పని - సామర్థ్యం - శక్తి 

పని : బల ప్రయోగ స్థానం బల దిశలోగాని, బల అంశదిశలో గాని స్థానభ్రంశం చెందితే ఆ బలం వల్ల పని జరిగిందని చెప్పవచ్చు. పని అంటే బలం , స్థానభ్రంశం  బిందువు లబ్ధానికి సమానం.
 

W  =  .  =   Fs Cosθ

* పని అదిశరాశి

* ప్రమాణాలు : ఎర్గ్ (C.G.S.)

               జౌల్ (S.I.)   1 జౌల్ = 107 ఎర్గ్‌లు

మితిఫార్ములా :  M¹ L² T^-2

పనిలో రకాలు:

1. ధనాత్మక పని : బలదిశలో లేదా బల అంశదిశలో స్థానభ్రంశం చెందితే పని ధనాత్మకం అవుతుంది.

ఉదా: బలంతో ఒక వస్తువును లాగడం వల్ల జరిగిన పని.

2. రుణాత్మక పని : బలదిశకు లేదా బల అంశదిశకు వ్యతిరేక దిశలో స్థానభ్రంశం చెందితే పని రుణాత్మకం అవుతుంది.

ఉదా: ఘర్షణబలం వల్ల జరిగిన పని
3. శూన్య పని : స్థానభ్రంశం, బలాలు పరస్పరం లంబంగా ఉన్నప్పుడు జరిగే పని శూన్యం.

ఉదా : 

1. క్షితిజ సమాంతర తలంపై ఒక వస్తువును లాగితే గురుత్వ బలానికి వ్యతిరేకంగా జరిగిన పని శూన్యం.

2. తలపై భారాన్ని మోస్తూ క్షితిజ సమాంతరంగా నేలపై నడిచే వ్యక్తి విషయంలో గురుత్వ బలానికి వ్యతిరేకంగా జరిగిన పని శూన్యం.

3. భ్రమణ చలనంలోని వస్తువు విషయంలో అభికేంద్రబలం చేసే పని శూన్యం.

4. సూట్‌కేస్ తలపై ఉంచుకొని ఫ్లాట్‌ఫాంపై నిలబడి ఉన్న వ్యక్తి ప్రయోగించిన బలం ఊర్థ్వదిశలో F  = mg, కానీ S  =  శూన్యం కాబట్టి జరిగిన పని శూన్యం.

నిత్యత్వ బలం : ఒక వస్తువును రెండు బిందువుల మధ్య జరపడానికి చేయాల్సిన పని, దాని మార్గంపై ఆధారపడకపోతే దానికి కారణమైన బలాన్ని నిత్యత్వ బలం అంటారు.

ఉదా: గురుత్వాకర్షణ బలం, స్థిరవిద్యుదాకర్షణ బలం. ఒక వస్తువును సంవృతమార్గంలో జరపడానికి నిత్యత్వబలం చేసే పని శూన్యం.

అనిత్యత్వ బలం : ఒక వస్తువును రెండు బిందువుల మధ్య జరపడానికి చేయాల్సిన పని, దాని మార్గంపై ఆధారపడితే దానికి కారణమైన బలాన్ని అనిత్యత్వబలం అంటారు.

ఉదా : ఘర్షణ బలం, స్నిగ్ధతాబలం. ఒక వస్తువును సంవృత మార్గంలో జరపడానికి అనిత్యత్వబలం చేసే పని శూన్యం కాదు.

* 'm' ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువును త్వరణం లేకుండా భూమిపై నుంచి 'h' ఎత్తుకు తీసుకెళ్లినప్పుడు

 a.  ప్రయోగించిన బలం చేసే పని  =  mgh

 b.  గురుత్వబలం చేసే పని  = - mgh

 c.  ఫలిత బలం = 0

సామర్థ్యం : ఒక బలం చేసే పనిరేటును సామర్థ్యం అంటారు.

సామర్థ్యం  

* ఇది అదిశరాశి.

* ఒక సమయంలో వస్తువుపై పనిచేసే బలం  , దానివేగం  అయితే  తత్కాల సామర్థ్యం  P  =  . 

* ప్రమాణాలు : C.G.S : ఎర్గ్ / సె.

* S.I. : జౌల్ / సె.

* F.P.S. : అశ్వసామర్థ్యం (Horse Power = H.P.)

* 1 H.P. = 746 W

శక్తి :

1. పని చేయడానికి కావాల్సిన ధారుడ్యాన్ని శక్తి అంటారు.

2. శక్తి కారకం - పని ఫలితం.

3. శక్తి అదిశరాశి. శక్తి ప్రమాణాలు పని ప్రమాణాలకు సమానం.

ప్రమాణాలు : జౌల్, 1 KWH = 36 x 10⁶ J

శక్తిలో రకాలు : యాంత్రికశక్తి రెండు రకాలు.

1. స్థితిజశక్తి : వస్తువుకు స్థితి లేదా స్థానం వల్ల కలిగే శక్తిని స్థితిజశక్తి అంటారు.

ఉదా : 1. ఎత్త్తెన కొండపై ఉన్న నీరు.

2. సాగదీసిన లేదా సంకోచించించిన స్ప్రింగ్.

సూత్రం : 'h' ఎత్తులో ఉన్న వస్తువు స్థితిజశక్తి P.E. = mgh.

2. గతిజశక్తి : వస్తువుకు చలనం వల్ల కలిగే శక్తిని గతిజశక్తి అంటారు.

ఉదా :  ఏదైనా చలనంలో ఉన్న వస్తువు.

సూత్రం : 'm' ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు 'v' వేగంతో పోతే దాని గతిజశక్తి

* ఒక వస్తువుకు స్థితిజ, గతిజశక్తులు రెండూ ఉండవచ్చు.

ఉదా : ఎగిరేపక్షి, స్వేచ్ఛగా పడే వస్తువు.

* నిశ్చల స్థితిలోని వస్తువుకు గతిజశక్తి ఉండదు. స్థితిజశక్తి ఉంటుంది. కానీ చలనంలోని వస్తువుకు గతిజశక్తితో పాటు స్థితిజశక్తి కూడా ఉంటుంది.

* కేంద్రకం చుట్టూ తిరిగే ఎలక్ట్రాన్‌కు స్థితిజశక్తి, గతిజశక్తి రెండూ ఉంటాయి.

* భూమి చుట్టూ తిరిగే ఉపగ్రహానికి స్థితిజ, గతిజశక్తులు ఉంటాయి.

* వాలు తలం నుంచి జారుతున్న వస్తువు, చలనంలో ఉన్న విమానం, డోలనాలు చేస్తున్న లోలకం స్థితిజశక్తి, గతిజశక్తులను కలిగి ఉంటాయి.

పని - శక్తి సిద్ధాంతం : 'ఒక వస్తువుపై అసమతుల్య బలం లేదా ఫలితబలం చేసేపని, దానిలో కలిగే గతిజశక్తిలోని మార్పునకు సమానం'. దీన్నే పని శక్తి సిద్ధాంతం అంటారు. 

             

శక్తి నిత్యత్వ నియమం : 'సంవృత వ్యవస్థలోని శక్తి మొత్తం స్థిరం. శక్తిని సృష్టించలేం, నశింపజేయలేం. కానీ ఒక రూపంలో శక్తిని లాభ, నష్టాలు లేకుండా మరొక రూపంలోకి మార్చవచ్చు.'

ఉదా : 1. బ్యాటరీ రసాయనశక్తిని విద్యుత్‌శక్తిగా మారుస్తుంది.

2. మోటార్ విద్యుత్‌శక్తిని యాంత్రికశక్తిగా మారుస్తుంది.

3. డైనమో యాంత్రికశక్తిని విద్యుత్‌శక్తిగా మారుస్తుంది.

4. విద్యుత్‌బల్బు విద్యుత్‌శక్తిని కాంతిశక్తిగా, ఉష్ణశక్తిగా మారుస్తుంది.

* స్వేచ్ఛగా కింద పడే వస్తువు విషయంలో...

మార్గంలో ఏ బిందువు వద్దనైనా మొత్తం శక్తి = mgh = స్థిరం.

* నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరిన వస్తువు విషయంలో... 

మార్గంలో ఏ బిందువు వద్దనైనా మొత్తం శక్తి  =  స్థిరం.

ద్రవ్యవేగం మరియు గతిజశక్తి: 'm' ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువు ద్రవ్యవేగం 'P', గతిజశక్తి 'E' అయితే

 

   మరియు

* వేర్వేరు ద్రవ్యరాశులున్న రెండు వస్తువులకు ఒకే గతిజశక్తి ఉన్నప్పుడు, భారవస్తువుకు ఎక్కువ ద్రవ్యవేగం ఉంటుంది.  

 

* ఆ వస్తువులకు ద్రవ్యవేగం సమానంగా ఉన్నప్పుడు తక్కువ భారమున్న వస్తువుకు ఎక్కువ గతిజశక్తి ఉంటుంది.   

ఉదా: తుపాకి నుంచి బుల్లెట్‌ను పేల్చితే ఆ రెండింటి ద్రవ్యవేగం సమానంగా ఉంటుంది. కానీ బుల్లెట్ గతిజశక్తి తుపాకి గతిజశక్తి కంటే ఎక్కువ.

* ''రెండు కార్లు ఢీకొన్నాయి.''

* '' ఒక బిలియర్డ్ బాల్ మరో బిలియర్డ్ బాల్‌ని ఢీకొట్టింది.''

* ఇలా రెండు వస్తువులు పరస్పరం ఢీకొనడాన్ని సాధారణంగా ''అభిఘాతం'' అంటారు. అయితే శాస్త్రపరిభాషలో 'అభిఘాతం' అనే పదానికి విస్తృతమైన అర్థం ఉంటుంది.

* పై ఉదాహరణల్లో రెండు వస్తువులు ఒకదాన్ని మరొకటి స్పృశించాయి.

* అయితే మరో ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం. 'ఒక ఆల్ఫా కణం ఒక కేంద్రకాన్ని ఢీకొంది.'

* ఈ ఉదాహరణలో ఆల్ఫాకణం, కేంద్రకాన్ని నిజంగా తాకదు. అయినా అవి అభిఘాతం చెందుతున్నాయని అంటాం. దీనివల్ల ఏం తెలుస్తుందంటే రెండు వస్తువులు అభిఘాతం చెందుతున్నాయని అంటే అవి కచ్చితంగా ఒకదానినొకటి స్పృశించుకోవాలనే నియమం ఏమీ లేదని గమనించాలి.

* 'అభిఘాతం' అనేది రెండు వస్తువుల మధ్య పరస్పర ప్రతిచర్యను (interaction) సూచిస్తుంది. ఈ ప్రక్రియలో ద్రవ్యవేగం మార్పు చెందుతుంది.

* అభిఘాతంలో అతి తక్కువ సమయంలో బలమైన ప్రతిచర్య జరుగుతుంది. ఫలితంగా ద్రవ్యవేగం బదిలీ అవుతుంది.

* శక్తి నిత్యత్వ నియమం, ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాలను అనుసరించి అభిఘాతాలను 3 రకాలుగా వర్గీకరించవచ్చు.

i) స్థితిస్థాపక అభిఘాతం: ఏ అభిఘాతంలోనైతే గతిజశక్తి నిత్యత్వ నియమం, ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం రెండూ పాటించబడతాయో ఆ అభిఘాతమే స్థితిస్థాపక అభిఘాతం.

ii) అస్థితిస్థాపక అభిఘాతం: ఏ అభిఘాతంలోనైతే ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం మాత్రమే పాటించబడుతుందో దానిని అస్థితిస్థాపక అభిఘాతం అంటారు.

iii) పరిపూర్ణ అస్థితిస్థాపక అభిఘాతం: అభిఘాతం చెందిన తర్వాత రెండు వస్తువులు కలిసి ఒకే వేగంతో ప్రయాణిస్తే ఆ అభిఘాతమే పరిపూర్ణ అస్థితిస్థాపక అభిఘాతం.

ఉదా: ఒక చెక్కదిమ్మెలోకి దూసుకెళ్లిన బుల్లెట్ ఆ చెక్క దిమ్మెలోనే ఇమిడిపోయి ఉండటం. అభిఘాతంలోని వస్తువుల వేగాలు అభిఘాతానికి ముందు, తర్వాత ఒకే సరళరేఖలో చలిస్తూ ఉంటే ఆ అభిఘాతాన్ని ఏకమితీయ అభిఘాతం అంటారు. దీనినే ముఖాముఖి అభిఘాతం అని కూడా అంటారు.

* ఈ పాఠ్యాంశంలో స్థితిస్థాపక ఏకమితీయ అభిఘాతాల గురించి నేర్చుకుంటారు.

*  m₁, m₂ ద్రవ్యరాశులున్న రెండు వస్తువులు u₁, u₂ తొలి వేగాలతో ఒకే దిశలో చలిస్తూ అభిఘాతం చెంది తర్వాత v₁, v₂ వేగాలతో సరళరేఖాపథంలో చలిస్తున్నాయి.

*  పై అభిఘాతాన్ని ఏకమితీయ స్థితిస్థాపక అభిఘాతంగా భావించి అభిఘాతానికి ముందు సమీపించే సాపేక్షవేగం అభిఘాతం తర్వాత విడిపోయే సాపేక్ష వేగానికి సమానమని కింది విధంగా చూపవచ్చు.

     

* ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం అభిఘాతానికి ముందు వ్యవస్థ ద్రవ్యవేగం అభిఘాతం తర్వాతి ద్రవ్యవేగానికి సమానం.

                    m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂

                    m₁u₁ - m₁v₁ = m₂v₂ - m₂u₂

                    m₁(u₁ - v₁) = m₂(v₂ - u₂) ........................... (1)

* గతిజశక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం అభిఘాతానికి ముందు వ్యవస్థ గతిజశక్తి అభిఘాతం తర్వాత వ్యవస్థ గతిజశక్తికి సమానం.

            m₁u₁² +  m₂ u₂² =  m₁v₁² +  m₂v₂²

           m₁ u₁² - m₁v₁² = m₂v₂² - m₂ u₂²

           m₁ (u₁² - v₁² ) = m₂(v₂² - u₂²)

           m₁(u₁ + v₁ ) (u₁ - v₁) = m₂ (v₂ + u₂) (v₂- u₂) .............. (2)

         సమీకరణం (2) ను (1) తో భాగిస్తే

         

            u₁ + v₁ = v₂ + u₂

               u₁ - u₂ = v₂ - v₁ .................. (3)

* సమీకరణం (3) నుంచి అభిఘాతానికి ముందు సమీపించే సాపేక్షవేగం అభిఘాతం తర్వాత విడిపోయే సాపేక్ష వేగానికి సమానమని తెలుస్తుంది.

* సమీకరణం (3) నుంచి v₁, v₂ విలువలను సమీకరణం (1) లో ప్రతిక్షేపించి అభిఘాతం తర్వాత వస్తువుల తుది వేగాలకు సమీకరణాలు ఉత్పాదించవచ్చు.

* సమీకరణం (3) నుంచి v₂ విలువను సమీకరణం (1)లో ప్రతిక్షేపిస్తే

           v₂ = u₁ - u₂ + v₁

       m₁ (u₁- v₁) = m₂ (u₁ - u₂ + v₁ - u₂)

       m₁u₁ - m₁v₁ = m₂ (u₁ + v₁ - 2u₂)

       m₁u₁ - m₁v₁ = m₂u₁+ m₂v₁ - 2m₂u₂

       m₁u₁ - m₂u₁ + 2m₂u₂ = m₂v₁ + m₁v₁

      (m₁ - m₂) u₁ + 2m₂u₂ = (m₁ + m₂) v₁

   ................. (4)

అదేవిధంగా v₁ విలువను సమీకరణం (1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే

    -v₁ = u₁ - u₂ - v₂

     m₁(u₁ + u₁ - u₂ - v₂) = m₂ (v₂ - u₂)

     m₁(2u₁ - u₂ - v₂) = m₂(v₂ - u₂)

   2m₁u₁ - m₁u₂ - m₁v₂ = m₂v₂ - m₂u₂

   2 m₁u₁ - m₁u₂ + m₂u₂ = m₂v₂ + m₁v₂

   2 m₁u₁ + (m₂ - m₁) u₂ = v₂ (m₁ + m₂)

   

* అభిఘాతం చెందే రెండు వస్తువుల తుది వేగాలు వాటి ద్రవ్యరాశులపై, వాటి తొలి వేగాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి.

ప్రత్యేక సందర్భాలు

సందర్భం I:  రెండు వస్తువుల ద్రవ్యరాశులు సమానమైతే  

          i.e. m₁ =  m₂

         m₁ =  m₂ అని సమీకరణం (4) లో ప్రతిక్షేపిస్తే

        

 అలాగే సమీకరణం (5)లో ప్రతిక్షేపిస్తే

      

*  పై ఫలితాలను పరిశీలిస్తే సమాన ద్రవ్యరాశులున్న రెండు వస్తువులు అభిఘాతం చెందితే వాటి వేగాలు అభిఘాతంలో పరస్పరం మార్చుకుంటాయని తెలుస్తుంది.

సందర్భం II: అభిఘాతానికి ముందు రెండో వస్తువు విరామస్థితిలో ఉంటే అంటే u₂ = 0 అయితే సమీకరణం 4, 5లు కిందివిధంగా మారతాయి.

                 

సందర్భం III: తేలిక వస్తువు నిశ్చల స్థితిలో ఉన్న బరువైన వస్తువుతో అభిఘాతం జరిపినప్పుడు (m₂ >> m₁), u₂ = 0.  అలాగే సమీకరణం 6 లో కూడా m₁ విలువను ఉపేక్షిస్తే 

              

అలాగే సమీకరణం 7లో కూడా m₁ విలువను ఉపేక్షిస్తే

              

* ఈ సందర్భంలో అధిక భారం గల వస్తువు నిశ్చల స్థితిలోనే ఉంటుంది. అల్పభారం ఉన్న వస్తువు ఎంత వేగంతో అభిఘాతం చెందుతుందో అంతే వేగంతో వెనక్కి మరలుతుంది.

సందర్భం (IV): అభిఘాతానికి లోనైన వస్తువు నిశ్చల స్థితిలో ఉండి (u₂= 0), మొదటి దాని ద్రవ్యరాశితో పోలిస్తే చాలా తక్కువగా ఉంటే (m₁>>m₂)

       ఈ నిబంధనను సమీకరణం (6)లో ప్రతిక్షేపించి, m₂ ను ఉపేక్షిస్తే

                

       సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపిస్తే 

               

* ఈ సందర్భంలో అధిక ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువు వేగంలో మార్పు ఉండదు. కానీ అల్పద్రవ్యరాశి కలిగి విరామ స్థితిలో ఉన్న వస్తువు అధిక ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువు వేగానికి రెట్టింపు వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది.

పరిపూర్ణ అస్థితిస్థాపక అభిఘాతం:

* m₁, m₂ ద్రవ్యరాశులున్న రెండు వస్తువులు u₁, u₂ తొలివేగాలతో చలిస్తూ అభిఘాతం చెందిన తర్వాత రెండూ కలిసి ఒకే ఉమ్మడి వేగంతో చలిస్తే, ఆ అభిఘాతాన్ని పరిపూర్ణ అస్థితిస్థాపక అభిఘాతం అంటారు.

* ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమానుసారం....

       m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v + m₂ v

              m₁u₁ + m₂u₂ = (m₁ + m₂) v

                 

ప్రత్యావస్థాన గుణకం (e):

* u₁, u₂లు అభిఘాతానికి ముందు వేగాలు, v₁, v₂ లు అభిఘాతం తర్వాతి వేగాలైతే అభిఘాతం తర్వాత వస్తువులు విడిపోయే సాపేక్షవేగం (v₂ - v₁) కు, అభిఘాతానికి ముందు సమీపించే సాపేక్ష వేగానికి ఉన్న నిష్పత్తిని ప్రత్యావస్థాన గుణకం అంటారు. దీన్ని 'e' తో సూచిస్తారు.

          

* e విలువ అభిఘాతం చెందే వస్తువుల పదార్థ స్వభావంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

* స్థితిస్థాపక అభిఘాతానికి e విలువ 1

* అస్థితిస్థాపక అభిఘాతానికి e విలువ 0 నుంచి 1 మధ్య ఉంటుంది.

* పరిపూర్ణ అస్థితిస్థాపక అభిఘాతానికి e విలువ '0'.

ప్రత్యావస్థాన గుణకం కనుక్కోవడం:

* ఏ రెండు పదార్థాల మధ్య ప్రత్యావస్థాన గుణకాన్ని కనుక్కోవాలో వాటిలో ఒకదానిని పలక రూపంలో, రెండోదాన్ని చిన్న గోళం రూపంలో తీసుకోవాలి. h₁ ఎత్తు నుంచి ఆ గోళాన్ని పలకపైకి జార విడవాలి. గోళం పలకతో అభిఘాతం చెందిన తర్వాత h₂ ఎత్తుకు చేరుతుంది అనుకోండి.

* అభిఘాతానికి ముందు, తర్వాత పలక వేగం  u₂ = v₂ = 0

* గోళం అభిఘాతం తర్వాత h₂ ఎత్తుకు చేరుతుంది కాబట్టి 

* ప్రత్యావస్థాన గుణకం 'e' ఒక సంఖ్య మాత్రమే దీనికి ప్రమాణాలు, మితులు లేవు.

* కొంత ఎత్తు నుంచి స్వేచ్ఛగా భూమిపై పడిన వస్తువు అనేకసార్లు పైకి లేచినప్పుడు అది పొందే ఎత్తుకు సమీకరణం

* m ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువు h ఎత్తు నుంచి స్వేచ్ఛగా పడిందనుకుందాం. అది భూమిని u₁ వేగంతో తాకితే....

* భూమికి, గోళానికి మధ్య ఈ అభిఘాతంలో తొలి, తుది వేగాలు u₂, v₂ = 0

* గోళం భూమిని తాకిన తర్వాత పైకి లేచే వేగం     నుంచి

* n అభిఘాతాలు చెందిన తర్వాత నిశ్చల స్థితిలోకి వస్తే ఈ n అభిఘాతాల్లో ప్రయాణించిన దూరం 

     H = h + 2h₁ + 2h₂ + 2h₃ + ...

        H = h + 2e2h + 2e4h + 2e6h + ....

        H = h [1 + 2e2 + 2e4 + 2e6 + ...]

        H = h [1 + 2e2(1 + e2 + e4 + ...)]

   

నిశ్చల స్థితిలోకి రావడానికి పట్టిన కాలం:

        T = t + 2t₁ + 2t₂ + 2t₃ +....

    

   

బంతి సరాసరి వడి:

సరాసరి వేగం:

          

బంతి అనేకసార్లు అభిఘాతం చెందిన తర్వాత పైకి లేచే వేగానికి సమీకరణం:

* బంతి v వేగంతో భూమిని తాకి, తర్వాత v₁ వేగంతో పైకి లేస్తే ప్రత్యావస్థాన గుణకం నిర్వచనం నుంచి 

      

* v₁ = - ev (రుణగుర్తు v₁, v దిశలు వ్యతిరేకమని తెలియజేస్తుంది)

* ఇలాగే రెండోసారి అభిఘాతం చెందిన తర్వాత

       v₂ = - ev₁

       v₂ = - e (- ev)

       v₂ =  e² v

* ఇలా n సార్లు అభిఘాతం చెందితే 

      v_n = env