• facebook
  • twitter
  • whatsapp
  • telegram

త్రికోణమితీయ సమీకరణాలు

నిర్వచనం: ఒక కోణం  చలరాశిగా ఉండే త్రికోణమితీయ ప్రమేయాలతో ఏర్పరచిన సమీకరణాన్ని త్రికోణమితీయ సమీకరణం అంటారు.


విధిత సమీకరణాలు  

నిర్వచనం:  f(x) = sinx లేదా cos x లేదా tan x మొదలైన వాటిని తీసుకున్నప్పుడు f(x) = k రూపంలో ఉన్న సమీకరణాన్ని 'విధిత త్రికోణమితీయ సమీకరణం' అంటారు.
* విధిత సమీకరణాలకు మాత్రమే 'ప్రధాన సాధన' ఉంటుంది.
* ప్రతీ త్రికోణమితీయ సమీకరణాన్ని ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ విధిత సమీకరణాలకు తగ్గించవచ్చు.
సాధన: ఒక త్రికోణమితీయ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచే కోణం θ విలువను (అంటే ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్యను) ఆ సమీకరణానికి ఒక 'సాధన' అంటారు. ఒక త్రికోణమితీయ సమీకరణానికి ఉన్న సాధనల సమితిని దత్త సమీకరణానికి 'సాధన సమితి' అంటారు.
* ఒక త్రికోణమితీయ సమీకరణానికి θ0 ఒక ప్రత్యేక సాధన. f(n) అనేది పూర్ణాంకం nలో πని కలిగి ఉన్న ఒక ప్రమేయం అయినప్పుడు θ0 + f(n) కూడా సంతృప్తిపరిస్తే (ప్రతీ n  Z కు). ఆ సమీకరణానికి θ0 + f(n)ని ఒక సార్వత్రిక సాధన అంటారు.


 "sin x = 0, cos x = 0, tan x = 0,  సమీకరణాలకు 'సార్వత్రిక సాధనలు"
I. 1. x ∈  అయినప్పుడు sin x = 0 ⇔ x = 0,  కాబట్టి sin x = 0 సమీకరణానికి ప్రధాన సాధన 0, మరియు sinθ = 0⇔ θ nπ (n ఒక పూర్ణాంకం).    
       అంటే  sin x = 0  సమీకరణానికి 'సార్వత్రిక సాధన'  x = nπ + 0 = nπ,  n ∈ Z  ------->  (1)
2.   cos x = 0  సమీకరణానికి ప్రధాన సాధన x =   
       అంటే cos x = 0 సమీకరణానికి 'సార్వత్రిక సాధన'  x =  (2n + 1)  ,  n ∈ Z   ------->  (2)
3.  tan x = 0 సమీకరణానికి ప్రధాన సాధన x = 0 
       అంటే tan x = 0 సమీకరణానికి 'సార్వత్రిక సాధన' x = nπ, n  Z  -------->  (3)
4.   cot x = 0 సమీకరణానికి ప్రధాన సాధన x =
         అంటే  cot x = 0 సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన  x = (2n + 1)  ,  n  Z  ------> (4)
II. 1. sin x = k (-1   k  1)  విధిత సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన
        x = nπ  + (-1)n α , n ∈ Z  ----> (1)  
ఇక్కడ sin x = kకు α  ప్రధాన సాధన.
2.  cos x = k  (-1  k  1) సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన
      x = {2nπ

α  / n ∈ Z}   --------> (2)   ఇక్కడ cos x = kకు  ప్రధాన సాధన
3.    tan x = k (k ∈ R) సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన
           x = n + α, n ∈ z.   ఇక్కడ   ప్రధాన (లేదా ఏదైనా) సాధన.
4.  sec x = k (k ∈ (- ∞ , - 1] ∪ [1,  ∞ )) సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన
        x = 2nπ  α   ఇక్కడ  cos x =  కి  α ప్రధాన (లేదా ఏదైనా ఒక) సాధన.
5.  cosec x = k (k ∈ (- ∞ , - 1] ∪ [1, ∞ )) సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన
      x = nπ +α (-1)n  n ∈ z  ఇక్కడ sin x =కి α  ప్రధాన (లేదా ఏదైనా) సాధన.
6.   cot x = k  (k ∈ R) సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన  
          x = nπ + α , n ∈ Z    ఇక్కడ cot x = kకి α ప్రధాన (లేదా ఏదైనా ఒక) సాధన.
III. 1.  sin2 x = k , (k ∈ [0, 1]) సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన x = nα , n ∈ Z.
2.  cos2 x = k,  k ∈ [0, 1] సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన x = nα , n ∈ Z.
3.  tan2 x = k k ∈ [0, α) సమీకరణానికి సార్వత్రిక సాధన x = nα  , n ∈ Z.

Posted Date : 09-11-2020

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

ప్రత్యేక కథనాలు

మరిన్ని

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

మరిన్ని
 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌