పరిచయం : θ ఒక వాస్తవ సంఖ్య అయినప్పుడు x = acos θ , y = asin θ గా తీసుకొంటే x² + y² = a² అవుతుందని మనకు తెలుసు. అంటే θ  యొక్క ప్రతి వాస్తవ విలువకు ( acosθ, asinθ ) అనే బిందువు x² + y² = a²అనే వృత్తంపై ఉంటుంది. అందువల్లే త్రికోణమితీయ ప్రమేయాలను వర్తుల ప్రమేయాలు అని అంటాం.
 
       ఇప్పుడు  గా తీసుకొంటే (ఇక్కడ θ ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య)  అవుతుంది. ఇది ఒక అతిపరావలయానికి సమీకరణం. అంటే   అతిపరావలయంపై బిందువులను

   గా తీసుకోవచ్చు. ఈ విషయాలను దృష్టిలో ఉంచుకొని మనం అతిపరావలయ ప్రమేయాలను నిర్వచిస్తాం.
* e అనే సంఖ్యను కింది విధంగా నిర్వచించవచ్చు.

అతిపరావలయ ప్రమేయాలు

5 . అతిపరావలయ ప్రమేయాల ధర్మాలు
1. ప్రతి x, y ∈ R కు

6. విలోమ అతిపరావలయ ప్రమేయాలు:
(i) ప్రతి x ∈ R f : R

 R కు, f(x) = sinhx గా నిర్వచించిన ప్రమేయం ద్విగుణ ప్రమేయం. కాబట్టి దీనికి విలోమ ప్రమేయం వ్యవస్థితం అవుతుంది. దీన్ని  sin h^-1తో సూచిస్తాం. ప్రతి x, y ∈ R కు sin h^-1 x = y  sin hy  =  x
(ii) ప్రతి x ∈ [0, ∞ ), f : [0,  ∞)   [1, ∞ ) కు,  నిర్వచించిన ప్రమేయం ద్విగుణం. ప్రతి x ∈ [1, ∞)
cos h-1 : [1,∞ ) [0, ∞)  నిర్వచించిన ప్రమేయానికి cos h-1 x  =  y  cos hy  =  x .
(iii) ప్రతి x ∈ R, f : R  (-1, 1) కు నిర్వచించిన ప్రమేయం f(x) = tan hx   ద్విగుణం. కాబట్టి ప్రతి x ∈ (-1, 1) కు tan h^-1 : (-1, 1)  

  R by tan h^-1 x = y   tan hy = x
(iv) ప్రతి x ∈  R - {0} కు f : R -{0}    R -[-1, 1]  నిర్వచించిన ప్రమేయం f(x) =  cot hx ద్విగుణం. కాబట్టి
ప్రతి x ∈ R - [-1, 1] కూ cot h-1 : R - [-1, 1]    R - {0} నిర్వచించిన ప్రమేయం
cot h^-1 x = y   cot hy = x
v) ప్రతి x ∈ [0 , ∞) కు f : [0, ∞ )  (0, 1] నిర్వచించిన ప్రమేయం f(x) = sechx ద్విగుణం. కాబట్టి
ప్రతి x ∈ (0,1] కు sec-h : (0 , 1]  [0 ,∞ ) గా  నిర్వచించిన ప్రమేయంf(x) =  sech^-1 x  =  y  sec hy  = x  
(vi) ప్రతి x ∈ R - {0} కు f : R - {0}  R - {0} గా నిర్వచించిన ప్రమేయం  f(x) = cosec hx ద్విగుణం. కాబట్టి
ప్రతి x ∈ R - {0} కు cosec h-1: R - {0}    R - {0}   గా నిర్వచించిన ప్రమేయం.
cosec h^-1 x = y  cosec hy  =  x 

7. విలోమ అతిపరావలయ ప్రమేయాల ప్రదేశం, వ్యాప్తి
పట్టిక - II

 

8. విలోమ అతిపరావలయ ప్రమేయాలను సంవర్గమాన ప్రమేయాలలో ఉత్పాదించడం
​​​​​​​