1. 2x + 3y - 7 = 0 రేఖ దృష్ట్యా A(2, -5), B(-3, 4) ల స్థానం నిర్ధారించండి
సాధన: ఇక్కడ L ≡ 2x + 3y - 7
(x1, y1) = (2, -5) ⇒ L11 = 2(2) + 3(-5) - 7
= 4 - 15 - 7
= -18
L11 < 0
(x2, y2) = (-3, 4) ⇒ L22 = 2(-3) + 3(4) - 7
= - 6 + 12 - 7
= - 1
L22 < 0
ఒకే గుర్తు ⇒ ఒకేవైపు
అంటే పై రెండు బిందువులు ఇచ్చిన రేఖకు ఒకేవైపు ఉంటాయి.
2. x + 5y - 4 = 0 రేఖ దృష్ట్యా A(1, 2), B(3, 1) ల స్థానాన్ని నిర్ధారించండి.
సాధన : ఇక్కడ L ≡ x + 5y - 4
A(x1, y1) = (1, 2)
B(x2, y2) = (3, -1)
... L11 = 1 + (5 × 2) - 4
= 1 + 10 - 4
= 7
L11 > 0
L22 = 3 + 5(-1) - 4
= 3 - 5 - 4
= - 6
L22 < 0
చెరొక గుర్తు ⇒ చెరొకవైపు
అంటే పై రెండు బిందువులు ఇచ్చిన రేఖకు చెరొక వైపు ఉంటాయి.
3. 3x + 4y - 7 = 0, 2x - 3y + 1 = 0, 3x + 2y + k = 0 లు అనుషక్త రేఖలైతే k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన: మొదటి పద్ధతి:
మొదటి రెండు సరళరేఖా సమీకరణాలను సాధించగా వాటి ఖండన బిందువు = (1, 1)
మూడోరేఖ పై బిందువు ద్వారా పోతుంది కాబట్టి
3 + 2 + k = 0
రెండో పద్ధతి : Σ a1(b2c3 - b3c2) = 0
⇒ a1(b2c3 - b3c2) + a2(b3c1 - b1c3) + a3(b1c2 - b2c1) = 0
ఇందులో a1 = 3, b1 = 4, c1 = -7
a2 = 2, b2 = -3, c2 = 1
a3 = 3, b3 = 2, c3 = k లను ప్రతిక్షేపిస్తే
k = - 5
స్పర్శరేఖలు , అభిలంబరేఖలు
1. y = x3 - 3x2 - x + 5 అనే వక్రానికి (1, 2) వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖ సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
జ. ఇచ్చిన వక్రం: y = x3 - 3x2 - x + 5
'x' దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
వాలు 
= 3x2 - 6x - 1
ఇచ్చిన బిందువు : P(1, 2)
P (1, 2) వద్ద వాలు : 
P = 3(1)2 - 6(1) -1 = - 4 
⇒ y - 2 = - 4 (x - 1)
⇒ y - 2 = - 4 x + 4
⇒ 4x + y - 6 = 0
⇒ y - 2 = 
(x - 1)
⇒ 4y - 8 = x - 1
⇒ x - 4y + 7 = 0
2. 6 x2 - 5x + 2y = 0 మరియు 4 x2 + 8y2 = 3 అ
నే వక్రాలు 
వద్ద స్పృశించుకుంటాయని చూపండి.
జ. ఇచ్చిన వక్రాలు: 6x2 - 5x + 2y = 0 ----- (1)
4x2 + 8y2 = 3 --- (2)
ఇచ్చిన బిందువు : P 
(1) నుండి, వాలు: 12x - 5 + 2 
= 0
... m1 = m2
ఇచ్చిన వక్రాలు 
వద్ద స్పృశించుకొంటాయి.
3. xy = 2 మరియు x2 + 4y = 0 అనే వక్రాల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి .
జ: ఇచ్చిన వక్రాలు xy = 2 --------> (1)
x2 + 4y = 0 ---------> (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి
⇒ x2 + 4 (
) = 0
⇒ x3 + 8 = 0
⇒ x3 = -8
... x = -2
(1) నుండి : y = 
⇒ y = -1
... ఖండన బిందువు : P (-2, -1)
వద్ద (1) నుండి వాలు: (x)' y + (y)' x = 0
వక్రాల మధ్యకోణము '
' అని అనుకొందాము
4. 
మరియు 
అనే వక్రాలు (2, 1) వద్ద స్పృశించుకుంటే వాటి మధ్యకోణము 
అని చూపండి.
జ: ఇచ్చిన బిందువు: P (2, 1) ఇచ్చిన మొదటి వక్రము : వాలు :
వక్రాల మధ్య కోణాన్ని '
' అని అనుకొందాము. అప్పుడు,
⇒ tan
= 1...
= 
5. y2 = 4 (x + 1) మరియు y2 = 36 (9 - x) అనే వక్రాలు లంబంగా ఖండించుకుంటాయని చూపండి.
జ : ఇచ్చిన వక్రాలు: y2 = 4 (x + 1) .... (1)
y2 = 36 (9 - x) .... (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి
⇒ 4(x + 1) = 36 (9 - x)
⇒ x + 1 = 81 - 9x
⇒ 10x = 80
... x = 8
(1) నుండి: y2 = 4 (8 + 1)
⇒ y = 6
ఖండన బిందువు: (8, 6) వద్ద వాలు
స్పష్టంగా m1 m2 = -1
... ఇచ్చిన వక్రాలు లంబంగా ఖండించుకుంటాయి.
6. x = y2 మరియు xy = k అనే వక్రాలు ఒకదానినొకటి లంబచ్ఛేదనం చేసుకొంటే 8k2 = 1 అని నిరూపించండి.
జ: ఇచ్చిన వక్రాలు: x = y2 .... (1)
xy = k ..... (2) (1) మరియు (2)ల నుండి
y3 = k
... ఇచ్చిన వక్రాలు లంబచ్ఛేదనం చేసుకొంటున్నాయి.
ఇరువైపుల ఘనము చేయగా
... 8k2 = 1
