2. 2x² + kxy - 6y² + 3x + y + 1 = 0 సమీకరణం రేఖాయుగ్నాన్ని సూచిస్తే k విలువ కనుక్కోండి.

సాధన: ఇచ్చిన సమీకరణం 2x² + kxy - 6y² + 3x + y + 1 = 0

        .^.. a = 2,  2h = k,  b = -6,   2g = 3,  2f = 1,   c = 1

        ఇచ్చిన సమీకరణం, రేఖాయుగ్మాన్ని సూచించే నియమం ∆ = 0

       abc + 2fgh - af² - bg² - ch² = 0

             

     

3. 3x² + 8xy - 3y² = 0 మరియు 3x² + 8xy - 3y² + 2x - 4y - 1 = 0 రేఖాయుగ్మాలు చతురస్రాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.

సాధన: ఇచ్చిన రేఖాయగ్మాలు 

          3x² + 8xy - 3y² = 0 ............... (1)

          మరియు  3x² + 8xy - 3y² + 2x - 4y - 1 = 0 .................. (2)

          x² గుణకం + y² గుణకం = 3 - 3

                                          = 0, కాబట్టి

ప్రతి సమీకరణం, లంబంగా ఉండే రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.

మరియు, మొదటి సమీకరణం సమఘాత సమీకరణం కాబట్టి ఆది బిందువు ద్వారా పోయే లంబరేఖా యుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.

రెండో సమీకరణం ఆది బిందువుద్వారా వెళ్లని, లంబరేఖ యుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.

పై రెండు సమీకరణాల్లోనూ రెండో తరగతి పదాలు ఒకేరకంగా ఉన్నాయి. కాబట్టి ఒక రేఖాయుగ్మంలోని రెండు రేఖలు రెండో రేఖయుగ్మంలోని రెండు రేఖలకు సమాతరంగా ఉంటాయి.

అంటే, ఆ రెండు రేఖాయుగ్మాలతో, శీర్షాల వద్ద కోణం 90º గా ఉండే సమాంతర చతుర్భుజం ఏర్పడుతుంది.

అంటే, ఏర్పడే పటం దీర్ఘచతురస్రం లేదా చతురస్రం అయ్యే అవకాశం ఉంది. కర్ణాలు లంబంగా ఉంటే చతురస్రం అని చెప్పగలం. ఇప్పుడు (2) నుంచి (1) ని తీసివేయడం ద్వారా, ఆదిబిందువు ద్వారా వెళ్లని కర్ణం 'AB' సమీకరణం, 2x - 4y - 1 = 0 గా లభిస్తుంది.

అంటే, ఈ కర్ణం AB వాలు, m₁ = -2 /- 4 =  1/2

రెండో రేఖాయుగ్మం ఖండన బిందువు 'C' అయితే,

                 

        

4.  9x² - 6xy + y² + 18x - 6y + 8 = 0  రేఖా యుగ్మం సూచించే సమాంతర రేఖల మధ్య దూరాన్ని కనుక్కోండి. 

సాధన: ఇచ్చిన సమీకరణం  9x² - 6xy + y² + 18x - 6y + 8 = 0

          ఇక్కడ   a = 9,   2h = - 6,    b = 1,     2g = 18,     2f  = - 6,    c = 8

                     a = 9,     h = -3,      b = 1,       g = 9,         f = -3,       = 8

  h² = ab, కాబట్టి, ఇచ్చిన రేఖాయుగ్మం, సమాంతర రేఖలను సూచిస్తుంది. 

మరియు, వాటి మధ్యదూరం 

   

5. x² + 2xy + y² + 2x + 2y - 5 = 0 వక్రాన్ని 3x - y + 1 = 0 రేఖ ఖండించే బిందువులను ఆది బిందువుతో కలపగా ఏర్పడే రేఖా యుగ్మం మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:  ఇచ్చిన వక్రం సమీకరణం  x² + 2xy + y² + 2x + 2y - 5 = 0 ............. (1)

            ఇచ్చిన రేఖా సమీకరణం 3x - y + 1 = 0 

                         y - 3x = 1 ............. (2)

వక్రం సమీకరణాన్ని, రేఖా సమీకరణంతో సమాఘాత పరచడం ద్వారా, OA, OB రేఖాయుగ్మాన్ని పొందవచ్చు. 

         
             
 

6. 6x - y + 8 = 0 రేఖ 3x² + 4xy - 4y² - 11x + 2y + 6 = 0 రేఖాయుగ్మాన్ని ఖండించే బిందువులను, మూల బిందువుకి కలిపితే వచ్చే రేఖలు నిరూపకాక్షాలతో సమాన కోణాలు చేస్తాయని చూపండి.

సాధన: ఇచ్చిన సమీకరణాలు  3x² + 4xy - 4y² - 11x + 2y + 6 = 0   ............ (1)

       6x - y + 8 = 0

       i.e. y - 6x = 8

           
                   

   కావాల్సిన రేఖాయుగ్మం కోసం, (1)ని (2)తో సమఘాత పరచగా, 

   3x² + 4xy - 4y² + (-11x + 2y) × 1 + 6 × 12 = 0

ఈ రేఖాయుగ్మానికి కోణ సమద్విఖండన రేఖలు, h(x² - y²) - (a - b)xy = 0 ఇక్కడ a = 4

        b = -1

      2h = 0

.^..   0 - (4 + 1)xy = 0

                     xy = 0

                    x = 0    or   y = 0,

         ఇవే, నిరూపకాక్షాలు అంటే, ఇచ్చిన రేఖాయుగ్మం, రేఖల ఖండన బిందువులను, ఆది బిందువుతో కలపగా ఏర్పడే రేఖాయుగ్మం, నిరూపకాక్షాలతో సమాన కోణాలు చేస్తాయి.