రెండు బిందువుల మధ్య ఉండే కనిష్ఠ దూరాన్ని సూచించే రేఖాచిత్రం 'సరళరేఖ'. కాంతి ప్రయాణ మార్గం 'సరళరేఖ' అని భౌతికశాస్త్రంలో నేర్చుకున్నారు. సరళరేఖ 'వాలు' నిర్వచనం, సరళరేఖా సమీకరణాన్ని విభిన్న రూపాల్లో కనుక్కోవడం, సరళరేఖలతో ఏర్పడే రేఖాచిత్రాల, ధర్మాల అధ్యయనం, కొన్ని ముఖ్య ఫలితాల నిర్వహణ ఈ పాఠ్యాంశంలో నేర్చుకుంటారు.

సరళరేఖ వాలు: X - అక్షం ధనదిశతో అపసవ్యదిశలో 'θ' కోణం చేసే సరళరేఖ వాలును 'tanθ' గా నిర్వచిస్తారు. దీన్ని 'm' తో సూచిస్తారు. పక్కపటంలోని సరళరేఖ వాలు m = tanθ
ఫలితం: (x₁, y₁), (x₂, y₂) ల ద్వారా వెళ్లే రేఖ వాలు

గమనిక:  (i) θ = 0° అయితే రేఖ వాలు m = tan 0° = 0
              (ii) θ = 45° అయితే రేఖ వాలు m = Tan 45° = 1
              (iii) θ = 60° అయితే రేఖ వాలు m = tan 60° =
              (iv) θ = 90° అయితే రేఖ వాలు(m = tan 90°) నిర్వచించలేం.  
              (v) సమాంతర రేఖల వాలులు సమానం. 
              (vi) రెండు ఊర్ధ్వేతర లంబ రేఖల వాలుల లబ్ధం '-1'  

క్షితిజరేఖ: X - అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే రేఖను క్షితిజ రేఖ అంటారు. క్షితిజ రేఖ X - అక్షంతో చేసే కోణాన్ని '0°' గా పరిగణిస్తాం.
               క్షితిజ రేఖ వాలు m = tan 0° = 0.
ఊర్ధ్వరేఖ: Y - అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే రేఖను ఊర్ధ్వరేఖ అంటారు. ఊర్ధ్వరేఖ X - అక్షంతో చేసే కోణం 90°
               ఊర్ధ్వరేఖ వాలు (m = tan 90°) ను నిర్వచించలేం.

అంతరఖండాలు: ఏదైనా రేఖ X - అక్షాన్ని (a, 0) వద్ద,  Y - అక్షాన్ని (0, b) వద్ద ఖండిస్తే a, b లను వరుసగా ఆ రేఖకు X - అంతరఖండం, Y - అంతరఖండం అంటారు.
ఉదా: (i) పక్కపటంలో రేఖకు
         X - అంతరఖండం = 3
         Y - అంతరఖండం = 2
        (ii) పక్కపటంలో  
         X - అంతరఖండం = -3  
         Y - అంతరఖండం = 2
గమనిక: 1. క్షితిజరేఖ X - అక్షాన్ని ఖండించదు కాబట్టి X - అంతరఖండాన్ని నిర్వచించలేం. కానీ Y - అంతరఖండం ఉంటుంది.
2. ఊర్ధ్వరేఖ Y - అక్షాన్ని ఖండించదు. కాబట్టి Y - అంతరఖండాన్ని నిర్వచించలేం. కానీ X - అంతరఖండం ఉంటుంది. 
3. మూల బిందువు ద్వారా వెళ్లే రేఖకు X - అంతరఖండం, Y - అంతర ఖండం రెండూ సున్నాకు సమానం

సరళరేఖ సమీకరణం అంటే...?
          సరళరేఖపై ప్రతి బిందువు P(x, y)కి అనుగుణంగా x, y మధ్య ఉన్న ఉమ్మడి సూక్ష్మ బీజీయ సంబంధాన్ని ఆ సరళరేఖ సమీకరణంగా పరిగణిస్తాం. ఆ రేఖపై లేని ఏ బిందువూ ఈ బీజీయ సంబంధాన్ని కలిగి ఉండదు.
సరళరేఖ సమీకరణం - విభిన్న రూపాలు:

1. బిందువు - వాలు రూపం: A(x₁, y₁) ద్వారా వెళ్తూ వాలు 'm' గా ఉన్న రేఖ సమీకరణం y - y₁ = m(x - x₁)
ఉదా: A (2, 3) ద్వారా వెళ్తూ వాలు  1/4ఉన్న రేఖ సమీకరణం
          y - 3 = 1/4 (x - 2)
         4y - 12 = x - 2    
         x - 4y = -10             x - 4y + 10 = 0

2. వాలు - అంతరఖండం రూపం: వాలు 'm', Y - అంతరఖండం 'c' గా ఉన్న రేఖ సమీకరణం y = mx + c
ఉదా: వాలు '3' కలిగిన రేఖ y - అంతరఖండం '4' అయితే ఆ రేఖ
సమీకరణం y = mx + c
             y = 3x + 4
3. అంతరఖండ రూపం: X - అంతరఖండం 'a', Y - అంతరఖండం 'b' గా ఉన్న రేఖ సమీకరణం 

ఉదా: x - అంతరఖండం 2, y - అంతరఖండం 3 ఉన్న రేఖ సమీకరణం

  3x + 2y = 6
  3x + 2y - 6 = 0

 4. రెండు బిందువుల రూపం: A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) ల ద్వారా వెళ్లే సరళరేఖ సమీకరణం (y₁ - y₂) (x - x₁) = (x₁ - x₂) (y - y₁)
ఉదా: A (2, 3), B (1, 4) ల ద్వారా వెళ్లే రేఖ సమీకరణం
          (3 - 4) (x - 2) = (2 - 1) (y - 3)
          -1(x - 2) = 1(y - 3)
         -x + 2 = y - 3
          x + y = 5

గమనిక: A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) లు సరేఖీయాలైతే C(x₃, y₃) ని AB సమీకరణం
             (y₁ - y₂) (x - x₁) = (x₁ - x₂) (y - y₁) లో ప్రతిక్షేపిస్తే, 
             (y₁ - y₂) (x₃ - x₁) = (x₁ - x₂) (y₃ - y₁)
సూక్ష్మీకరిస్తే x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x3(y₁ - y₂) = 0
దీన్నే సులువుగా కింది నిర్ధారక రూపంలో గుర్తుంచుకోవచ్చు.

 5. అభిలంబ రూపం: ఆది బిందువు నుంచి సరళరేఖకు ఉన్న లంబ దూరం p. ఆ లంబం x - అక్షంతో ధన దిశలో చేసే కోణం అపసవ్యదిశలో 'α' అయితే ఆ రేఖ సమీకరణం x cos α + y sin α = p
ఉదా: ఆది బిందువు నుంచి రేఖకు ఉన్న లంబ దూరం '5',
ఆ లంబం x - అక్షంతో చేసే కోణం 30º అయితే ఆ రేఖ సమీకరణం
  x cos α + y sin α = p        
  x cos 30° + y sin 30° = 5

   
       

 గమనిక: సరళరేఖ సమీకరణ అన్ని రూపాలను సూక్ష్మీకరిస్తే ఏర్పడే సాధారణ రూపం ax + by + c = 0
సాధారణ రూపం నుంచి అంతరఖండ రూపంలోకి మార్చడం:
సరళరేఖ సాధారణ సమీకరణం:  ax + by + c = 0
                                               ax + by = - c

      అంటే x - అంతరఖండం =
              y - అంతరఖండం =  
ఉదా: 5x + 3y - 15 = 0 ని అంతరఖండ రూపంలోకి మార్చండి. 
         5x + 3y - 15 = 0    5x + 3y = 15 
                                         (రెండువైపులా 15 తో భాగిస్తే )
సాధారణ రూపం నుంచి అభిలంబ రూపంలోకి మార్చడం: 
      ax + by + c = 0  
      ax + by = - c

   

గమనిక: 1) c < 0 ఐతే (A) అభిలంబ రూపాన్ని సూచిస్తుంది.
                  c ≥ 0 ఐతే (B) అభిలంబ రూపాన్ని సూచిస్తుంది.
 

అంటే c < 0 అయితే ఆదిబిందువు నుంచి ax + by + c = 0 కి లంబ దూరం [(A) నుంచి]
        c > 0 అయితే ఆదిబిందువు నుంచి ax + by + c = 0 కి లంబ దూరం  [(B) నుంచి]
కానీ c < 0 అయినప్పుడు
        c > 0 అయినప్పుడు  

 

కాబట్టి పై రెండు సందర్భాల్లోనూ, ఆదిబిందువు నుంచి రేఖకు ఉన్న లంబదూరాన్ని  గా రాయవచ్చు.

ఉదా: 1. 3x + 4y - 5 = 0 ని అభిలంబరూపంలో రాయండి.
సాధన: 3x + 4y - 5 = 0
           3x + 4y = 5 
        రెండువైపులా తో భాగిస్తే    

 

 రెండు రేఖల మధ్య కోణం :
a1 x + b1 y + c1 = 0, a2 x  +  b2 y  +  c2  =  0,  రేఖల మధ్య లఘుకోణం 'θ'  అయితే

గమనిక :
 1.  ఇచ్చిన రేఖలు లంబంగా ఉంటే, θ  =  90°, కాబట్టి నియమం, a1 a2  +  b1 b2  =  0.
 2.  ఇచ్చిన రేఖలు సమాంతరంగా ఉంటే, θ = 0°, కాబట్టి నియమం, a1 b2 = a2 b1,
 3.  పై నియమాలను అనుసరించి, ax  +   by  + c = 0 సమీకరణానికి లంబరేఖను bx  -  ay  =  k రూపంలోనూ,  ax  +  by  +  c =  0 సమీకరణానికి, సమాంతర రేఖను ax  +  by  =  k రూపంలోనూ తీసుకోవచ్చు.
ఫలితం :
       m1, m2 లు వాలులుగా ఉన్న రెండు రేఖల మధ్య లఘుకోణం 'θ' అయితే

గమనిక : 1. ఇచ్చిన రేఖలు లంబరేఖలైతే θ = 90°,

ఇచ్చిన రేఖాసమీకరణం 3x - 4y + 15 = 0
  లంబదూరం =
ఇక్కడ a  =  3,  b  =  - 4,  c  =  15

రెండు సమాంతర రేఖల మధ్యదూరం : 
     రెండు సమాంతర రేఖలు,
ax  +  by  +  c₁  =  0
ax  +  by  +  c₂  =  0  ల మధ్యదూరం
గా నిరూపించవచ్చు.
ఉదా 2 : 3x  +  4y  +  8  =  0
              3x +  4y  -  7  =  0 సమాంతర రేఖల మధ్య దూరం కనుక్కోండి.
సాధన : రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరం  

 
2. 2x  +  3y  -  7  =  0 రేఖ నుంచి  P(1,  2)  యొక్క ప్రతిబింబం కనుక్కోండి.
122222222

 త్రిభుజానికి సంబంధించిన అనుషక్తరేఖలు 
 కింది నియమాలను, సరళరేఖా సమీకరణాల ద్వారా నిరూపించగలం.
1. త్రిభుజంలోని మధ్యగత రేఖలు అనుషక్తం. ఈ అనుషక్త బిందువునే 'గురుత్వకేంద్రం' అంటారు.
2. త్రిభుజంలో శీర్షాల ద్వారా ఎదుటి భుజాలకు ఉన్న లంబరేఖలు అనుషక్తం. ఈ అనుషక్త బిందువునే 'లంబకేంద్రం' అంటారు.
3. త్రిభుజంలోని శీర్షకోణాల అంతర సమద్విఖండనరేఖలు అనుషక్తం. ఈ అనుషక్త బిందువునే 'అంతర వృత్తకేంద్రం' అంటారు.
4. త్రిభుజంలోని భుజాలకు, లంబ సమద్విఖండనరేఖలు కూడా అనుషక్తం. ఈ బిందువునే 'పరివృత్త కేంద్రం' అంటారు.
 ప్రత్యేక సూత్రాలు
1. A(x₁,  y₁), B(x₂,  y₂) ల ద్వారా వెళ్లే రేఖా సమీకరణం

        (x₁ - x₂) y  -  (y₁ - y₂) x  =  x₁ y₂  -  x₂ y₁
ఉదా : (2,  3), (1,  7)ల ద్వారా వెళ్లే రేఖాసమీకరణం కనుక్కోండి.
 సాధన :  ఇచ్చిన బిందువులను  (x₁, y₁),  (x₂, y₂) అనుకుంటే, ఈ బిందువుల ద్వారా వెళ్లే రేఖాసమీకరణం
(x₁ - x₂) y  -  (y₁ - y₂) x  =  x₁ y₂  -  x₂ y₁    
  (2,  3), (1,  7) ల ద్వారా వెళ్లే రేఖాసమీకరణం
(2  –  1) y  -  (3  -  7) x     =   2 × 7  -  1 × 3
                        y  +  (4) x   =  11
                4x  +  y  -  11  =  0  
                                                   

2. ax  +  by  +  c  = 0 రేఖ, నిరూపకాక్షాలతో ఏర్పరిచే త్రిభుజ వైశాల్యం చ.యూ
ఉదా: 2x  +  3y  -  4  =  0 రేఖ, నిరూపకాక్షాలతో ఏర్పరిచే త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత ?  
సాధన: ఇక్కడ a  =  2; b  =  3; c  =  - 4,
   

3. A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) లను కలిపే రేఖా ఖండాన్ని
(i) x - అక్షం విభజించే నిష్పత్తి - y₁  :  y₂
(ii) y - అక్షం విభజించే నిష్పత్తి - x₁ :  x₂
ఉదా : A(3, - 4), B(- 5, 2)లను కలిపే రేఖా ఖండాన్ని;
(i) x - అక్షం విభజించే నిష్పత్తి  =  -y₁  :  y₂
                                              =  - ( - 4)  :  2
                                              =  4  :  2
                                              =  2  :  1
                                               =  - 3  :  - 5
                                               =  3  :  5

4. ఇచ్చిన 3 రేఖలనూ స్పర్శిస్తూ ఉండే వృత్తాల సంఖ్య,
(i) ఆ రేఖలు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరిస్తే ................... 4

(ii) రెండు సమాంతర రేఖలుగా ఉంటే, .................... 2 
     

(ii) y - అక్షం విభజించే నిష్పత్తి  =  - x₁  :  x₂