నిర్వచనం:  A అనే సమితిలోని ప్రతీ మూలకం B అనే సమితిలోని ఒకే ఒక మూలకంతో అనుసంధానం కలిగి ఉంటే, ఈ అనుసంధానాన్ని A నుంచి B కి ఒక ప్రమేయం అంటారు.
               A అనే సమితిని ప్రదేశమని, B అనే సమితిని సహప్రదేశమని అంటారు.       
  

   ప్రదేశము = {1, 2, 3, 4, 5}

   సహప్రదేశము = {a, b, c, d, e, f}
   వ్యాప్తి = {a, b, c, d, f}

 A నుండి B కు మొత్తం ప్రమేయాలు సంఖ్య
          n × n × ..... m సార్లు = n^m
 A లోని ప్రతీ మూలకం అనుసంధానం కలిగి ఉండాలి.
 B అనే సమితిలోని ప్రతీ మూలకం అనుసంధానం కలిగి ఉండాల్సిన అవసరం లేదు.
 A అనే సమితిలోని మూలకాలతో అనుసంధానం కలిగి ఉన్న B అనే సమితిలోని మూలకాల సమితిని వ్యాప్తి అంటారు.
 వ్యాప్తి అనేది సహప్రదేశానికి ఉపసమితి అవుతుంది.

ప్రమేయాల రకాలు

అన్వేక ప్రమేయం:  A లోని విభిన్న మూలకాలకు B లో విభిన్న ప్రతిబింబాలు ఉంటే AB  అనే ప్రమేయాన్ని అన్వేక ప్రమేయం అంటారు.    
                   
   
గమనిక: f అనేది అన్వేకం కాకపోతే దాన్ని బహుఏక ప్రమేయం అంటారు. 

సంగ్రస్త ప్రమేయం: B లోని ప్రతి మూలకం A లోని కనీసం ఏదో ఒక మూలకానికి ప్రతిబింబం అయితే f : A → B అనే ప్రమేయాన్ని సంగ్రస్త ప్రమేయం అంటారు. 
i.e సహప్రదేశం = వ్యాప్తి

గమనిక: f అనేది సంగ్రస్త ప్రమేయం కాకపోతే దాన్ని అసంగ్రస్త ప్రమేయం అంటారు.
 

ద్విగుణ ప్రమేయం: f : AB అనే ప్రమేయం అన్వేకం మరియు సంగ్రస్తం రెండూ అయితే f : AB ను ద్విగుణ ప్రమేయం అంటారు.

ద్విగుణ ప్రమేయాల సంఖ్య: n(A) = m = n(B), అయితే A నుంచి B కు నిర్వచింపగలిగిన ద్విగుణ ప్రమేయాల సంఖ్య: m!
 

స్థిరప్రమేయం: f : AB అనే ప్రమేయంలో f యొక్క వ్యాప్తి ఒక మూలకాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటే అంటే కు f(x) = k అయ్యేవిధంగా B లో k అనే స్థిర మూలకం ఉంటే f ను స్థిరప్రమేయం అంటారు. 

గమనిక: (1): ఒక స్థిరప్రమేయం యొక్క సహప్రదేశం ఒకే ఒక మూలకం కలిగి ఉన్న సమితి అయితే ఆ స్థిర ప్రమేయం సంగ్రస్తం అవుతుంది. 
(2): ఒక స్థిర ప్రమేయం యొక్క ప్రదేశం ఒకే ఒక మూలకం కలిగి ఉన్న సమితి అయితే ఆ స్థిర ప్రమేయం అన్వేకం అవుతుంది.
 

తత్సమ ప్రమేయం: f : A A అనే ప్రమేయం f(x) = x గా నిర్వచితమైన ప్రమేయం, అంటే A లోని ప్రతీ మూలకానికి f మూలంగా అదే మూలకం ప్రతిబింబమైతే అప్పుడు f : AA ను తి పై తత్సమ ప్రమేయం అంటారు. దీన్ని I_A (లేదా) I తో సూచిస్తారు.

సంయుక్త ప్రమేయం (లేదా) లబ్ధ ప్రమేయం:  f : AB మరియు g : B C అనేవి రెండు ప్రమేయాలైతే (gof)(a) = g[f(a)] గా నిర్వచితమైన gof : AC అనే ప్రమేయాన్ని f, g ల సంయుక్త ప్రమేయం అంటారు. 

బేసి ప్రమేయం: ∀x కు f(-x) = - f(x) అయితే f(x) ను బేసి ప్రమేయం అంటారు. 

సరి ప్రమేయం: ∀x కు f(-x) = f(x) అయితే f(x) ను సరి ప్రమేయం అంటారు. 

ఘాత ప్రమేయం: a > 0, a ≠ 1, a ∈ R అయితే f(x) = a^x అనే ప్రమేయాన్ని ఘాత ప్రమేయం అంటారు.

సంవర్గమాన ప్రమేయం:  a > 0, a ≠ 1, a ∈ R అయితే f(x) = logax అనే ప్రమేయాన్ని సంవర్గమాన ప్రమేయం అంటారు.

సిగ్నమ్ ప్రమేయం: దీన్ని y = Sgn(x) తో సూచిస్తారు. దీన్ని కింది విధంగా నిర్వచిస్తారు. 
 

కొన్ని ప్రమేయాల ప్రదేశాలు, వ్యాప్తులు

భావనాత్మక సిద్ధాంతాలు
సిద్ధాంతం 1: f : A → B  మరియు g : B → C అనేవి రెండు అన్వేక ప్రమేయాలైతే gof : A → C అనే ప్రమేయం అన్వేకం అవుతుందని నిరూపించండి.
నిరూపణ: ఇచ్చినది f : A → B మరియు g : B → C  అనేవి రెండు అన్వేక ప్రమేయాలు. gof : A → C అనేది కూడా అన్వేకం అని నిరూపిస్తాం

 a₁, a₂  ∈ A అనుకుందాం
 f(a₁), f(a₂) ∈ B మరియు g(f(a₁)), g(f(a₂)) ∈ C
           (gof)(a₁), (gof)(a₂) ∈ C
           ఇప్పుడు (gof)(a₁) = (gof)(a₂)
           g[f(a₁)] = g[f(a₂)]
                    f(a₁) = f(a₂) [...   g అన్వేకం]
           a₁ = a₂ [ f అన్వేకం]
     కాబట్టి gof: A → C అనేది అన్వేక ప్రమేయం.

2: f : A → B, g : B → C  అనేవి రెండు సంగ్రస్త ప్రమేయాలైతే gof : A→ C అనేది కూడా సంగ్రస్తం అవుతుందని నిరూపించండి.
నిరూపణ: ఇచ్చినది f : A → B, g : B → C అనేవి రెండు సంగ్రస్త ప్రమేయాలు gof : A→ C కూడా సంగ్రస్తం అని నిరూపిస్తాం 
               
 a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C
 g : B → C సంగ్రస్త ప్రమేయం కాబట్టి .
g(b) = c అయ్యేవిధంగా b ∈ B అనేది వ్యవస్థితమవుతుంది.
f : A → B సంగ్రస్త ప్రమేయం కాబట్టి.
 f(a) = b అయ్యేవిధంగా a ∈ A అనేది వ్యవస్థితమవుతుంది. 
ఇప్పుడు g(b) = c
 g[f(a)] = c
 (gof)(a) = c
కాబట్టి ఏదైనా మూలకం c ∈ C కు, (gof)(a) = c అయ్యేవిధంగా  a ∈ A అనేది వ్యవస్థితమవుతుంది.
కాబట్టి, gof : A → C అనేది సంగ్రస్తం.