Parabola

Definition:

Based on a fixed point (S) and a fixed line ( l ) there exists a particle P which is moving in a plane such that

Then the locus of P is called a conic.

Fixed point (S) is the focus, fixed line ( l ) is the directrix and e is called the eccentricity. According to 'e' conics are of three types

(1)  ⇒  If e = 1 then the conic is called a Parabola

(2)  ⇒  If e < 1 then the conic is called an Ellipse

(3)  ⇒  If e > 1 then the conic is called a Hyperbola

Equation of conic :

Definition:

A Parabola is the set of points in a plane, each of which is equidistant from the focus and the directrix.

Equation of parabola
⇒   PS  =  PM

Conceptual Theorem

1. Show that the equation of the parabola in the standard form is y2 = 4ax.

Proof :

Let 'S' be the focus and the line "l" be the directrix for the parabola

Let 'A' be the mid point of SZ and SA = AZ = a

Choose  and  as  X and Y - axes

then A = (0, 0), S = (a, 0) and Z = (-a, 0)

Let P (x, y) be any point on the parabola

Draw PM

ZZ' and PN  X - axis

PM  =  ZN  =  ZA  +  AN  =  x  +  a

From the definition of Parabola: PS = PM

This is the standard form of the parabola.

Now we define some important words which play a vital role in this chapter

Axis :  The line which is perpendicular to directrix and which passes through focus.

Focal chord : The chord which passes through focus.

Lotus rectum : The focal chord which is perpendicular to the axis.

Vertex : The point of intersection of axis and conic.

Focal distance :  The distance between focus and any point on the conic.

Different forms of parabola

1. Parabola: y2 = 4ax

Focus: S (a, 0)

Vertex: A (0, 0)

Directrix: x + a = 0

Axis: y = 0

Equation of Latus rectum: x - a = 0

L.L.R.: 4a

Focal Distance:

Tangent at vertex: x  =  0

2.  Parabola: y2 = - 4ax

Focus: S(-a,  0)

Vertex: A (0, 0)

Directrix: x - a = 0

Axis : y  =  0

Equation of Latus rectum: x  +  a  =  0

L.L.R. = 4a

Focal distance:

Tangent at vertex: x = 0

3. Parabola: x2 = 4ay

Focus: S (0, a)

Vertex: A(0, 0)

Directrix: y  +  a  =  0

Axis: x  =  0

Equation of Latus rectum: y  -  a  =  0

L.L.R: 4a

Focal distance =

Tangent at vertex: y = 0

4.  Parabola: x2 = - 4ay

Focus: S (0, -a)

Vertex: A (0, 0)

Directrix: y - a  =  0

Axis: x = 0

Equation of latus rectum: y + a = 0

Focal distance :

Tangent at vertex: y  =  0

5. Parabola: (y - β)2 = 4a (x - α)

Focus: S (a + α, β)

Vertex: A (α, β)

Directrix: x + a - α = 0

Axis: y - β = 0

Equation of Latus rectum: x - a - α = 0

L.L.R: 4a

Focal distance

Tangent at vertex: x - α = 0

6. Parabola: (x - α)2 = 4a (y - β)

Focus: S(α,  a  +  β)

Vertex: A(α,  β)

Directrix: y  +  a  -  β = 0

Axis: x  -  α  =  0

Equation of Latus rectum  =  y  -  a  -  β = 0

L.L.R: 4a

Focal distance:

Tangent at vertex:  y  -  β  =  0

Posted Date : 27-11-2021

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

More

More

More

More