‣ సినిమాల్లో కథానాయకుడు ఎత్తయిన భవనం పైనుంచి కింద వెళ్తున్న లారీలోకి దూకుతాడు. ఈ సందర్భంలో అతడు సరిగ్గా లారీలోనే పడతాడు. పక్కనున్న ప్రతినాయకులు మాత్రం లారీకి ముందో వెనకో పడిపోతారు. 
‣ ఒక వ్యక్తి భవనం ఎత్తును గడియారం ఉపయోగించి కొలుస్తానని స్నేహితులతో పందెం వేస్తాడు. ఇంతకూ ఆ వ్యక్తి పందెం నెగ్గగలడా లేదా? 
‣ ఇలాంటి విషయాల వెనక ఇమిడి ఉన్న భౌతికశాస్త్ర సూత్రాలు ఏమిటి? వాటిని ఏ విభాగం వివరిస్తుందో ఈ పాఠ్యాంశంలో నేర్చుకుందాం. 
‣ పై విషయాలను వివరించే భౌతికశాస్త్ర విభాగమే శుద్ధగతిశాస్త్రం. ఇందులో వస్తువుల చలనం గురించి మాత్రమే నేర్చుకుంటాం.

ఇక పాఠ్యాంశంలోని కొన్ని ప్రాథమిక భావాలను తెలుసుకుందాం.
నిశ్చల స్థితి: 

‣ ఒక వస్తువు భౌతిక పరిసరాలు కాలంతో పాటు మార్పు చెందకుండా ఉంటే అది నిశ్చల స్థితిలో ఉందని అంటారు.

చలన స్థితి: 

‣ ఒక వస్తువు భౌతిక పరిసరాలు కాలంతో పాటు మారితే అది చలన స్థితిలో ఉందని అర్థం. నిశ్చల స్థితి, చలన స్థితి రెండూ సాపేక్షమైనవి. నిరపేక్షమైనవి కావు. 
‣ ఒక ఉదాహరణ ద్వారా ఈ భావనలను పరిశీలిద్దాం... బస్సులో ప్రయాణిస్తున్న ఒక వ్యక్తి తోటి ప్రయాణికుల పరంగా చూస్తే నిశ్చలస్థితిలో ఉన్నాడని చెప్పవచ్చు. బయటి వ్యక్తితో పోల్చి చూసినప్పుడు అదే వ్యక్తి చలనస్థితిలో ఉన్నాడని అంటారు. 
‣ ఈ రెండు సందర్భాలూ సరైనవే. పరిసరాలను బట్టి వస్తువు స్థితులను నిర్ణయించడమే దీనికి కారణం.

దూరం: ఒక వస్తువు ప్రయాణించిన మార్గం పొడవునే దూరం అంటారు.

స్థానభ్రంశం: రెండు నిర్దిష్ట బిందువుల మధ్య కనిష్ఠ దూరాన్నే స్థానభ్రంశం అంటారు. దూరం, స్థానభ్రంశం మధ్య భేదాలను పరిశీలిస్తే

దూరం	స్థానభ్రంశం
ఇది అదిశరాశి	ఇది సదిశరాశి
ఇది ఎల్లప్పుడు ధనాత్మకం	ఇది ధనాత్మకం లేదా రుణాత్మకం
దూరం ఎల్లప్పుడూ స్థానభ్రంశం కంటే ఎక్కువ	స్థానభ్రంశం ఎల్లప్పుడూ దూరం కంటే తక్కువ

‣ సరళరేఖా మార్గంలో ప్రయాణించినప్పుడు రెండూ ఒకదానికొకటి సమానం. 
‣ ఒక వస్తువు కొంత దూరం ప్రయాణించి తొలి బిందువును చేరినప్పుడు దాని స్థానభ్రంశం శూన్యం.

వడి: ఒక వస్తువు ఏకాంక కాలంలో ప్రయాణించిన దూరాన్ని వడి అంటారు.
          

           మీ. / సె.
‣ ఇది అదిశరాశి

వేగం: ఒక వస్తువు స్థానభ్రంశపు రేటును వేగం అంటారు.
         
          మీ. / సె.
‣ ఇది సదిశరాశి

సమవేగం (సమరీతి చలనం): ఒక సరళరేఖ వెంట చలిస్తున్న వస్తువు సమాన కాల వ్యవధుల్లో సమాన స్థానభ్రంశాలు పొందితే. ఆ వస్తువు వేగాన్ని సమవేగం అంటారు.
‣ సమవేగంతో ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు వస్తువు వేగం మారదు. దాని త్వరణం సున్నా.
ఉదా: ఒక వస్తువు ప్రతి సెకనుకు పొందిన స్థానభ్రంశం సమానంగా ఉన్నప్పుడు దాని వేగాన్ని సమవేగం అంటారు.
                       

అసమవేగం: ఒక వస్తువు సమాన కాల వ్యవధుల్లో పొందిన స్థానభ్రంశాలు అసమానంగా ఉంటే ఆ వస్తువు వేగాన్ని అసమవేగం అంటారు. 
‣ అంటే వస్తువు వేగం ప్రతి సెకన్‌కు సమానంగా ఉండదు. పెరగవచ్చు లేదా తగ్గవచ్చు.
ఉదా: కొంత ఎత్తు నుంచి కిందకు పడే వస్తువు; నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరిన వస్తువు అసమాన వేగంతో ప్రయాణిస్తాయి.

సగటు వేగం: ఒక వస్తువు పొందిన మొత్తం స్థానభ్రంశానికి, మొత్తం కాలానికి ఉన్న నిష్పత్తి సగటు వేగాన్ని ఇస్తుంది.
         
‣ సగటు వేగం  (V_ave)  వస్తువు తొలిస్థానం నుంచి తుది స్థానానికి ప్రయాణించిన మార్గంపై ఆధారపడదు. 
‣ సగటు వేగం చలన వివరాలను తెలియజేయదు. కానీ చలన ఫలితాన్ని తెలియజేస్తుంది.
‣ సరళారేఖా మార్గంలో ప్రయాణించినప్పుడు ఒక వస్తువు సగటు వేగం, సగటు వడి పరిమాణాలు అసమానం. కానీ సగటు వేగం సదిశరాశి, సగటు వడి అదిశరాశి.
‣ ఒక వస్తువు రెండు సమాన కాలవ్యవధుల్లో v₁,v₂   వేగాలతో ప్రయాణిస్తే సగటు వేగం
          

‣ ఒక వస్తువు రెండు సమాన స్థానభ్రంశాలను v₁,v₂ వేగాలతో ప్రయాణిస్తే
          

తక్షణ వేగం: ఒక నిర్దిష్ట తక్షణ కాలం వద్ద వస్తువు వేగాన్ని తక్షణ వేగం అంటారు
                   
‣ సమరీతి చలనంలో తక్షణ వేగం సగటు వేగానికి సమానం.

త్వరణం: ఒక వస్తువు చలనంలో ఉన్నప్పుడు దాని వేగం కాలంతో మారుతూ ఉంటే ఆ వస్తువు త్వరణం చెందుతూ ఉందంటాం.
            
నిర్వచనం:
‣ ఒక వస్తువు వేగంలోని మార్పు రేటును త్వరణం అంటారు. 
‣ త్వరణం ఒక సదిశ. దీని దిశ వేగం మార్పు చెందే దిశలో ఉంటుంది. 
‣ వస్తువు వేగ పరిమాణం మారినా లేదా వేగ దిశ మారినా అది త్వరణాన్ని కలిగి ఉంటుంది. 
‣ త్వరణం ప్రమాణాలు మీ/సె²
‣ వస్తువు త్వరణం ధనాత్మకం లేదా రుణాత్మకం కావచ్చు. త్వరణం ధనాత్మకమైతే వేగం పెరుగుతుంది. వేగం, త్వరణం ఒకే దిశలో ఉంటాయి. 
‣ వస్తువు త్వరణం రుణాత్మకమైతే వేగం తగ్గుతుంది. ఈ సందర్భంలో వేగం, త్వరణం వ్యతిరేక దిశల్లో ఉంటాయి.

ఏకరీతి త్వరణం: సమాన కాల వ్యవధుల్లో వేగంలోని మార్పు సమానమైతే వస్తువు త్వరణాన్ని ఏకరీతి త్వరణం లేదా సమత్వరణం అంటారు.
ఉదా: ఒక వస్తువు వేగం మొదటి సెకనులో 2m/s రెండో సెకనులో 2m/s పెరిగి 4m/s అవుతుంది.  అలా ప్రతి సెకనుకు వేగం 2m/s పెరుగుదల ఉంటే దాన్ని సమత్వరణం అంటారు.
‣ శుద్ధగతిశాస్త్రంలో వస్తువుల చలనం సమత్వరణంగా భావించి గమన సమీకరణాలను ఉత్పాదిస్తాం.

అసమరీతి త్వరణం (అసమ త్వరణం): సమాన కాల వ్యవధుల్లో వస్తువు వేగంలోని మార్పు అసమానంగా ఉంటే దాన్ని అసమ త్వరణం అంటారు. 
‣ భౌతికశాస్త్రంలో స్థానభ్రంశం, వేగం, త్వరణం లాంటి రాశులను; కాలానికి, వాటికి ఉన్న సంబంధాన్ని వివరించడానికి రేఖాచిత్రాలు ఉపయుక్తంగా ఉంటాయి. ఇప్పుడు స్థానభ్రంశం - కాలం, వేగం - కాలం మధ్య సంబంధాలను తెలిపే రేఖాచిత్రాలను ( Graphs ) అవి ఏం తెలియజేస్తాయో నేర్చుకుందాం. 
‣ వీటిని ఉపయోగించి గమన సమీకరణాలను ఉత్పాదించడం తెలుసుకుందాం

స్థానభ్రంశం - కాలం

 

  ఈ రేఖాచిత్రం నిశ్చలస్థితిలో ఉన్న వస్తువును తెలుపుతుంది. 

 సమవేగంతో వెళ్తున్న వస్తువును సూచిస్తుంది. వస్తువు సమాన కాలవ్యవధుల్లో సమాన స్థానభ్రంశాలు చెందడాన్ని సూచిస్తుంది.
       

  ఈ రేఖాచిత్రం అసమవేగంతో వెళ్తున్న వస్తువును సూచిస్తుంది. వస్తువుకు త్వరణం ఉందని తెలియజేస్తుంది. దీని వాలు ధనాత్మకం. క్రమంగా పెరుగుతుంది.
               

 రుణ త్వరణంతో చలిస్తున్న వస్తువును సూచిస్తుంది. వాలు కాలంతో పాటు తగ్గుతుంది
               

 నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరిన వస్తువు చలనాన్ని సూచిస్తుంది.
             

 ఈ రేఖాచిత్రం వ్యవస్థితం కాదు. ఒకే కాలం వద్ద వేర్వేరు స్థానభ్రంశాలు కలిగి ఉండటం అసాధ్యం.
‣ ఈ గ్రాఫ్‌ల వాలు వేగాన్ని ఇస్తుంది. 

వేగం - కాలం వక్రాలు

 వస్తువు సమవేగంతో ప్రయాణిస్తుందని సూచిస్తుంది. కాలంతో పాటు వేగంలో మార్పు లేదు. త్వరణం శూన్యం. 
                           

 నిశ్చల స్థితి నుంచి బయలుదేరి సమత్వరణంతో ప్రయాణిస్తున్నవస్తువును సూచిస్తుంది.
                               

 కొంత తొలి వేగాన్ని కలిగి ఉండి సమత్వరణంతో ప్రయాణించే వస్తువును సూచిస్తుంది.
                 

 అసమ త్వరణంతో ప్రయాణించే వస్తువును సూచిస్తుంది. వేగం అసమరీతిలో పెరుగుతుంది.
                         

 కొంత తొలి వేగాన్ని కలిగి ఉండి సమరుణ త్వరణంతో చలించే వస్తువును సూచిస్తుంది.
   

1. వేగ - కాల వక్రం వాలు త్వరణాన్ని ఇస్తుంది.
2. వేగ - కాల వక్రం ఏర్పరిచే వైశాల్యం వస్తువు పొందిన స్థానభ్రంశాన్ని ఇస్తుంది.
‣ ఒక వస్తువు X అక్షం వెంట స్థిర త్వరణంతో చలించే సందర్భంలో దాని స్థానభ్రంశం - కాలం, వేగం - కాలం, త్వరణం - కాలం మధ్య సంబంధాన్ని వివరించే గ్రాఫ్‌లను పరిశీలిద్దాం.
     

వేగ - కాల వక్రం నుంచి గమన సమీకరణాలను ఉత్పాదించడం:
‣ వస్తువు తొలివేగం, తుదివేగం, కాలం త్వరణం, స్థానభ్రంశం మొదలైన వాటి మధ్య సంబంధాలను తెలిపే  సమీకరణాలను గమన సమీకరణాలు అంటారు. 
‣ వస్తువు సమత్వరణంతో చలిస్తుందని భావించి ఈ గమన సమీకరణాలను ఉత్పాదిస్తాం.
v = u + at ఉత్పాదన:
కాలం t = 0 వద్ద వేగం u , కాలం t సె. తర్వాత వేగం v అయితే

      వాలు
                          వేగ - కాల వక్రం వాలు త్వరణాన్ని ఇస్తుంది. 
                          త్వరణం 
                                  at = v - u
                                                               v = u + at    
‣ ఈ సమీకరణం తుదివేగం, కాలం మధ్య సంబంధాన్ని తెలుపుతుంది.

 ఉత్పాదన:
‣ వేగ - కాల వక్రం ఏర్పరిచే వైశాల్యం వస్తువు ప్రయాణించిన దూరాన్ని ఇస్తుంది.
వస్తువు కాలం  t వద్ద  u తొలివేగంతో బయలుదేరి సమత్వరణంతో  t కాలం ప్రయాణించింది.
     గ్రాఫ్ నుంచి వేగ - కాల వక్రం ఏర్పరచిన వైశాల్యం OABC దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం, ACD త్రిభుజ వైశాల్యాల మొత్తానికి సమానం.
     OA  =  u,  OB  =  t

దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం  =  పొడవు × వెడల్పు
                     = u × t    
                     = ut

∆ACD వైశాల్యం 
                           

మొత్తం వైశాల్యం       
‣ ఈ వైశాల్యం వస్తువు ప్రయాణించిన దూరానికి సమానం. కాబట్టి
                       
‣ ఈ సమీకరణం స్థానభ్రంశానికీ కాలానికీ మధ్య ఉన్న సంబంధాన్ని సూచిస్తుంది. ఇచ్చిన కాల వ్యవధిలో వస్తువు ఎంత దూరం ప్రయాణించిందో ఈ సమీకరణం నుంచి లెక్కించవచ్చు.
‣ వస్తువు సమవేగంతో ప్రయాణించినప్పుడు ఈ సమీకరణం  s = ut  గా మారుతుంది.
‣ దీనికి కారణం సమవేగంతో ప్రయాణించే వస్తువు త్వరణం సున్నా.

v² -  u²  = 2as ఉత్పాదన: 
             v  =  u  +  at  నుంచి t విలువ

 

          దీన్ని   లో ప్రతిక్షేపిస్తే
         
‣ ఈ సమీకరణం తుది వేగానికి, స్థానభ్రంశానికి మధ్య ఉన్న సంబంధాన్ని తెలియజేస్తుంది.
‣ ఇలా మూడు గమన సమీకరణాలను ఉత్పాదించవచ్చు.
‣ మొదటి గమన సమీకరణం v = u + at తుది వేగానికి, కాలానికి ఉన్న సంబంధాన్ని తెలియజేస్తుంది.
‣ రెండో గమన సమీకరణం స్థానభ్రంశానికి, కాలానికి మధ్య సంబంధాన్ని తెలియ జేస్తుంది.
‣ మూడో గమన సమీకరణం v² - u² = 2as తుది వేగానికి, స్థానభ్రంశానికి ఉన్న సంబంధాన్ని తెలియజేస్తుంది.
‣ రెండో గమన సమీకరణం  నుంచి n వ సెకనులో వస్తువు ప్రయాణించిన దూరం ను ఉత్పాదించవచ్చు.
‣ ఏదైనా నిర్దిష్ట (సెకన్) కాలంలో వస్తువు పొందిన స్థానభ్రంశాన్ని  నుంచి లెక్కింవచ్చు.

గమన సమీకరణాలు
    v  = u  +  at,

 , v² - u²  =  2as ఇవి క్షితిజ సమాంతరంగా సమత్వరణంతో ప్రయా ణించే వస్తు చలనాన్ని వివరిస్తాయి. వస్తువు కొంత ఎత్తునుంచి స్వేచ్ఛగా పతనమైనప్పుడు లేదా కొంత తొలివేగంతో నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరిన సందర్భంలో ఈ సమీకరణాలు ఇదే రూపంలో వర్తించవు.
‣ వస్తువు కొంత ఎత్తు నుంచి స్వేచ్ఛగా పతనమైనప్పుడు దాని తొలివేగం సున్నా. త్వరణం a విలువ గురుత్వత్వరణం g కి సమానం. కాబట్టి గమన సమీకరణాలు కింది విధంగా మారతాయి.

                     
‣ పాఠ్యాంశ ప్రారంభంలో మనం ప్రస్తావించిన వ్యక్తి ఆ పందెం గెలవడానికి   సూత్రాన్ని ఉప యోగిస్తాడు. భవనం పైనుంచి ఒక రాయిని జారవిడిచి అది భూమిని చేరడానికి పట్టిన కాలాన్ని లెక్కిస్తాడు. ఆ విలువను  లో ప్రతిక్షేపిస్తే భవనం ఎత్తు వస్తుంది. 

నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరిన (ప్రక్షిప్తం చేసిన) వస్తువు విషయంలో గమన సమీకరణాలు:
‣ నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరిన వస్తువు త్వరణం రుణాత్మకం. అందువల్ల  a  = - g అవుతుంది.

        

      

   
గమన సమీకరణాల అనువర్తనాలు:
గరిష్ఠోన్నతి: నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరిన వస్తువు తుది వేగం శూన్యమయ్యే ఎత్తును గరిష్ఠోన్నతి అంటారు. గమన సమీకరణం  v² - u² = 2as  నుంచి
                    (0)² - u² = - 2gh_max (గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద v = 0) 
                          - u² = - 2gh_max
                       

ఆరోహణ కాలం: నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరిన వస్తువు గరిష్ఠ ఎత్తు చేరడానికి పట్టే కాలం ఆరోహణం అవుతుంది.
గమన సమీకరణం v = u + at నుంచి 
                 0 = u - gt_a (గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద  v = 0)
                 u = gt_a
                    

అవరోహణ కాలం (t_d):
‣ కొంత ఎత్తు నుంచి నిట్టనిలువుగా పతనమవుతున్న వస్తువు భూమిని చేరడానికి పట్టే కాలమే అవరోహణ కాలం.
     
‣ (1) , (2) సమీకరణాలు ఆరోహణ కాలాన్ని ఇస్తాయి. ఆరోహణ కాలం, అవరోహణ కాలానికి సమానమని తెలుస్తుంది.

గమనకాలం (T): ఒక వస్తువును నిలువుగా పైకి విసిరినప్పుడు అది ఎంతకాలంలో తొలి బిందువును చేరుతుందో ఆ కాలాన్ని గమనకాలం అంటారు.
గమనకాలం T = t_a + t_d
     

     
‣ ఇంకో పద్ధతిలో కూడా ఈ విలువను రాబట్టవచ్చు.
‣ నిలువుగా పైకి విసిరిన వస్తువు తొలిస్థితిని (బిందువును) చేరినప్పుడు దాని స్థానభ్రంశం '0' కావడానికి పట్టిన కాలమే గమన కాలం (T).
గమన సమీకరణం
      
   

ప్రక్షిప్త బిందువును చేరినపుడు వస్తువు వేగం: * వస్తువు బయలుదేరిన గమనకాలం (T) తర్వాత అది తొలి బిందువును చేరేటప్పుడు దానికుండే తుదివేగం గమన సమీకరణం v = u + at నుంచి 
         v  = u  -  gT
       
‣ వస్తువు తొలి బిందువును చేరినప్పుడు దాని వేగం తొలి వేగానికి సమానం. దిశ మాత్రం వ్యతిరేకం.

ఎత్తయిన శిఖరం నుంచి నిలువుగా ప్రక్షేపణ:
‣ పటంలో చూపిన విధంగా H ఎత్తు నుంచి నిట్టనిలువుగా u తొలివేగంతో ఒక వస్తువును పైకి విసిరితే, అది గోపురం నుంచి h ఎత్తును చేరి అక్కడ నుంచి భూమిని చేరుతుంది. దాని స్థానభ్రంశం -H అవుతుంది.
ఈ వస్తువు గమన సమీకరణం: 
       
‣ ఈ పాఠ్యాంశంలో ఇప్పటి వరకు సరళరేఖామార్గంలో క్షితిజ సమాంతరంగా/ క్షితిజ లంబతలంలో నిట్టనిలువుగా పై దిశలో/ కింది దిశలో చలించే వస్తువుల గురించి మాత్రమే నేర్చుకున్నాం.
‣ క్రికెట్ ఆటలో ఫీల్డర్ విసిరే బంతి/ బ్యాట్స్‌మెన్ సిక్స్ కొట్టిన బంతి లేదా అథ్లెటిక్స్‌లో జావెలిన్‌ను విసిరిన తర్వాత వాటి గమనం ఎలా ఉంటుందో గమనించారా! విమానం కొంత ఎత్తులో ఎగురుతున్నపుడు దాని నుంచి వదిలిన బాంబు, ఇతర వస్తువుల గమనం పరిశీలించారా! అవి ఇంతకు ముందు చెప్పుకున్నట్లు ఒకే సరళరేఖ వెంబడి చలించడం లేదు.
‣ వీటి చలనాన్ని పరిశీలిస్తే ఏకకాలంలో ఆ వస్తువులు రెండు దిశల్లో చలిస్తాయి.
‣ ఏకకాలంలో రెండు దిశల్లో (క్షితిజ సమాంతరతలం, క్షితిజ లంబ తలం) చలించే వస్తువులను ప్రక్షేపకాలు అంటారు.

ప్రక్షేపకాలు రెండు రకాలు. అవి:
1) క్షితిజ సమాంతరానికి కొంత కోణంతో విసిరిన వస్తువు.
2) కొంత ఎత్తునుంచి క్షితిజ సమాంతరంగా విసిరిన వస్తువు.
‣ ఈ రెండింటి చలనం ద్విమితీయమే. వీటి చలనాన్ని ఇప్పుడు తెలుసుకుందాం.
‣ అలాగే ఫీల్డర్ బంతిని ఎక్కువ దూరం విసరాలన్నా, జావెలిన్ ఎక్కువ దూరం వెళ్లాలన్నా వాటిని ఎంత కోణంతో విసరాలి?
‣ విమానం నుంచి వదిలిన బాంబు సరిగ్గా లక్ష్యం చేరాలంటే దాన్ని విమానం నుంచి ఎప్పుడు వదలాలి?
‣ ఇలాంటి ప్రశ్నలకు సమాధానాలను ఈ విభాగంలో నేర్చుకుంటారు.

క్షితిజ సమాంతరానికి కొంత కోణం (θ < 900)తో విసిరిన వస్తువు చలనం: 
‣ క్షితిజ సమాంతరానికి కొంత కోణం  (θ < 900) తో విసిరిన వస్తువును ప్రక్షిప్త వస్తువు అంటారు.
‣ ప్రక్షిప్త వస్తువు చలనం రెండు తలాల వెంబడి అంటే క్షితిజ సమాంతర తలంలో, క్షితిజ లంబ తలంలో ఉంటుంది. 
‣ అలాగే వేగం, త్వరణం ఈ తలాల వెంబడి ఒకదానిపై ఒకటి ఆధారపడని స్వతంత్ర రాశులు. 
‣ క్షితిజ సమాంతరానికి కొంత కోణంతో u తొలివేగంతో విసిరినప్పుడు ప్రక్షేపకానికి క్షితిజ సమాంతర దిశలో వేగం u cosθ, లంబ దిశలో వేగం u sinθ అవుతుంది.
‣ క్షితిజ సమాంతర దిశలో u cosθ, సమవేగంతో ప్రయాణిస్తుంది. ఈ దిశలో త్వరణం ఉండదు. 
‣ క్షితిజ లంబదిశలో వేగం u sinθ పైకి వెళ్లేకొద్దీ తగ్గుతూ శూన్యమవుతుంది. తర్వాత కిందికి వచ్చేటప్పుడు పెరుగుతుంది.

ఇప్పుడు ప్రక్షేపకం అనుసరించే మార్గం ఎలా ఉంటుందో గణితాత్మకంగా పరిశీలిద్దాం.
             

 X అక్షం వెంబడి t కాలంలో పొందిన స్థానభ్రంశం

‣ రూపంలో ఉంది. ఇది పరావలయాన్ని సూచిస్తుంది. కాబట్టి ప్రక్షేపకం అనుసరించే పథం పరావలయం.

గరిష్ఠోన్నతి చేరడానికి పట్టే కాలం
గమన సమీకరణం v = u + at నుంచి గరిష్ఠోన్నతి వద్ద v_y = 0 కాబట్టి
     
గమనకాలం (T):  ప్రక్షేపకాన్ని ప్రక్షేపించింది మొదలు తిరిగి అదే క్షితిజ సమాంతరతలాన్ని చేరడానికి పట్టేకాలం దాని గమనకాలం.
‣ గమనకాలంలో Y - అక్షం దిశలో స్థానభ్రంశం శూన్యం.

గమన సమీకరణం  నుంచి
      

ప్రక్షేపకం చేరుకునే గరిష్ఠోన్నతి:   క్షితిజ లంబదిశలో తుదివేగం శూన్యమయ్యే ఎత్తు
  గమన సమీకరణం v² - u² = 2as నుంచి
    

క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి:
‣ క్షితిజ సమాంతర దిశలో పొందిన గరిష్ఠ స్థానభ్రంశాన్ని వ్యాప్తి అంటారు.
‣ ఈ వ్యాప్తి క్షితిజ సమాంతర వేగం, గమన కాలాల లబ్దానికి సమానం.
వ్యాప్తి
        
R విలువ గరిష్ఠం కావాలంటే sin2θ విలువ 1 కావాలి.
‣ sin2θ విలువ = 45^∘ అయినప్పుడు 1 అవుతుంది. అంటే వ్యాప్తి గరిష్ఠం కావడానికి వస్తువును 45^∘ కోణంతో ప్రక్షిప్తం చేయాలి.
‣ ప్రక్షిప్తకోణంθ^∘ అయినా(90 -θ^∘)^∘ అయినా వ్యాప్తి సమానం. కానీ అవి చేరే గరిష్ఠ ఎత్తులు వేర్వేరుగా ఉంటాయి.
‣ గరిష్ఠ క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి  అవుతుంది.
             
                     వేరు వేరు ప్రక్షేపక కోణాలతో వచ్చే వ్యాప్తులు

ఏదైనా కాలం 't' వద్ద ప్రక్షేపక వేగం:
‣ ప్రక్షేపక వేగం v కి రెండు అంశాలు ఉంటాయి. క్షితిజ సమాంతర వేగాంశం vx. ఇది అన్ని వేళల్లో స్థిరంగా ఉంటుంది. దీని విలువ  vx = u cosθ
‣ క్షితిజ లంబ వేగాంశం v_y. దీని విలువ t కాలం తర్వాత v = u + at నుంచి v_y = u sinθ - gt
ఫలిత వేగం v విలువ 

             

       
ఒక శిఖరం పైనుంచి క్షితిజ సమాంతర ప్రక్షేపణం:
‣ h ఎత్తు ఉన్న ఒక శిఖరం పైనుంచి t = 0 కాలం వద్ద ఒక వస్తువును క్షితిజ సమాంతర దిశలో u తొలివేగంతో విసిరినప్పుడు క్షితిజ సమాంతర దిశలో u సమవేగంతోనే చలిస్తుంది.
‣ క్షితిజలంబ దిశలో అది స్వేచ్ఛాపతన వస్తువులా ప్రవర్తిస్తుంది. పటంలో చూపిన విధంగా t కాలం తర్వాత వస్తువు P బిందువును చేరితే 
X - అక్షం దిశలో స్థానభ్రంశం
x  =  ut

‣ ఈ సమీకరణం కూడా పరావలయాన్ని సూచిస్తుంది.
‣ క్షితిజ సమాంతరంగా కొంత ఎత్తు నుంచి విసిరిన వస్తువు కూడా పరావలయ పథంలో ప్రయాణిస్తుంది.

అవరోహణ కాలం: h ఎత్తు నుంచి క్షితిజ సమాంతరంగా ప్రక్షిప్తం చేసినప్పుడు భూమిని చేరడానికి పట్టిన కాలం t_d విలువ y = h అనుకుంటే
           నుంచి
    
‣ ఈ అవరోహణ కాలం తొలివేగంపై ఆధారపడదు. ఇది ప్రక్షేపించిన ఎత్తుపైనే ఆధారపడి ఉంటుంది.
‣ ఈ అవరోహణ కాలమే గమన కాలానికి సమానం.

వ్యాప్తి: వస్తువు గమన కాలంలో క్షితిజ సమాంతర దిశలో ప్రయాణించిన దూరాన్ని వ్యాప్తి అంటారు. వ్యాప్తి
    R = అవరోహణ కాలం × క్షితిజ సమాంతర వేగం
     
‣ తొలివేగం, ఎత్తుపై వ్యాప్తి ఆధారపడి ఉంటుంది. 
‣ విమానం నుంచి బాంబును జారవిడిచినప్పుడు అది లక్ష్యాన్ని తాకాలంటే అది పొందే వ్యాప్తికి సమానమైన దూరం ఎంతో లెక్కించి అంత ముందుగానే దాన్ని వదిలేయాలి. అప్పుడే అది లక్ష్యాన్ని చేరుతుంది. పైలట్‌కు మాత్రం బాంబు ఎప్పుడూ విమానం కిందే కనిపిస్తుంది. 
‣ పాఠ్యాంశంలో మొదట చెప్పిన కథానాయకుడు కూడా అవరోహణ కాలాన్ని ఉజ్జాయింపుగా లెక్కిస్తాడు. లారీ వేగాన్ని అంచనా వేసి, అది సరిగ్గా భవనం వద్దకు చేరడానికి ఎంత కాలం పడుతుందో తన అవరోహణ కాలం అంతే ఉండేలా జాగ్రత్త పడతాడు. ఫలితంగా అతడు సరిగ్గా లారీలోనే పడతాడు. 
‣ ఈ కాలవ్యవధిలో లారీ క్షితిజ సమాంతరంగా భవనం వద్దకు చేరితే, కథానాయకుడు పైభాగం నుంచి నిలువుగా కిందికి చేరుకుంటాడు.

ఏదైనా కాలం t వద్ద ప్రక్షేపక వేగం
‣ t కాలం తర్వాత వస్తువు P బిందువు వద్ద ఉంటే అక్కడ క్షితిజ సమాంతర వేగాంశం v_x = u
మరియు లంబ వేగాంశం v_y విలువ v = u + at నుంచి v_y = 0 + gt
తుది వేగం
    
‣ భూమిని తాకినప్పుడు క్షితిజ సమాంతరంతో తుది వేగం చేసే కోణం
       

సదిశరాశులు
పక్షులు, కోతులు, సదిశరాశలు

‣ పరిమాణం, దిశ ఉన్న భౌతికరాశులు సదిశరాశులు (Vectors). భౌతికరాశులన్నింటికీ దిశ ఉండదు. దిక్కులేనివి కూడా కొన్ని ఉంటాయి. అవి అదిశ రాశులు (Scalars). ఉదాహరణకు పొడవు, ద్రవ్యరాశి, కాలం, పని, శక్తి మొదలైనవి. ప్రాథమిక భౌతికరాశులన్నీ దిక్కులేనివే! ఈ విషయం మీరెప్పుడైనా గమనించారా? 
‣ ఒక కారు గంటకు 60 కిలోమీటర్ల వేగంతో (Velocity) ఉత్తరదిశ నుంచి దక్షిణ దిశవైపు పయనిస్తుంది అని ఎవరైనా అంటే ఇక్కడ గంటకు 60 కిలోమీటర్లు కారు వడి (Speed) ని సూచిస్తే, 'ఉత్తరదిశ నుంచి దక్షిణదిశవైపు' అనే సమాసం కారు వెళ్లే దిశను తెలుపుతుంది. 
‣  వడి + దిశ = వేగం 
‣ 'వడి'కి దిశను చెప్పనవసరం లేదు. దిశ లేదు కాబట్టి వడి అదిశరాశి. వడి పరిమాణం వరకే పరిమితం. వేగానికి దిశ ఉంది కాబట్టి అది సదిశరాశి. వేగానికి పరిమాణం వడి. 
‣ ఒక వస్తువుపై కొంత బలం ప్రయోగిస్తున్నామంటే, ఆ బలం పరిమాణం ఎంత? ఆ బలం ఏ దిశలో పని చేస్తుంది? అనే ప్రశ్నలు ఉదయించడం సహజం. కాబట్టి బలానికి 'దిశ'ను నిర్దేశించడం తప్పనిసరి. కాబట్టి బలం సదిశరాశి. అలాగే త్వరణం (acceleration), ద్రవ్యవేగం లాంటివి సదిశరాశులే. సదిశరాశుల ఆవిష్కరణ భౌతికశాస్త్ర అధ్యయనంలో ఒక విశిష్టమైన దిశాదశలను నిర్ణయించింది.

సదిశరాశి-రామబాణం లాంటిదే!
‣ సదిశరాశిని ఒక నిర్ణీత పరిమాణం, నిర్దిష్టదశ ఉన్న సరళ రేఖాఖండంతో సూచిస్తారు. 
                  తోక (Tail)  తల (Head) 
         AB సరళరేఖ పొడవు, సదిశరాశి పరిమాణాన్ని సూచిస్తే, బాణం గుర్తు దాని 'దిశ'ను సూచిస్తుంది. సదిశరాశులను ఒకే అక్షరంతో  గా కూడా సూచించవచ్చు.

సదిశరాశులు కోతుల తోకలా? 
‣ మూడు కోతులు వేగంగా ప్రవహించే ఒక కాలువను దాటాలనుకోండి, జాగ్రత్త కోసం మొదటి కోతి రెండో కోతి తోకను, రెండోకోతి మూడోకోతి తోకను పట్టుకుని ధైర్యంగా దాటతాయి. ప్రవాహవేగం మరీ ఎక్కువైతే, మొదటి కోతి మూడో కోతి తోకను పట్టుకుని, కోతులన్నీ ఒక వలయంగా ఏర్పడి ప్రవాహంలో కొట్టుకుపోకుండా సమతాస్థితి (Equilibrium) లో ఉంటాయి. 
‣ అలాగే, ఒక వస్తువుపై ,  ,   బలాలు (సదిశరాశులు) పనిచేస్తుంటే,   తలకు  తోకను,  తలకు  తోకను తగిలించి  తోకనుంచి  తల వరకు కొలిస్తే వస్తువుపై పనిచేసే ఫలిత బలం వస్తుంది. ఇదే సదిశరాశుల సంకలన సూత్రం. 
‣ ఈ సూత్రాన్ని సదిశరాశుల త్రిభుజ, బహుభుజుల నియమాల్లో గమనించవచ్చు.

       

కుడి ఎడమైతే... పొరపాటు లేదు
         ఒక వస్తువుపై ,  , బలాలు పనిచేస్తుంటే, (ఏ సదిశరాశులైనా) ఆ బలాలను ఏవిధంగానైనా సంకలనం కూడా చేయవచ్చు. 
          +  +   =   +

 +   (స్థిత్యంతర న్యాయం) 
        ( +  ) +   =  + (   +  )   (సహచర న్యాయం)
తీసివేయడమంటే కూడటమే 
 సదిశరాశి  నుంచి  సదిశరాశిని తీసేయాలంటే (వ్యవకలనం)  సదిశరాశి పరిమాణం అంతే ఉంచి, దాని దిశను వ్యతిరేకంగా తీసుకురావాలి. ఇప్పుడు (-) రుణ సదిశరాశి అవుతుంది. ఈ రుణ సదిశరాశి (-) ని  తో సంకలనం చేయాలి.
     -  =  + (- ) ఇదే సాపేక్ష వేగ (Relative velocity) సూత్రం.

పైకెగిరే పక్షి... ఫలిత బలాన్నిస్తుందా? 
‣ ఒక వస్తువు మీద ఒకే కాలంలో రెండు బలాలు

 ,  లు వేర్వేరు దిశల్లో పనిచేస్తున్నాయని అనుకోండి.
‣ వస్తువుపై పనిచేసే ఫలితబలాన్ని 'ఎగిరే పక్షి'ని చూసి మనం నేర్చుకోవచ్చు. అదే సదిశల సమాంతర చతుర్భుజ సూత్రంగా రూపుదిద్దుకుంది. 
‣ AO, BO దిశల్లో పక్షి తన రెక్కలతో గాలిని నెట్టిందనుకోండి. ఇవి చర్యలు. అప్పుడు పక్షి రెక్కలపై  ,  బలాలు (ప్రతిచర్యలు) పనిచేస్తాయి.
‣ ఆ బలాల ఫలితబలం OC = R పనిచేయడంతో ఆ దిశలో పక్షి పైకి లేస్తుంది. ఫలితం సమాంతర చతుర్భుజ నియమం. ఆ విధంగా కోతుల తోకల నుంచి, ఎగిరే పక్షుల నుంచి సదిశరాశుల నియమాలు ఏర్పడటం చూస్తే, ప్రకృతికీ, శాస్త్రానికీ ఉన్న అవినాభావ సంబంధం తెలుస్తుంది.    

సదిశరాశుల్లో రెండు లబ్ధాలెందుకో? 
‣ a ని b తో గుణిస్తే వచ్చే లబ్ధం a × b = ab. అదే సదిశరాశి  ని మరో సదిశరాశి  తో గుణిస్తే ఒక్కోసారి ఫలితం అదిశరాశి అయితే మరికొన్ని విషయాల్లో సదిశరాశి వస్తుంది. ఈ వైరుధ్యానికి స్థానం కల్పించడానికి సదిశరాశుల అధ్యయనంలో రెండు రకాల లబ్ధాలకు స్థానం కల్పించారు.
అందులో ఒకటి బిందు (అదిశ) లబ్ధం  .

 అయితే, మరొకటి త్రిశా (సదిశ) లబ్ధం  × .

ఇదంతా భౌతికరాశి 'పని' ప్రభావమే!
‣ భౌతికశాస్త్రంలో 'పని' చేసేది బలం (నిజజీవితంలో మనమంతా ఏదో ఒక పనిచేస్తుంటాం.) ఒక వస్తువుపై కొంత బలాన్ని ప్రయోగిస్తే, ఆ వస్తువు ఆ బలం దిశలో స్థానభ్రంశం చెందితేనే, ఆ బలం పనిచేసినట్లు లెక్క. బలానికి అప్పటికే దిశను నిర్దేశించాం కాబట్టి. పనికి వేరుగా పనికట్టుకుని దిశను సూచించాల్సిన అవసరం లేదు. ఆ విధంగా దిశను సూచించం కాబట్టి 'పని' అదిశరాశి. అంతేగానీ 'అదిశా లబ్ధం' కావడం వల్ల కాదు.
సదిశ రాశుల లబ్ధాలు 
 i) అదిశ లబ్ధం  .  = ab cos θ
      ఉదా: పని, సామర్థ్యం, శక్తి, ఎలక్ట్రిక్ పొటెన్షియల్, ఎలక్ట్రిక్ పవర్ 
 ii) సదిశలబ్ధం =  ×  =  = ab sin θ
      ఉదా: టార్క్, కోణియ ద్రవ్యవేగం మొదలైనవి. 

ఏకాంక సదిశరాశి 
‣ ఏకాంక పరిమాణం కలిగి ఒక నిర్దిష్ట దిశలో పనిచేసే సదిశరాశిని ఏకాంక సదిశరాశి (Unit vector) అంటారు. 
‣ X, Y, Z అక్షాల వెంట ఉండే ఏకాంక సదిశరాశులను లుగా సూచిస్తారు.
‣ ఏకాంక సదిశరాశులను అన్వయిస్తూ  అనే సదిశరాశిని  అని సూచిస్తారు. ఇక్కడ, లు సదిశరాశి  కి సంబంధించిన అదిశ అంశాలు.
 పరిమాణం