ముఖ్యమైన ప్రశ్నలు

అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

1. f(x) = x e^x sin x అయితే  f'(x) ను కనుక్కోండి.

జవాబు: 

                     = x e^x cos x + x e^x sin x + e^x sin x.

2. (sin x)² (sin^-1 x)² అవకలజాన్ని కనుక్కోండి.

జవాబు: y = (sin x)² (sin^-1 x)² అనుకోండి

      

3. sin (tan^-1 (e^-x)) అవకలజాన్ని కనుక్కోండి.

జవాబు: y = sin (tan^-1 (e^-x)) అనుకోండి.

      

4. x = 3 cos t - 2 cos³ t,  y = 3 sin t - 2 sin³ t అయితే  ను కనుక్కోండి.

జవాబు:   = - 3 sin t + 6 cos² t sin t

                   =  3 sin t (-1 + 2 cos² t)

                   =  3 sin t cos 2t.

            =  3 cos t - 6 sin² t cos t

                  =  3 cos t (1 - 2 sin² t)

                  =  3 cos t cos 2t

                   =  cot t.

5. x దృష్ట్యా

 అవకలజాన్ని కనుక్కోండి.

  
 

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

1. ప్రాథమిక నియమం నుంచి x sin x అవకలజాన్ని x దృష్ట్యా కనుక్కోండి.

సాధన:  f(x) = x sin x అనుకోండి

  

2. sin y = x sin (a+ y) అయితే

 అని చూపండి.

సాధన: sin y = x sin (a + y) 

       

సాధన: x^y = e ^x-y

రెండువైపులా సంవర్గమానాలు తీసుకుంటే...   

4.  అవకలజాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:  U = (sinx) logx , V = x sinx  అనుకోండి
               రెండువైపులా సంవర్గమానం తీసుకుంటే 
         log U = log x. log (sinx)
             రెండువైపులా 'x' దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే  

 

 6. ax² + 2hxy + by² = 1 అయితే  అని చూపండి.

సాధన: ax² + 2hxy + by² = 1            
         రెండు వైపులా 'x' దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా  

 దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు (7 మార్కులు )

1. a, b > 0  అవకలజాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:  y =  అనుకోండి

2. అయితే  అని చూపండి.
సాధన: 
              రెండువైపులా 'x' దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా 

3. అయితే  అని చూపండి.
సాధన:
             x =  tan θ అనుకోండి

4. అవకలజాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:  U = (sinx) ^logx , V = x ^sinx  అనుకోండి
               రెండువైపులా సంవర్గమానం తీసుకుంటే 
         log U = log x. log (sinx)
             రెండువైపులా 'x' దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే  

   రెండువైపులా సంవర్గమానం తీసుకుంటే 
        log V = sin x. log x
  రెండువైపులా 'x' దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే  

ఇప్పుడు      y = U + V

 5. x^y + y^x =  ab అయితే అని చూపండి.
సాధన: U = x^y , V = y^x అనుకోండి
           రెండువైపులా సంవర్గమానం తీసుకుంటే
          log U = y logx
            రెండువైపులా 'x' దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే 
         
రెండువైపులా సంవర్గమానం తీసుకుంటే
              log V = x logy

రెండువైపులా 'x' దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే