ఒక తలంలో రెండు సరళరేఖల మధ్య కోణం ఎలా కనుక్కోవాలో మనకు తెలుసు. అంతరాళంలో రెండు సరళరేఖలు ఖండించుకుంటే వాటి ద్వారా పోయే ఒకే ఒక తలం వ్యవస్థితమ వుతుంది. ఈ సందర్భంలో ఆ రెండు రేఖల మధ్య కోణం ద్విపరిమాణ జ్యామితిలో మాదిరి చెప్ప వచ్చు. ఇప్పుడు ఖండించుకోని రెండు సరళరేఖల మధ్య కోణాన్ని నిర్వచిద్దాం.
రెండు ఖండించుకోని సరళరేఖలకు సమాంతరంగా ఉంటూ అంతరాళంలో ఒకే బిందువు ద్వారా పోయే సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని ఖండించుకోని మధ్యకోణంగా నిర్వచిస్తాం.
ఒక దిశాత్మక రేఖాఖండం (కిరణం) ధన నిరూపకాక్షాలతో చేసే కోణాలు α, β, γ లు అయితే cosα, cosβ, cosγ లను ఆ దిశాత్మాక రేఖాఖండానికి దిక్ కొసైన్లు అంటాం. వీటిని l, m, n లతో సూచిస్తాం.
అంటే
l, m, n లు ఒక సరళరేఖకు దిక్కొసైన్లయితే -l, -m, -n లు కూడా ఆ సరళరేఖకు దిక్కొసైన్లవు తాయి. సాధారణంగా సరళరేఖకు ఒక దిక్కొసైన్ల త్రయం l, m, n ను తీసుకుంటాం. దీన్ని (l, m, n) తో సూచిస్తాం.
x - అక్షం వరుసగా x - అక్షం, y - అక్షం, z - అక్షాలతో చేసే కోణాలు 00, 900, 900.
అప్పుడు (cos0°, cos90°, cos90°) అంటే (1, 0, 0) లు x - అక్షం యొక్క దిక్కొసైన్లవుతాయి. ఇదేవిధంగా,
(0, 1,0) మరియు (0, 0, 1) అనేవి వరుసగా y మరియు z - అక్షాల దిక్కొసైన్లవుతాయి
l = cos α, m = cos β, n = cos γ అయ్యేలా దిశాత్మక రేఖ , x - అక్షం, y - అక్షం, z - అక్షాలతో చేసే కోణాలు వరుసగా α, β, γ అనుకుందాం.
P బిందువు యొక్క నిరూపకాలు (x, y, z) అనుకుందాం.
x - అక్షం పై P యొక్క M అనుకుందాం.
అప్పుడు OM = x
OP = 1 అయ్యేలా ఇచ్చిన రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటూ మూలబిందువు ద్వారా పోయే సరళరేఖపై P ఒక బిందువు అనుకుందాం.
అప్పుడు, P = (l, m, n)
ఇప్పుడు OP = 1
అనేవి దిశాత్మాక రేఖా నిరూపకాక్షాలతో చేసే కోణాలు
ఒక సరళరేఖకు l, m, n లు దిక్కొసైన్లు అయితే a : b : c = l : m : n అయ్యేలా ఉండే a, b, c అనే వాస్తవ సంఖ్యలను ఆ సరళరేఖకు దిక్ నిష్పత్తులు (లేదా) దిక్ సంఖ్యలు అంటాం. a : b : c = l : m : n