రెండు రేఖలను సంయుక్తంగా సరళరేఖాయుగ్మం అంటారు.

రేఖాయుగ్మ సంయుక్త సమీకరణం: రెండు రేఖల సమీకరణాలు విడివిడిగా L₁ = 0, L₂=0 అయితే వాటి సంయుక్త సమీకరణం L₁L₂ = 0 అవుతుంది.

కారణం: (i) L₁=0 రేఖపై బిందువులన్నీ L₁L₂ = 0 ని తృప్తిపరుస్తాయి. 

             (ii) L₂ = 0 రేఖపై బిందువులన్నీ L₁L₂ = 0 ని తృప్తిపరుస్తాయి.

             (iii) L₁ = 0, L₂ = 0 లపై లేని ఏ బిందువూ L₁L₂ = 0 ని తృప్తిపరచలేవు.

ఉదా: 1. 2x + 3y + 5 = 0 మరియు 3x -4y + 7 = 0 రేఖల సంయుక్త సమీకరణం

(2x + 3y + 5) (3x- 4y + 7) = 0 అవుతుంది.

2. 4x + y = 0, 2x + 5y = 0 రేఖల సంయుక్త సమీకరణం(4x + y) (2x + 5y) = 0 అవుతుంది.

ఫలితం: ఆదిబిందువు ద్వారా పోయే రెండు రేఖలు

            L₁ = l₁x + m₁y = 0

            L₂ = l₂x + m₂y = 0 అయితే, వాటి

సంయుక్త సమీకరణం L₁ L₂ = 0

అంటే, ( l₁x + m₁y) ( l₂x + m₂y) = 0

l₁ l₂ x₂ + (l₁ m₂ + l₂ m₁) xy + m₁ m₂ y₂ = 0

ఇది  ax₂ + 2hxy + by₂ = 0 రూపంలో ఉంది.

(ఇక్కడ l₁ l₂ = a, l₁ m₂ + l₂ m₁ = 2h , m₁ m₂ = b.)

ax² + 2hxy + by² = 0 ని రెండు ఏకఘాత కారణాంకాల లబ్దంగా రాస్తే

అంటే,  ax2 + 2hxy + by2 = 0 రెండు రేఖల్ని సూచిస్తే, ఆ రెండు రేఖల విడివిడి సమీకరణాలు 

           అవుతాయి.

గమనిక: (i) h² = ab అయితే, ఆ రెండు రేఖలూ ఏకీభవిస్తాయి.

(ii)  h² >  ab అయితే, ఆ రెండు రేఖలూ ఆదిబిందువు వద్ద ఖండించుకుంటాయి.

(iii) h²<  ab అయితే, అవి వాస్తవ రేఖల్ని సూచించవు.

అంటే h²≥ ab అవుతూ, a, h, b లు అన్నీ ఒకేసారి శూన్యంకాని సందర్భంలో ax² + 2hxy + by² = 0 సమీకరణం రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది. 

ముఖ్య ఫలితం: ax² + 2hxy + by² = 0, సూచించే రెండు ఊర్ధ్వేతర రేఖల వాలులు m₁, m₂ లైతే 

ఉదా:  2x² + 10xy - 7y² = 0, రేఖా యుగ్మంలోని రేఖల వాలులు m₁, m₂ లైతే,

 రేఖాయుగ్మం మధ్యకోణం: ax² + 2hxy + by² = 0 సమీకరణం ఒక సరళరేఖా యుగ్మాన్ని సూచిస్తే వాటి మధ్య లఘుకోణం θ అయితే

   

గమనిక: 1.  θ = 90º అయితే, a + b = 0

             2.  θ = 0º అయితే, h² = ab.

కోణాల సమద్విఖండన రేఖలు:

ఫలితం: రెండు రేఖలు a₁x + b₁y + c₁ = 0 

                                a²x + b²y + c² = 0

రేఖలకు, కోణ సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణం

ఉదా: 3x + 4y + 1 = 0 మరియు 5x + 12y + 3 = 0 రేఖల కోణసమద్విఖండ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి . 

ముఖ్య ఫలితం: ax² + 2hxy + by² = 0 రేఖల యుగ్మానికి, కోణసమద్విఖండ రేఖల సంయుక్త సమీకరణం

h(x²  - y²) - (a - b)xy = 0 అని నిరూపించవచ్చు.

సరళరేఖాయుగ్మం సాధారణ సమీకరణం:

రెండు దత్తరేఖల సమీకరణాలు   L₁ = l₁x + m₁y + n₁ = 0

                                               L₂ = l₂x + mxy + n₂ = 0

అయితే, ఈ రేఖాయుగ్మ సంయుక్త సమీకరణం, L₁ L₂ = 0

అంటే,   ( l₁x + m₁y + n₁) ( l₂x + m₂y + n₂) = 0

(l₁ l₂)x2 + (l₁m₂ + l₂m₁) xy + m₁m₂y₂ + (l₁n₂+l₂n₁)x + (m₁n₂ + m₂n₁)y + n₁n₂ =0

అంటే దీని సాధారణ రూపం,

ఇదిx, y లలో రెండో తరగతి సాధారణ సమీకరణం. ఇక్కడ    a = l₁l₂, 2h = (l₁m₂ + l₂m₁),

           b = m₁m₂

          2g = l₁n₂ + l₂n₁

          2f = m₁n₂ + m₂n₁

          c = n₁n₂

(1) S = ax² + 2hxy + 6y² + 2gx + 2fy + c = 0 అనే రెండో తరగతి సమీకరణం ఒక రేఖా యుగ్మాన్ని సూచిస్తే

(i) ∆ = abc + 2fgh -af² -bg² -ch² = 0

(ii) f2 ≥ bc, g²≥ ca, h²≥ ab అని చూపవచ్చు.

(2) S = ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0  సమీకరణం రెండు సమాంతర రేఖలను సూచిస్తే

(i) h² = ab       (ii) af² = bg²

(3) S = ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0   రేఖాయుగ్మం ఖండన బిందువు

x, y లలో రెండోతరగతి సమీకరణాన్ని సూచించే వక్రాలు:

              కొన్ని నియమాలకు లోబడి,   x, y  లలో రెండోతరగతి సమీకరణం

s = ax² + 2hxy + bg² + 2gx + 2fy + c = 0, రేఖాయుగ్మాన్ని లేదా వృత్తాన్ని లేదా శాంకవాన్ని సూచించవచ్చు. లేదా ఏ వాస్తవ బిందుపథాన్నీ సూచించకపోవచ్చు.

  ఇప్పుడు, S = 0 సూచించే వక్రాన్ని (లేదా రేఖాయుగ్మాన్ని) ఒక దత్త సరళరేఖ ఖండించే బిందువులను మూల బిందువుకి కలిపితే వచ్చే రేఖాయుగ్మ సమీకరణాన్ని కనుక్కునే విధానాన్ని చర్చిద్దాం. 

కావాల్సిన రేఖాయుగ్మం ఆదిబిందువు ద్వారా పోతూ, ఇచ్చిన వక్రం, రేఖల ఉమ్మడి బిందువుల్ని తృప్తిపరుస్తుంది కాబట్టి ఇచ్చిన వక్రం సమీకరణాన్ని, రేఖా సమీకరణంతో సమఘాతపరచడం ద్వారా కావాల్సిన రేఖాయుగ్మ సమీకరణాన్ని పొందవచ్చు.

ఉదా: x²+y² = 1, x + y = 1 ల ఖండన బిందువులను, మూలబిందువుతో కలిపితే వచ్చే సరళరేఖల సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.