2 -  c'
⇒ -2gg' - 2ff '  =  -c  - c'


                

 

3. Show that the equation to a system of coaxial circles in its simplest form is
x2  +  y2  +  2λx  +  c  =  0.

Let x2 + y2 + 2gx + 2fy + c  =  0 represent the members of a coaxial system for different values of g, f and c.
For the coaxial system, let the line of centres be the x-axis and the radical axis be the y-axis.
Since the centres of all the circles of a coaxial system lie on the x-axis, their y-coordinates must be zero.
i.e. -f = 0
⇒ f = 0
Let the equations of any two circles of the system be
x2  +  y2  +  2g1x + c1  =  0 .......... (1)
x2 +  y2  +  2g2x + c2  =  0 .......... (2)
The radical axis of (1) and (2) is
2 (g1 - g2) x + (c1 - c2)  =  0
Since the radical axis is the y- axis i.e x  =  0
⇒ c1 -  c2  =  0
⇒ c1  =  c2
Let c1  =  c2  =  c

then, the circles (1) and (2) become
x2  +  y2  +  2g1x  +  c  =  0 .......... (3)
x2  +  y2  +  2g2 x + c  =  0 .......... (4)
Similarly any other circle coaxial with
(3) and (4) will be x2  +  y2  +  2g3x  +  c  =  0
Hence, the equation of coaxial system of circles in simplest form is
x2  +  y2  +  2λx  +  c  =  0 where λ is a parameter and 'c' is a constant.

Posted Date : 06-11-2020

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

Special Stories

More

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

More
 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌