ప్ర‌శ్న‌లు - జ‌వాబులు

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

1. నిలువుగా పైకి ప్రక్షేపించిన వస్తువు ఆరోహణ కాలం, దాని అవరోహణ కాలానికి సమానం అని చూపండి.

జ: కొంత తొలివేగంతో నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరిన వస్తువు తుది వేగం శూన్యం కావడానికి పట్టిన కాలాన్ని ఆరోహణ కాలం అంటారు.
       గమన సమీకరణం v = u + at నుంచి 
      0 = u - gt_a
      gt_a = u
     

కొంత ఎత్తు నుంచి నిట్టనిలువుగా స్వేచ్ఛా పతనం చెందుతున్న వస్తువు భూమిని చేరడానికి పట్టిన కాలాన్ని అవరోహణ కాలం అంటారు.

ఆరోహణ కాలం అవరోహణ కాలానికి సమానం.

2. నిలువుగా పైకి ప్రక్షేపించిన వస్తువు విషయంలో ఆ వస్తువు నేలను తాకినప్పుడు దాని వడి, దాన్ని పైకి ప్రక్షేపించిన వడికి సమానమని చూపండి.

జ: ఒక వస్తువును u తొలి వేగంతో నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరితే అది తన తొలి స్థానానికి తిరిగి రావడానికి పట్టే కాలమే గమనకాలం. ఆ గమనకాలం తర్వాత దాని తుదివేగం
గమన సమీకరణం v  =  u  +  at నుంచి
v  =  u  -  gT

తుది వేగం తొలి వేగానికి సమానం. కానీ దాని దిశ మాత్రం వ్యతిరేకం.

3. క్షితిజ సమాంతరంతో కొంత కోణం చేస్తూ ప్రక్షేపించిన వస్తువు పథం పరావలయమని చూపండి.

జ: క్షితిజ సమాంతరానికి కొంత కోణంతో విసిరిన వస్తువును ప్రక్షిప్త వస్తువు అంటారు.     
                                              
ప్రక్షిప్త వస్తువు వేగం 'u' ను రెండు అంశాలుగా విభజిస్తే, క్షితిజ సమాంతర వేగం ucosθ క్షితిజలంబ వేగం usinθ.
t కాలంలో క్షితిజ సమాంతర దిశలో ప్రయాణించిన దూరం x.
    x  =  u cosθ x t

  
ఇదే t కాలంలో Y - అక్షం వెంట స్థానభ్రంశ గమన సమీకరణం  నుంచి    
     

దీనిలో t విలువను (1) నుంచి ప్రతిక్షేపిస్తే   

ఈ సమీకరణం పరావలయాన్ని సూచిస్తుంది. కాబట్టి ప్రక్షిప్త వస్తువు పథం పరావలయం.

4. ఒక ప్రక్షేపకం గరిష్ఠోన్నతి, వ్యాప్తులు వరుసగా అని చూపండి.

జ: ప్రక్షిప్త వస్తువును u తొలివేగంతో ప్రక్షిప్తం చేసినప్పుడు Y అక్షం దిశలో ఏ ఎత్తు వద్ద దాని తుది వేగం  ( Y అంశం) శూన్యమవుతుందో ఆ ఎత్తునే గరిష్ఠ ఎత్తు అంటారు.
గమన సమీకరణం  v²  -  u² =  2as నుంచి

  (0)²   -   (usinθ)² = - 2gh_max
     -u²sin²θ  = - 2gh_max
     2gh_max  = u²sin²θ  

 
వ్యాప్తి: క్షితిజ సమాంతర దిశలో పొందిన గరిష్ఠ స్థానభ్రంశం వ్యాప్తికి సమానం.
  వ్యాప్తి = క్షితిజ సమాంతర వేగం  గమన కాలం   

5. క్షితిజ సమాంతరంతో కొంత కోణంతో విసిరిన వస్తువు గరిష్ఠ ఎత్తు గరిష్ఠవ్యాప్తిలో నాలుగో వంతు అని చూపండి. 

జ: ప్రక్షిప్త వస్తువు గరిష్ట వ్యాప్తిని పొందడానికి దాన్ని 45^o కోణంతో ప్రక్షిప్తం చేయాలి. 45^o కోణంతో ప్రక్షిప్తం చేసిన వ్యాప్తి

గరిష్ఠ ఎత్తు గరిష్ఠ వ్యాప్తిలో 1/4 వంతు ఉంటుంది.

6. కొంత ఎత్తు నుంచి క్షితిజ సమాంతరంగా ప్రక్షేపించిన వస్తువు పథం పరావలయమని చూపండి.

జ: కొంత ఎత్తు నుంచి క్షితిజ సమాంతరంగా  u  తొలివేగంతో ఒక వస్తువును ప్రక్షిప్తం చేస్తే, అది t కాలం తర్వాత పటంలో చూపిన విధంగా P బిందువును చేరితే
X అక్షం దిశలో స్థానభ్రంశం
x = ut

    
 ఈ సమీకరణం పరావలయాన్ని సూచిస్తుంది. కాబట్టి క్షితిజ సమాంతరంగా కొంత ఎత్తు నుంచి విసిరిన వస్తువు పథం పరావలయం.

7. గ్రాఫ్ పద్ధతిలో  సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.
జ: పటంలో చూపిన విధంగా వేగ - కాల వక్రం ఏర్పరిచే వైశాల్యమే వస్తువు ప్రయాణించిన దూరాన్ని ఇస్తుంది.
    u తొలివేగంతో బయలుదేరి a సమత్వరణంతో t కాలం ప్రయాణిస్తే దాని తుది వేగం v అవుతుంది.    

 గ్రాఫ్ ఏర్పరిచిన వైశాల్యాన్ని రెండు భాగాలుగా విభజిస్తే  OABC  దీర్ఘచతురస్రం,  ACD త్రిభుజంగా భావించవచ్చు.

వైశాల్యం అది పొందిన స్థానభ్రంశానికి సమానం 

8. రెండు సదిశ రాశులు, వాటి ఫలిత సదిశరాశి పరిమాణం సమానంగా ఉంటే, ఆ సదిశ రాశుల మధ్య కోణం ఎంత?

జ: ఫలిత సదిశ రాశి 
                                ఇక్కడ   P = Q = R.
                        
                   లేదా 2 (1 + cosθθ) = 1 ; (1+cosθ) = ½
                   అంటే  cosθ = -½ ;     θ = 120^o

9.  అయితే, సదిశరాశి  పరిమాణం ఉండి సదిశరాశి  కి సమాంతరంగా ఉండే సదిశరాశి

 ని కనుక్కోండి.

జ:  
    కాబట్టి సదిశరాశి   పరిమాణం 25 అయ్యి, అది సదిశరాశి  కి సమాంతరంగా ఉండాలి. కి సమాంతరంగా ఉండే సదిశరాశి  ఇక్కడ n ఒక పూర్ణాంకం. 
    n = 5 అయితే, ఆ సదిశరాశి అవుతుంది.
    ఎందుకంటే  
    కాబట్టి కావాల్సిన సదిశరాశి 

10. అయితే వాటి మధ్య కోణమెంత?

      
కాబట్టి _.ల మధ్య కోణం = 90^o. అంటే అవి ఒకదాంతో మరొకటి లంబదిశలో ఉంటాయి.

అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

 

2. 

 అనే ఒక బలాన్ని ఒక వస్తువుపై ప్రయోగించడంతో ఆ వస్తువు  స్థానభ్రంశం చెందింది. అయితే దానిపై ఆ బలం చేసిన పని ఎంత?

జ: పని  
            = 4 + 20 + 30 = 54  యూనిట్లు.

3. విద్యుత్ ప్రవాహం అదిశరాశా? సదిశరాశా?
జ: విద్యుత్ ప్రవాహానికి పరిమాణం, దిశ ఉన్నా అది అదిశరాశే. ఎందుకంటే విద్యుత్ ప్రవాహానికి సదిశల త్రిభుజ, సమాంతర చతుర్భుజ సూత్రాలను అర్థవంతంగా అన్వయింపజేయలేం. 

4. ఒక పడవ భూమికి అనుగుణంగా  వేగంతో ఒక నదిలో పయనిస్తోంది. నదిలోని నీరు భూమికి అనుగుణంగా  వేగంతో పారుతుంటే, నీటికి అనుగుణంగా పడవ సాపేక్ష వేగమెంత?
జ: పడవ వేగం =  ;
   నదిలోని నీటి వేగం =
   నీటికి అనుగుణంగా పడవ వేగం  = 

 - ( ) = 

5.  = 0, అయితే   విలువ ఎంత?
జ:  = 0 అంటే   = AB cosθ = 0
                          θ = 90^o;     

                          

      = AB sinθ
                                        = AB sin 90^o = AB

6. ఒక సమయం నుంచి మరో సమయానికి తక్షణ వేగం మారకుండా ఉంటే, వేర్వేరు కాల వ్యవధుల్లో సగటు వేగాలు వేర్వేరుగా ఉంటాయా?
జ: ఉండవు. తక్షణ వేగం స్థిరమైతే వేర్వేరు కాల వ్యవధుల్లో సగటు వేగం కూడా తక్షణ వేగానికి సమానం.

7. ఒక వస్తువుకు సంబంధించి (i) దాని వడి మారుతున్నా దానికి స్థిరమైన వేగం ఉండొచ్చా? (ii) దాని వేగం మారుతున్నా దానికి స్థిరమైన వడి ఉండొచ్చా?
జ: (i) అసాధ్యం. వడి మారుతూ స్థిరమైన వేగాన్ని కలిగి ఉండటం అసాధ్యం.
    (ii) సాధ్యమే. వస్తువు స్థిరమైన వడితో ప్రయాణిస్తూ గమన దిశలో మార్పు వచ్చినపుడు వడి స్థిరమైనా వేగం మారుతుంది.

8. ఒక వస్తువు వేగం సున్నా అయినా దాని త్వరణం సున్నా కాదు. దీనికి ఒక ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జ: నిట్టనిలువుగా పైకి ప్రక్షిప్తం చేసిన వస్తువు గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద దాని వేగం సున్నా. కానీ త్వరణం మాత్రం సున్నా కాదు.
 

9. ఒక ప్రక్షేపక పథం శిఖరం (గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద) ప్రక్షేపకం త్వరణం ఎంత?
జ: ప్రక్షేపక పథం శిఖరం వద్ద ప్రక్షేపకం త్వరణం గురుత్వ త్వరణానికి సమానం (a = g).
 

10. ఒక వస్తువు వడి స్థిరంగా ఉండి, దాని వేగం స్థిరంగా లేని ఒక సందర్భాన్ని తెలపండి.
జ: ఒక వస్తువు వృత్తాకార పథంపై చలనంలో ఉన్నప్పుడు దాని వడి స్థిరం. కానీ వేగం ప్రతిక్షణం మారుతుంది.
 

11. రెండు యుద్ధ విమానాలు ఒక దానికొకటి సమాంతరంగా వేర్వేరు ఎత్తుల వద్ద సమానవేగంతో ఎగురుతున్నాయి. అవి భూమిపై ఉన్న ఒక లక్ష్యాన్ని చేరాలంటే ముందు ఏది బాంబును వదలాలి?
జ: ఎక్కువ ఎత్తు వద్ద ఎగిరే విమానం మొదట బాంబును వదలాలి.

12. ఒకే ఎత్తులో వేర్వేరు వేగాలతో ఎగురుతున్న రెండు యుద్ధ విమానాలు భూమిపై ఒకే లక్ష్యాన్ని చేధించాలంటే మొదట ఏ విమానం బాంబును ప్రయోగించాలి?
జ: ఎక్కువ వేగంతో ఎగిరే విమానం మొదట బాంబును ప్రయోగించాలి.