నిర్వచనం: ఒక కోణం చలరాశిగా ఉండే త్రికోణమితీయ ప్రమేయాలతో ఏర్పరచిన సమీకరణాన్ని త్రికోణమితీయ సమీకరణం అంటారు.
విధిత సమీకరణాలు
నిర్వచనం: f(x) = sinx లేదా cos x లేదా tan x మొదలైన వాటిని తీసుకున్నప్పుడు f(x) = k రూపంలో ఉన్న సమీకరణాన్ని 'విధిత త్రికోణమితీయ సమీకరణం' అంటారు.
* విధిత సమీకరణాలకు మాత్రమే 'ప్రధాన సాధన' ఉంటుంది.
* ప్రతీ త్రికోణమితీయ సమీకరణాన్ని ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ విధిత సమీకరణాలకు తగ్గించవచ్చు.
సాధన: ఒక త్రికోణమితీయ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచే కోణం θ విలువను (అంటే ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్యను) ఆ సమీకరణానికి ఒక 'సాధన' అంటారు. ఒక త్రికోణమితీయ సమీకరణానికి ఉన్న సాధనల సమితిని దత్త సమీకరణానికి 'సాధన సమితి' అంటారు.
* ఒక త్రికోణమితీయ సమీకరణానికి θ0 ఒక ప్రత్యేక సాధన. f(n) అనేది పూర్ణాంకం nలో πని కలిగి ఉన్న ఒక ప్రమేయం అయినప్పుడు θ0 + f(n) కూడా సంతృప్తిపరిస్తే (ప్రతీ n ∈ Z కు). ఆ సమీకరణానికి θ0 + f(n)ని ఒక సార్వత్రిక సాధన అంటారు.
"sin x = 0, cos x = 0, tan x = 0, సమీకరణాలకు 'సార్వత్రిక సాధనలు"
I. 1. x ∈ అయినప్పుడు sin x = 0 ⇔ x = 0, కాబట్టి sin x = 0 సమీకరణానికి ప్రధాన సాధన 0, మరియు sinθ = 0⇔ θ nπ (n ఒక పూర్ణాంకం).
అంటే sin x = 0 సమీకరణానికి 'సార్వత్రిక సాధన' x = nπ + 0 = nπ, n ∈ Z -------> (1)
2. cos x = 0 సమీకరణానికి ప్రధాన సాధన x =
అంటే cos x = 0 సమీకరణానికి 'సార్వత్రిక సాధన' x = (2n + 1) , n ∈ Z -------> (2)
3. tan x = 0 సమీకరణానికి ప్రధాన సాధన x = 0
అంటే tan x = 0 సమీకరణానికి 'సార్వత్రిక సాధన' x = nπ, n ∈ Z --------> (3)
4. cot x = 0 సమీకరణానికి ప్రధాన సాధన x =
అంటే cot x = 0 సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన x = (2n + 1) , n ∈ Z ------> (4)
II. 1. sin x = k (-1 k 1) విధిత సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన
x = nπ + (-1)n α , n ∈ Z ----> (1)
ఇక్కడ sin x = kకు α ప్రధాన సాధన.
2. cos x = k (-1 k 1) సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన
x = {2nπ
3. tan x = k (k ∈ R) సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన
x = n + α, n ∈ z. ఇక్కడ ప్రధాన (లేదా ఏదైనా) సాధన.
4. sec x = k (k ∈ (- ∞ , - 1] ∪ [1, ∞ )) సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన
x = 2nπ α ఇక్కడ cos x = కి α ప్రధాన (లేదా ఏదైనా ఒక) సాధన.
5. cosec x = k (k ∈ (- ∞ , - 1] ∪ [1, ∞ )) సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన
x = nπ +α (-1)n n ∈ z ఇక్కడ sin x =కి α ప్రధాన (లేదా ఏదైనా) సాధన.
6. cot x = k (k ∈ R) సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన
x = nπ + α , n ∈ Z ఇక్కడ cot x = kకి α ప్రధాన (లేదా ఏదైనా ఒక) సాధన.
III. 1. sin2 x = k , (k ∈ [0, 1]) సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన x = nα , n ∈ Z.
2. cos2 x = k, k ∈ [0, 1] సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన x = nα , n ∈ Z.
3. tan2 x = k k ∈ [0, α) సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన x = nα , n ∈ Z.