a.b = 0
... (a, b) = 90° [ ... Note (3) నుంచి ]
3. 3i + 2j + 9k, i + pj + 3k అనే సదిశలు సమాంతరాలు అయితే ' p ' విలువ కనుక్కోండి.
జ: ఇచ్చిన సదిశలు:
= 3i + 2j + 9k
= i + pj + 3k
ఇచ్చిన సదిశలు సమాంతరాలు కాబట్టి
4. 2i - 3j + k, 3i + aj + 6k అనే సదిశలు ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉంటే ' a ' విలువ కనుక్కోండి?
జ: ఇచ్చిన సదిశలు: 
= 2i - 3j + k
= 3i + aj + 6k
ఇచ్చిన సదిశలు ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉన్నాయి కాబట్టి
(2i - 3j + k).(3i + aj + 6k) = 0 [ ... Note (3) నుంచి ]
6 - 3a + 6 = 0 [ ... Note (1) నుంచి ]
12 - 3a = 0
... a = 4
5. 
= i + 2j - 3k, 
= 3i - j + 3k అయితే (a + b), (a - b) ల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.
జ: ఇచ్చిన సదిశలు: 
= i + 2j - 3k
= 3i - j + 3k
a + b = 4i + j
6. 
= 2i + j + 2k, 
= 5i - 3j + k అయితే 
పై 
యొక్క లంబ విక్షేపాన్ని కనుక్కోండి.
జ: ఇచ్చిన సదిశలు: 
= 2i + j + 2k
= 5i - 3j + k
నిర్ధారకం = 0
ఇచ్చిన సదిశలు ఏకఘాత అనాశ్రితాలు
7. A, B ల స్థాన సదిశలు వరుసగా , . = 3 అయ్యేలా పై C ఏదైనా బిందువు అయితే C స్థాన సదిశను కనుక్కోండి.
8. 6i - 5j, 5i - 19j - 3k, 3j - 5k, 3i + 5j + 7k లు స్థాన సదిశలుగా ఉన్న బిందువులు అసతలీయాలు అని చూపండి.
జ. ఇచ్చినవి: = 6i - 5j
= 5i - 19j - 3k
= 3j - 5k
= 3i + 5j + 7k
నిర్ధారకం = - 1 (56 + 50) + 14 (- 42 - 15) - 3 (- 60 + 24)
= - 106 - 798 + 108
= - 796 0
ఇచ్చిన బిందువులు అసతలీయాలు
9. ఒకే తలంలో ఉన్న A, B, C, D బిందువు స్థాన సదిశలు వరుసగా 3i - 2j - k, 2i + 3j - 4k, - i + j + 2k, 4i + 5j + λk అయితే λ ను కనుక్కోండి.
జ. ఇచ్చినవి: 
= 3i - 2j - k
= 2i + 3j - 4k
= - i + j + 2k
= 4i + 5j + λk
= -
= - i + 5j - 3k
= -
= - 4i + 3j + 3k
= -
= i + 7j + ( λ + 1) k
= - 1 (3λ + 3 - 21) - 5 ( - 4λ - 4 - 3) - 3 (- 28 - 3) = 0
= - 3λ + 18 + 20λ + 35 + 93 = 0
=17 λ + 146 = 0
10. (2, 3, 1) బిందువు ద్వారా పోతూ (4, - 2, 3) సదిశకు సమాంతరంగా ఉన్న సరళరేఖ సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
జ. ఇచ్చినవి: 
= (2, 3, 1) = 2i + 3j + k
= (4, - 2, 3) = 4i - 2j + 3k
కావలసిన సదిశా సరళరేఖ సమీకరణం:
= + t ( 
భావనాత్మక సిద్ధాంతం (1) నుంచి)
xi + yj + zk = (2i + 3j + k) + t (4i - 2j + 3k)
ఇక్కడ, ' t ' ఒక వాస్తవ సంఖ్య
11. (1, -2, 1), (0, -2, 3) బిందువుల ద్వారా పోయే సదిశా సరళరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
జ. ఇచ్చినవి: = i - 2j + k, = -2j + 3k
కావలసిన సదిశా సరళరేఖ సమీకరణం:
= (1 - t) + t ( భావనాత్మక సిద్ధాంతం (2) నుంచి)
= xi + yj + zk = (1 - t) (i - 2j + k) + t (-2j + 3k)
= xi + yj + zk = (1 - t) i + (-2 + 2t - 2t) j + (1 - t + 3t) k
= xi + yj + zk = (1 - t) i - 2j + (1 + 2t) k
రెండు వైపులా i, j, k ల గుణకాలను పోలిస్తే
12. i + 2j + k బిందువు ద్వారా పోతూ 3i - j , 2k - i లకు సమాంతరంగా ఉండే తలానికి సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
జ. ఇచ్చినవి: = i + 2j + k = 3i - j 
= -i + 2k
కావలసిన సదిశా తలం సమీకరణం:
= + s + t ( భావనాత్మక సిద్ధాంతం (3) నుంచి)
xi + yj + zk = (i + 2j + k) + s (3i - j ) + t ( - i + 2k )
ఇక్కడ s, t వాస్తవ సంఖ్యలు
13. (1, -2, 5), (0, -5, -1), (- 3, 5, 0) బిందువుల ద్వారా పోయే సదిశా తలానికి సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
జ. ఇచ్చినవి: = i - 2j + 5k = -5j - k = -3i + 5j
కావలసిన సదిశాతలం సమీకరణం
= (1 - s - t) + s + t ( భావనాత్మక సిద్ధాంతం (4) నుంచి )
xi + yj + zk = (1 - s - t) (i - 2j + 5k) + s ( -5j - k) + t (- 3i + 5j)
ఇక్కడ s, t వాస్తవ సంఖ్య
14. 3 - 4 , 4 - 3 బిందువులను కలిపే రేఖా ఖండాన్ని 2 : 3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువు స్థాన సదిశ కనుక్కోండి.
జ. ఇచ్చినవి : = 3 - 4 = 4 - 3
ఇచ్చిన నిష్పత్తి: 2 : 3
15. A (1, 2, 3), B (3, 4, 7), C (-3, -2, -5) మూడు బిందువులు. AC ని B విభజించే నిష్పత్తి కనుక్కోండి.
జ. A (1, 2, 3), B (3, 4, 7), C (-3, -2, -5)
AC రేఖాఖండాన్ని B బిందువు m : n నిష్పత్తిలో ఖండిస్తుంది అనుకుందాం.
