పరిచయం : θ ఒక వాస్తవ సంఖ్య అయినప్పుడు x = acos θ , y = asin θ గా తీసుకొంటే x2 + y2 = a2 అవుతుందని మనకు తెలుసు. అంటే θ యొక్క ప్రతి వాస్తవ విలువకు ( acosθ, asinθ ) అనే బిందువు x2 + y2 = a2అనే వృత్తంపై ఉంటుంది. అందువల్లే త్రికోణమితీయ ప్రమేయాలను వర్తుల ప్రమేయాలు అని అంటాం.
ఇప్పుడు గా తీసుకొంటే (ఇక్కడ θ ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య)
అవుతుంది. ఇది ఒక అతిపరావలయానికి సమీకరణం. అంటే
అతిపరావలయంపై బిందువులను
గా తీసుకోవచ్చు. ఈ విషయాలను దృష్టిలో ఉంచుకొని మనం అతిపరావలయ ప్రమేయాలను నిర్వచిస్తాం.
* e అనే సంఖ్యను కింది విధంగా నిర్వచించవచ్చు.
అతిపరావలయ ప్రమేయాలు





5 . అతిపరావలయ ప్రమేయాల ధర్మాలు
1. ప్రతి x, y ∈ R కు
6. విలోమ అతిపరావలయ ప్రమేయాలు:
(i) ప్రతి x ∈ R f : R R కు, f(x) = sinhx గా నిర్వచించిన ప్రమేయం ద్విగుణ ప్రమేయం. కాబట్టి దీనికి విలోమ ప్రమేయం వ్యవస్థితం అవుతుంది. దీన్ని sin h-1తో సూచిస్తాం. ప్రతి x, y ∈ R కు sin h-1 x = y
sin hy = x
(ii) ప్రతి x ∈ [0, ∞ ), f : [0, ∞) [1, ∞ ) కు, నిర్వచించిన ప్రమేయం ద్విగుణం. ప్రతి x ∈ [1, ∞)
cos h-1 : [1,∞ ) [0, ∞) నిర్వచించిన ప్రమేయానికి cos h-1 x = y cos hy = x .
(iii) ప్రతి x ∈ R, f : R (-1, 1) కు నిర్వచించిన ప్రమేయం f(x) = tan hx ద్విగుణం. కాబట్టి ప్రతి x ∈ (-1, 1) కు tan h-1 : (-1, 1)
R by tan h-1 x = y
tan hy = x
(iv) ప్రతి x ∈ R - {0} కు f : R -{0} R -[-1, 1] నిర్వచించిన ప్రమేయం f(x) = cot hx ద్విగుణం. కాబట్టి
ప్రతి x ∈ R - [-1, 1] కూ cot h-1 : R - [-1, 1] R - {0} నిర్వచించిన ప్రమేయం
cot h-1 x = y cot hy = x
v) ప్రతి x ∈ [0 , ∞) కు f : [0, ∞ ) (0, 1] నిర్వచించిన ప్రమేయం f(x) = sechx ద్విగుణం. కాబట్టి
ప్రతి x ∈ (0,1] కు sec-h : (0 , 1] [0 ,∞ ) గా నిర్వచించిన ప్రమేయంf(x) = sech-1 x = y sec hy = x
(vi) ప్రతి x ∈ R - {0} కు f : R - {0} R - {0} గా నిర్వచించిన ప్రమేయం f(x) = cosec hx ద్విగుణం. కాబట్టి
ప్రతి x ∈ R - {0} కు cosec h-1: R - {0} R - {0} గా నిర్వచించిన ప్రమేయం.
cosec h-1 x = y cosec hy = x
7. విలోమ అతిపరావలయ ప్రమేయాల ప్రదేశం, వ్యాప్తి
పట్టిక - II
8. విలోమ అతిపరావలయ ప్రమేయాలను సంవర్గమాన ప్రమేయాలలో ఉత్పాదించడం