నిర్వచనం : మూలకాలను చతురస్ర (లేదా) దీర్ఘచతురస్రాకారంలో అమరిస్తే వచ్చే అమరికను మాత్రిక అంటారు.
 

          

అడ్డు వరుసలనూ పైనుంచి కిందికి మరియు నిలువు వరుసలనూ ఎడమ నుంచి కుడివైపుకు గణిస్తాం.

ఉదా: (i) లో 3 అడ్డువరుసలు మరియు 4 నిలువు వరుసలున్నాయి మరియు దీన్ని 3 × 4 తరగతి అంటారు.

(3 బై 4 అని చదువుతాం).

1, 2, 3, 4, ... అనే అంకెలు ఈ మాత్రికను నిర్మిస్తున్నాయి వీటిని మాత్రిక యొక్క మూలకాలు అంటారు. మాత్రికలను పెద్ద అక్షరాలతో సూచిస్తాం.

i) స్క్వేర్ బ్రాకెట్స్    [   ]

ii) పారెంథెసిస్       (   )

iii) డబుల్ బార్స్  || || లలో అమరుస్తారు.

నోట్ : మాత్రిక తరగతిలో, మనం ఎప్పుడైనా అడ్డువరుసనూ ముందు మరియు తర్వాత నిలువు వరుసనూ గుర్తిస్తాం.

మాత్రికల్లో రకాలు

చతురస్ర మాత్రిక :  అడ్డు వరుసల సంఖ్య మరియు నిలువు వరుసల సంఖ్య సమానంగా కలిగి ఉన్న మాత్రికను చతురస్ర మాత్రిక అంటారు.

 

           

ఇచ్చట a_ijఅనేది సాధారణంగా i వ అడ్డువరుస మరియు j వ నిలువ వరుసలో ఉందని సూచిస్తుంది.

దీర్ఘచతురస్ర మాత్రిక : అడ్డువరుసల సంఖ్య మరియు నిలువు వరుసల సంఖ్య సమానంగా లేనటువంటి మాత్రికను దీర్ఘచతురస్ర మాత్రిక అంటారు.

 

పంక్తిమాత్రిక : ఒకే ఒక అడ్డువరుసను కలిగి ఉన్న మాత్రికను పంక్తిమాత్రిక అంటారు. 

 

దొంతి మాత్రిక : ఒకే ఒక నిలువు వరుసను కలిగి ఉన్న మాత్రికను దొంతి మాత్రిక అంటారు.

శూన్యమాత్రిక : ఒక మాత్రికలోని అన్ని మూలకాలు సున్నాలైతే దాన్ని శూన్యమాత్రిక అంటారు.

m × n తరగతి శూన్యమాత్రికను ^Om × n అని (లేదా) O అని సూచిస్తారు.

వికర్ణమాత్రిక : ఒక చతురస్ర మాత్రికలోని ప్రధాన వికర్ణమూలకాలు తప్ప మిగిలిన మూలకాలు సున్నాలైన మాత్రికను వికర్ణమాత్రిక అంటారు. దీన్ని Diag తో  సూచిస్తాం

 

 నోట్: ఒక చతురస్ర మాత్రికలో i = j అయ్యేలా  a_ij మూలకాలు అనగా a₁₁, a₂₂, a₃₃ ... మూలకాలను ప్రధాన వికర్ణ మూలకాలు అంటారు.

 నోట్ : మొదటి అడ్డువరుసలోని మొదటి మూలకం నుంచి చివరి అడ్డు వరుసలోని చివరి మూలకం వరకు కలిపే వికర్ణాన్ని ప్రధాన వికర్ణం అంటారు.

 నోట్ : ప్రధాన వికర్ణంలోని మూలకాల మొత్తాన్ని జాడ అంటారు. దీన్ని "Tr" తో సూచిస్తాం.

సంఖ్యామాత్రిక : ఒక చతురస్ర మాత్రికలోని ప్రధాన వికర్ణంలోని మూలకాలన్నీ సమాన విలువ కలిగి ఉండి మిగిలిన మూలకాలన్నీ సున్నాలైన మాత్రికను సంఖ్యామాత్రిక అంటారు.

యూనిట్ మాత్రిక : ఒక చతురస్ర మాత్రికలోని ప్రధాన వికర్ణంలోని మూలకాలన్నీ 1 కి సమానమై మిగిలిన మూలకాలన్నీ సున్నాలైన మాత్రికను యూనిట్ (లేదా) తత్సమ మాత్రిక అంటారు. n వ తరగతి యూనిట్ మాత్రికను I_nతో సూచిస్తాం.

  

ఎగువ త్రిభుజ మాత్రిక :  A = [a_ij] అనే చతురస్ర మాత్రికలో   i > j. కి a_ij  =  0 అయిన మాత్రికను ఎగువ త్రిభుజ మాత్రిక అంటారు.

 

ఒక ఎగువ త్రిభుజ మాత్రికలో ప్రధాన వికర్ణం దిగువ ఉన్న మూలకాలన్నీ సున్నాలవుతాయి.

దిగువ త్రిభుజ మాత్రిక :  B = [b_ij] అనే చతురస్ర మాత్రికలో  i < j కి b_ij = 0 అయిన మాత్రికను దిగువ త్రిభుజ మాత్రిక అంటారు.

 

ఒక దిగువ త్రిభుజ మాత్రికలో ప్రధాన వికర్ణం ఎగువ ఉన్న మూలకాలన్నీ సున్నాలవుతాయి.

నోట్ : a_ii = 0  i = 1, 2... n. అయితే A : [a_ij]_{n × n} అనే చతురస్ర మాత్రికను శద్ధ త్రిభుజ మాత్రిక అంటారు.

 

శక్తిహీన మాత్రిక :  n ∈ N కు Aⁿ = 0 అయ్యే చతురస్ర మాత్రికను శక్తిహీన మాత్రిక అంటారు. Aⁿ = 0 అయ్యేలా ఉండే n అనే కనిష్ఠ పూర్ణాంకాన్ని శక్తిహీన మాత్రిక యొక్క సూచిక అంటారు.

లఘు నిర్ధారకం : A = [a_ij] అనేది ఒక చతురస్ర మాత్రిక. A లోని i వ అడ్డు వరస మరియు j వ నిలువు వరుసలను తొలగిస్తే మిగిలి ఉండే చతురస్ర మాత్రిక యొక్క నిర్ధారకాన్ని a_ijఅనే మూలకం యొక్క లఘు నిర్ధారకం అంటారు. దీన్ని M_ijతో సూచిస్తారు.

సహగుణావయవం :  A = [a_ij] అనేది ఒక చతురస్ర మాత్రిక A లో a_ij అనే మూలకం యొక్క లఘు నిర్ధారకాన్ని (-1) i+j చే గుణిస్తే వచ్చే విలువ ను a_ij అనే మూలకం యొక్క సహగుణావయవం అంటారు. దీన్ని A_ij. తో సూచిస్తాం.

3 × 3 మాత్రిక యొక్క నిర్ధారకం : ఒక 3  ×3 చతురస్ర మాత్రికలో ఉన్న మొదటి అడ్డు వరుస మూలకాలను వాటి అనురూప సహ గుణావయవాలతో గుణిస్తే వచ్చే లబ్ధాలన్నింటి మొత్తం ఆ మాత్రికకు నిర్ధారకం అవుతుంది.

ఒక చతురస్ర మాత్రికలోని ఏదైనా అడ్డువరుస మూలకాలను వాటి అనురూప సహగుణావయవాలతో గుణిస్తే వచ్చే లబ్ధాలన్నింటి మొత్తం ఆ మాత్రికకు నిర్ధారకం అవుతుంది.

DetA   =  1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3 (32 - 35)
 

DetA  = -3 + 12 - 9  =  0

నిర్ధారకం యొక్క ధర్మాలు

(1) A అనే చతురస్ర మాత్రికలోని అడ్డువరుసలను నిలువు వరుసలుగా నిలువు వరుసలను అడ్డు వరుసలుగా మారిస్తే ఆ మాత్రిక యొక్క నిర్ధారకం విలువ మారదు. 

అంటే  detA   =   detA^T

2) ఒక చతురస్ర మాత్రికలోని ఏవైనా రెండు అడ్డు వరుసలను (లేదా) నిలువు వరుసలను పరస్పరం మారిస్తే నిర్ధారకం యొక్క గుర్తు మారుతుంది.

(3) ఒక చతురస్ర మాత్రికలో ఏవైనా రెండు అడ్డు వరుసలు (లేదా) నిలువు వరుసలు సమానమైతే దాని నిర్ధారకం సున్నా అవుతుంది.

(4) ఒక చతురస్ర మాత్రికలో ఏదైనా ఒక అడ్డు వరుస (లేదా) నిలువు వరుసలోని మూలకాలన్నింటినీ k సంఖ్యతో గుణిస్తే ఏర్పడే మాత్రిక యొక్క నిర్ధారకం, ఇచ్చిన మాత్రికా నిర్ధారకానికి k రెట్లు ఉంటుంది.

(5) ఒక చతురస్ర మాత్రికలో ఉన్న ఒక అడ్డు వరుస (లేదా) నిలువు వరుసలోని ప్రతి మూలకాన్ని రెండు సంఖ్యల మొత్తాలుగా రాయగలిగితే ఆ మాత్రిక నిర్ధారకాన్ని అదే తరగతికి చెందిన రెండు చతురస్ర మాత్రికా నిర్ధారకాల మొత్తంగా రాయవచ్చు.

(6) ఒక చతురస్ర మాత్రికలో ఒక అడ్డు వరుస (లేదా) నిలువు వరుసలో ఉన్న ప్రతి మూలకాన్ని ఏదైనా సంఖ్య k తో గుణించి వేరొక అడ్డువరుస (లేదా) నిలువు వరుసలోని అనురూప మూలకాలకు కూడితే ఆ మాత్రిక నిర్ధారకం విలువ మారదు.

(7) ఒక చతురస్ర మాత్రికలో ఒక అడ్డువరుస (లేదా) నిలువు వరుసలోని మూలకాలను మరో అడ్డు వరుస (లేదా) నిలువు వరుసలో ఉన్న అనురూప మూలకాల సహ గుణావయవాలతో గుణిస్తే వచ్చే లబ్ధాల మొత్తం సున్నా అవుతుంది.

(i) A యొక్క r - వ పంక్తి శూన్యేతర లఘు నిర్ధారకం వ్యవస్థ

(ii) A యొక్క ప్రతి (r +1) వ పంక్తి లఘు నిర్ధారకం (వ్యవస్థితమైతే) సున్నా అవుతుంది. అప్పుడు 'r' అనే ధనపూర్ణాంకం A యొక్క కోటి అంటారు.

అసాధారణ మాత్రిక : ఒక చతురస్ర మాత్రిక యొక్క నిర్ధారక విలువ సున్నా అయితే ఆ మాత్రికను అసాధరణ మాత్రిక అంటారు.

అప్పుడు Det A  =  2(60 - 63) - 3(50 - 56) + 4 (45 - 48)

Det A  =  -6 + 18 - 12

Det A  =  0

A  అనేది అసాధారణ మాత్రిక

సాధారణ మాత్రిక : ఒక చతురస్ర మాత్రిక యొక్క నిర్ధారకం సున్నా కాకపోతే ఆ మాత్రికను సాధారణ మాత్రిక అంటారు

 

అప్పుడు  DetA  =  1(1 - 0)  -  0(0 - 0)  +  0(0 - 0)

DetA  =  1≠ 0

అనేది సాధారణ మాత్రిక

నోట్ : A అనేది 3 × 3 శూన్యేతర మాత్రిక అనుకుందాం. A అనేది సాధారణ మాత్రిక అయితే A యొక్క కోటి 3 అవుతుంది.

నోట్ : A అనేది 3 × 3 శూన్యేతర మాత్రిక అనుకుందాం. A అనేది సాధారణ మాత్రిక మరియు దాని యొక్క ఏదో ఒక 2 × 2 ఉపమాత్రికలు అసాధారణ మాత్రికలు అయితే A యొక్క కోటి 2 అవుతుంది.

నోట్ : A అనేది 3 × 3 శూన్యేతర మాత్రిక అనుకుందాం. A అనేది అసాధరణ మాత్రిక మరియు A యొక్క ప్రతి 2 × 2 ఉపమాత్రికలు అసాధారణ మాత్రికలు అయితే A యొక్క కోటి 1 అవుతుంది.

నోట్ : A అనేది 3 × 4 (లేదా) 4 × 3 తరగతిగా ఉన్న శూన్యేతర మాత్రిక అనుకుందాం. A యొక్క అన్ని 3 × 3 ఉపమాత్రకల కోటిలో గరిష్ఠం A యొక్క కోటి అవుతుంది.

భావనాత్మక సిద్ధాంతాలు

(1) A అనేది m × n తరగతి మాత్రిక మరియు I అనేది యూనిట్ మాత్రిక అయితే AI_n = A = I_mA అని చూపండి.

సాధన: A  =  [a_ik]_{m × n} అనుకుందాం.

మరియు I_n = [b_kj]_{n × n}  ఇక్కడ b_kj  =  1, k   =  j  అయితే

3. మాత్రికల గుణకారం సహచర న్యాయాన్ని పాటిస్తుందని చూపండి. అంటే A(BC) = (AB)C

4. A అనేది m × p తరగతి మాత్రిక మరియు B అనేది p × n తరగతి మాత్రిక అయితే (AB)T = BTAT. అని చూపండి.