1. A = (a, 0), B (-a, 0), 0 < | a | < | c |. PA² + PB²  = 2C²  అయ్యేలా బిందువు  P పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన: A = (a, 0), B (-a, 0) ఇచ్చిన స్థిర బిందువులు

          బిందుపథం మీద P (x, y) ఒక బిందువు అనుకుందాం.

          ఇచ్చిన జ్యామితీయ నియమం  PA² + PB² = 2C²

  (x - a)² + y² + (x + a)² + y² = 2C²

  x² - 2ax + a² + y² + x² + 2ax + a² + y² = 2C²

 

2x² + 2y² + 2a² = 2C²

  x² + y² = C² - a²       0 < | a | < | c |

  కావల్సిన బిందుపథ సమీకరణం.

2. A = (2, 3), B (-1, 5)  బిందువులను కలిపే రేఖా ఖండం, P వద్ద లంబకోణం చేస్తే, P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన: A = (2, 3), B (-1, 5) ఇచ్చిన స్థిర బిందువులు 

         బిందుపథం మీద P (x, y) ఒక బిందువు అనుకుందాం.

        ఇచ్చిన జ్యామితీయ నియమం   PA² + PB² = AB²

   (x - 2)² + (y - 3)² + (x + 1)² + (y - 5)² = 3² + 22 = 13

   x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9 + x² + 2x + 1 + y² - 10y + 25 = 13

   2x² + 2y² - 2x - 16y + 26 = 0

   x² + y² - x - 8y + 13 = 0 

       కావల్సిన బిందుపథ సమీకరణం.

       ఇక్కడ (x, y) ≠ (2, 3) ; (x, y) ≠ (-1, 5)

3. A = (4, 0), B = (-4, 0), | PA - PB | = 4 అయితే P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన: A = (4, 0), B = (-4, 0), ఇచ్చిన స్థిర బిందువులు.

బిందుపథం మీద P (x,  y) ఒక బిందువు అనుకుందాం.

ఇచ్చిన జ్యామితీయ నియమం | PA - PB | =  4

PA - PB = ± 4   PA - PB = 4  లేదా  PA - PB = -4 

     PA - PB = -4 తీసుకుందాం.

 PA + 4 = PB రెండువైపులా వర్గం చేస్తే

 PB² = PA² + 8PA + 16

 (x + 4)² + y² = (x - 4)² + y² + 8PA + 16

 (x + 4)² + y² - (x - 4)² - y² = 8PA + 16

 x² + 8x + 16 + y² - x² + 8x - 16 - y² = 8PA + 16

 16x = 8PA + 16

16x - 16 = 8PA   2x - 2 = PA రెండువైపులా వర్గం చేస్తే

 4x² - 8x + 4 = PA² = x² - 8x + 16 + y²

 3x² - y² = 12  x²/4 - y²/12 = 1

ఇది కావల్సిన బిందుపథ సమీకరణం

ఇది అతిపరావలయ సమీకరణం. ఇదే విధంగా PA - PB = -4 తీసుకుని పై సమీకరణాన్ని రాబట్టవచ్చు.

4. (2, 3), (2, -3)  బిందువుల నుంచి P దూరం 2 : 3 నిష్పత్తిలో ఉంటే, P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన: A (2, 3), B (2, -3), లు ఇచ్చిన స్థిర బిందువులు. బిందుపథం మీద P (x, y) ఒక బిందువు అనుకొందాం. ఇచ్చిన జ్యామితీయ నియమం

         PA : PB = 2 : 3  3 PA = 2PB ను ఇరువైపులా వర్గం చేస్తే

 9PA² = 4PB² 9 [(x - 2)² + (y - 3)²] = 4[(x - 2)² + (y + 3)²]

 9[x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9 ] = 4[x² - 4x + 4 + y² + 6y + 9]

 9x² + 9y² - 36x - 54y + 117 = 4x² + 4y² -16x + 24y + 52

5x² + 5 y² - 20 x - 78 y + 65 = 0 ఇది కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం

5. A (5, 3), B (3, -2) లు రెండు స్థిర బిందువులు, త్రిభుజం PAB వైశాల్యం 9 గా ఉండేటట్లు P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. 

సాధన: A (5, 3) , B (3, -2) లు ఇచ్చిన రెండు త్రిభుజ శీర్షాలు.

         బిందుపథం మీద P (x, y)  ఒక బిందువు అనుకుంటే ఇది త్రిభుజం PAB కి మూడో శీర్షం అవుతుంది.

         ఇచ్చిన జ్యామితీయ నియమం ప్రకారం PAB  త్రిభుజ వైశాల్యం = 9

    

     కాబట్టి (5x - 2y - 1) (5x - 2y - 37) = 0

     కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం.

6. A(3, 4), B(-4, 3) బిందువులతో సరేఖీయంగా ఉన్న బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన: A (3, 4) , B (-4, 3) లు ఇచ్చిన రెండు స్థిర బిందువులు.

         బిందుపథం మీద  P (x, y) ఒక బిందువు.

         ఇచ్చిన  జ్యామితీయ నియమం. A, B, P బిందువులు సరేఖియాలు.

         కాబట్టి త్రిభుజం  PAB వైశాల్యం శూన్యం.

                       

     కావలసిన బిందుపథం సమీకరణం

     ఇది సరళరేఖా సమీకరణం.