1.  2x² + 4xy + 5y² - 4x - 22y + 7 = 0 సమీకరణం నుంచి మొదటి తరగతి పదాలను లోపింపజేయడానికి, ఆది బిందువుని ఏ బిందువు వద్దకు పరివర్తనం చెందించాలో అక్షపరివర్తనం ద్వారా కనుక్కోండి.

సాధన:  ఇచ్చిన సమీకరణం 2x² + 4xy + 5y² - 4x - 22y + 7 = 0  మొదటి తరగతి పదాలు లోపింపజేయడానికి, అక్ష పరివర్తనం ద్వారా ఆది బిందువుని, O'(h, k) వద్దకు మార్చితే,

            x  =  X + h

            y  =  Y + k

           వీటిని ఇచ్చిన సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా

           2(X + h)² + 4(X + h) (Y + k) + 5(Y + k)² - 4(X + h) - 22(Y + k) + 7 = 0

           2(X² + 2hX + h²) + 4(XY + kX + hY + hk) + 5(Y² + 2kY + k²) - 4X - 4h - 22Y - 22k + 7 = 0

 మొదటి తరగతి పదాలు లోపించాలంటే, 

          X  గుణకం = 0  

 4h + 4k - 4 = 0

          h + k = 1   -----> (1)

  మరియు Y గుణకం = 0  4h + 10k - 22 = 0

     2h + 5k = 11   ----->(2)

(1) & (2) లను సాధించగా 

2h + 5(1 - h) = 11

2h + 5 - 5h = 11

           -3h = 6

             h = -2

.^..  k =  1 - h {1 నుండి}

       =  1 - (-2)

       =  1 + 2 = 3

.^..  (h, k) = (-2, 3)

2. అక్షాలను, అపసవ్య దిశలో 45º కోణం ద్వారా భ్రమణం చేస్తే, (2,  3) యొక్క పాత నిరూపకాలను కనుక్కోండి.

సాధన: భ్రమణ కోణం θ = 45º

          కొత్త నిరూపకాలు (X, Y) = (2

, 3)   

          పాత నిరూపకాలు (x, y)  అనుకుంటే, 

           x =  X cos θ - Y sin θ = 2  cos   - 3 sin 

                                                    

                                           =  2 - 3   =  -1

  మరియు y = X sin θ + Y cos θ    

                  = 2 sin  + 3 cos 

                      

                  =  2 + 3   =  5.

 .^..   పాత నిరూపకాలు  (x, y)  =  (-1, 5).
 

3.  60º అక్షభ్రమణం ద్వారా x² - 2xy - y² = 2a² యొక్క నూతన రూపం కనుక్కోండి.

సాధన:  ఇచ్చిన సమీకరణం : x² - 2xy - y² = 2a² 

            భ్రమణ కోణం = θ - 60º

             ఇప్పుడు  x =  X cos θ - Y sin θ

                             =  X cos 60º - Y sin 60º

                           

మరియు,  y =  X sin θ + Y cos θ

                 =  X sin 60º + Y cos 60º   

               

ఇచ్చిన సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా, 

     

 (X - Y)² - 2 (X - Y) (X + Y) - (X + Y)² = 4 × 2a²

 (X² - 2XY + 3Y²) - 2 ( X² + XY - 3XY -

Y²)- (3X² + 2XY + Y²) = 8a²

 X² - 2XY + 3Y² - 6X² + 4XY + 6Y² - 3X² - 2XY - Y² = 8a²

 -8X² + 8Y² = 8a²

  .^..  Y² - X² = a