నిర్వచనం: A అనే సమితిలోని ప్రతీ మూలకం B అనే సమితిలోని ఒకే ఒక మూలకంతో అనుసంధానం కలిగి ఉంటే, ఈ అనుసంధానాన్ని A నుంచి B కి ఒక ప్రమేయం అంటారు.
A అనే సమితిని ప్రదేశమని, B అనే సమితిని సహప్రదేశమని అంటారు.
ప్రదేశము = {1, 2, 3, 4, 5}
సహప్రదేశము = {a, b, c, d, e, f}
వ్యాప్తి = {a, b, c, d, f}
A నుండి B కు మొత్తం ప్రమేయాలు సంఖ్య
n × n × ..... m సార్లు = nm
A లోని ప్రతీ మూలకం అనుసంధానం కలిగి ఉండాలి.
B అనే సమితిలోని ప్రతీ మూలకం అనుసంధానం కలిగి ఉండాల్సిన అవసరం లేదు.
A అనే సమితిలోని మూలకాలతో అనుసంధానం కలిగి ఉన్న B అనే సమితిలోని మూలకాల సమితిని వ్యాప్తి అంటారు.
వ్యాప్తి అనేది సహప్రదేశానికి ఉపసమితి అవుతుంది.
ప్రమేయాల రకాలు
అన్వేక ప్రమేయం: A లోని విభిన్న మూలకాలకు B లో విభిన్న ప్రతిబింబాలు ఉంటే AB అనే ప్రమేయాన్ని అన్వేక ప్రమేయం అంటారు.
గమనిక: f అనేది అన్వేకం కాకపోతే దాన్ని బహుఏక ప్రమేయం అంటారు.
సంగ్రస్త ప్రమేయం: B లోని ప్రతి మూలకం A లోని కనీసం ఏదో ఒక మూలకానికి ప్రతిబింబం అయితే f : A → B అనే ప్రమేయాన్ని సంగ్రస్త ప్రమేయం అంటారు.
i.e సహప్రదేశం = వ్యాప్తి
గమనిక: f అనేది సంగ్రస్త ప్రమేయం కాకపోతే దాన్ని అసంగ్రస్త ప్రమేయం అంటారు.
ద్విగుణ ప్రమేయం: f : AB అనే ప్రమేయం అన్వేకం మరియు సంగ్రస్తం రెండూ అయితే f : A
B ను ద్విగుణ ప్రమేయం అంటారు.
ద్విగుణ ప్రమేయాల సంఖ్య: n(A) = m = n(B), అయితే A నుంచి B కు నిర్వచింపగలిగిన ద్విగుణ ప్రమేయాల సంఖ్య: m!
స్థిరప్రమేయం: f : AB అనే ప్రమేయంలో f యొక్క వ్యాప్తి ఒక మూలకాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటే అంటే
కు f(x) = k అయ్యేవిధంగా B లో k అనే స్థిర మూలకం ఉంటే f ను స్థిరప్రమేయం అంటారు.
గమనిక: (1): ఒక స్థిరప్రమేయం యొక్క సహప్రదేశం ఒకే ఒక మూలకం కలిగి ఉన్న సమితి అయితే ఆ స్థిర ప్రమేయం సంగ్రస్తం అవుతుంది.
(2): ఒక స్థిర ప్రమేయం యొక్క ప్రదేశం ఒకే ఒక మూలకం కలిగి ఉన్న సమితి అయితే ఆ స్థిర ప్రమేయం అన్వేకం అవుతుంది.
తత్సమ ప్రమేయం: f : A A అనే ప్రమేయం f(x) = x గా నిర్వచితమైన ప్రమేయం, అంటే A లోని ప్రతీ మూలకానికి f మూలంగా అదే మూలకం ప్రతిబింబమైతే అప్పుడు f : A
A ను తి పై తత్సమ ప్రమేయం అంటారు. దీన్ని IA (లేదా) I తో సూచిస్తారు.
సంయుక్త ప్రమేయం (లేదా) లబ్ధ ప్రమేయం: f : AB మరియు g : B
C అనేవి రెండు ప్రమేయాలైతే (gof)(a) = g[f(a)]
గా నిర్వచితమైన gof : A
C అనే ప్రమేయాన్ని f, g ల సంయుక్త ప్రమేయం అంటారు.
బేసి ప్రమేయం: ∀x కు f(-x) = - f(x) అయితే f(x) ను బేసి ప్రమేయం అంటారు.
సరి ప్రమేయం: ∀x కు f(-x) = f(x) అయితే f(x) ను సరి ప్రమేయం అంటారు.
ఘాత ప్రమేయం: a > 0, a ≠ 1, a ∈ R అయితే f(x) = ax అనే ప్రమేయాన్ని ఘాత ప్రమేయం అంటారు.
సంవర్గమాన ప్రమేయం: a > 0, a ≠ 1, a ∈ R అయితే f(x) = logax అనే ప్రమేయాన్ని సంవర్గమాన ప్రమేయం అంటారు.
సిగ్నమ్ ప్రమేయం: దీన్ని y = Sgn(x) తో సూచిస్తారు. దీన్ని కింది విధంగా నిర్వచిస్తారు.
కొన్ని ప్రమేయాల ప్రదేశాలు, వ్యాప్తులు
భావనాత్మక సిద్ధాంతాలు
సిద్ధాంతం 1: f : A → B మరియు g : B → C అనేవి రెండు అన్వేక ప్రమేయాలైతే gof : A → C అనే ప్రమేయం అన్వేకం అవుతుందని నిరూపించండి.
నిరూపణ: ఇచ్చినది f : A → B మరియు g : B → C అనేవి రెండు అన్వేక ప్రమేయాలు. gof : A → C అనేది కూడా అన్వేకం అని నిరూపిస్తాం
a1, a2 ∈ A అనుకుందాం
f(a1), f(a2) ∈ B మరియు g(f(a1)), g(f(a2)) ∈ C
(gof)(a1), (gof)(a2) ∈ C
ఇప్పుడు (gof)(a1) = (gof)(a2)
g[f(a1)] = g[f(a2)]
f(a1) = f(a2) [... g అన్వేకం]
a1 = a2 [ f అన్వేకం]
కాబట్టి gof: A → C అనేది అన్వేక ప్రమేయం.
2: f : A → B, g : B → C అనేవి రెండు సంగ్రస్త ప్రమేయాలైతే gof : A→ C అనేది కూడా సంగ్రస్తం అవుతుందని నిరూపించండి.
నిరూపణ: ఇచ్చినది f : A → B, g : B → C అనేవి రెండు సంగ్రస్త ప్రమేయాలు gof : A→ C కూడా సంగ్రస్తం అని నిరూపిస్తాం
a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C
g : B → C సంగ్రస్త ప్రమేయం కాబట్టి .
g(b) = c అయ్యేవిధంగా b ∈ B అనేది వ్యవస్థితమవుతుంది.
f : A → B సంగ్రస్త ప్రమేయం కాబట్టి.
f(a) = b అయ్యేవిధంగా a ∈ A అనేది వ్యవస్థితమవుతుంది.
ఇప్పుడు g(b) = c
g[f(a)] = c
(gof)(a) = c
కాబట్టి ఏదైనా మూలకం c ∈ C కు, (gof)(a) = c అయ్యేవిధంగా a ∈ A అనేది వ్యవస్థితమవుతుంది.
కాబట్టి, gof : A → C అనేది సంగ్రస్తం.