1. 10 అడుగుల ఎత్తు, 300 శీర్షార్ధ కోణం కలిగిన శంఖువు ఆకారం ఉన్న పాత్రలో నీరు నిండుగా ఉంది. నిమిషానికి 1 అంగుళం చొప్పున నీరు ఆ పాత్ర నుంచి బయటకు పోతుండటంతో నీటిమట్టం స్థిరంగా తగ్గుతుంది. పాత్రలోని నీటిమట్టం 6 అడుగులు ఉన్నప్పుడు దానిలోని నీటి ఘనపరిమాణం ఏ రేటుతో తగ్గుతుంది ?
జ. శంఖువు వ్యాసార్ధం 'r', ఎత్తు'h' అనుకుందాం.
   

     

2. 90º శీర్షకోణం ఉన్న ఒక శంఖువు ఆకారంలో ఉన్న పాత్రను దాని అక్షాన్ని నిలువుగా శీర్షాన్ని కింది వైపు ఉంచారు. నిమిషానికి 1 ఘనపుటడుగు చొప్పున ఆ పాత్రలో నీరు పోస్తున్నారు. నీటి మట్టం ఎత్తు 2 అడుగులు ఉన్న సమయంలో ఏ రేటున నీటి మట్టం పెరుగుతుంది ?
జ. శంఖువు వ్యాసార్ధం 'r', ఎత్తు 'h' అనుకుందాం
       

       

3. ఒక కణం సరళరేఖా మార్గంలో కదులుతోంది. దాని కాలము, దూరాల మధ్య సంబంధం

 అయితే దాని వేగం ఎప్పుడు సున్నా అవుతుంది. గరిష్ఠ వేగాన్ని కనుక్కోండి.
    

   
 

4. 10 మీటర్లు ఎత్తు, 5 మీటర్లు భూవ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక శంఖువు ఆకారపు పాత్ర నిమిషానికి  ఘ.మీటర్ల స్థిరమైన రేటుతో నీటితో నింపబడింది. ఆ పాత్ర లోతు 4 మీటర్లు అయినప్పుడు పాత్రలోని నీటి మట్టం ఏ రేటున పెరుగుతుంది ?
 జ. శంఖువు ఆకారపు పాత్ర వ్యాసార్ధం 'r', ఎత్తు 'h' అనుకుందాం.
 ఇచ్చినది:  h  =  2r
    

5. 30 సెం.మీ. భూవ్యాసార్ధం ఉన్న స్థూపాకార పాత్ర నూనెతో నిండి ఉంది. పాత్ర నుంచి నిమిషానికి 27000 ఘ.సెం.మీ. చొప్పున నూనె బయటికి తీసేటప్పుడు, నూనె మట్టం ఏ రేటున తగ్గుతుంది ?
జ. స్థూపాకార పాత్ర వ్యాసార్ధం r, ఎత్తు h , ఘనపరిమాణం v అనుకుందాం.
      

6. ఒక గోళాకారపు బుడగలో గాలి సెకనుకు 900 ఘ.సెం.మీ. చొప్పున నింపబడుతుంది. వ్యాసార్ధం 15 సెం.మీ. అయినప్పుడు గోళాకార బుడగ వ్యాసార్ధం మార్పు రేటులో పెరుగుదలను కనుక్కోండి.
జ. గోళాకారపు బుడగ కొలతలు r, మరియు v అనుకుందాం.
   

7. గోళం ఉపరితల వైశాల్యం సెకనుకు 20 చ.సెం.మీ. చొప్పున పెరుగుతుంది. ఘనపరిమాణం 36π ఘ.సెం.మీ. అయినప్పుడు గోళం ఘనపరిమాణం ఏ రేటున పెరుగుతుందో  కనుక్కోండి ?
జ. గోళం వ్యాసార్ధం r, ఉపరితల వైశాల్యం A, ఘనపరిమాణం v అనుకుందాం.

  

గరిష్ఠ‌ మరియు కనిష్ఠ‌ విలువలు

1. x³ - 9x² + 24x - 12 అనే ప్రమేయానికి గరిష్ఠ‌ (లేదా) కనిష్ఠ‌ విలువలను కనుక్కోండి.
జ:   f(x) = x³ - 9x² + 24x - 12 అనుకొందాము.
      f' (x) = 3x² - 18x + 24
      f" (x) = 6x - 18
    గరిష్ట (లేదా) కనిష్ట విలువ కొరకు :  f' (x) = 0
                  ⇒ 3x² - 18x + 24 = 0
                  ⇒ x² - 6x + 8 = 0
                  ⇒ x² - 2x - 4x + 8 = 0
                 ⇒  x (x - 2) - 4 ( x - 2) = 0
                 ⇒ (x - 2) (x - 4) = 0
                    .^..  x = 2 ;  x = 4
             x = 2 వద్ద ;   f"(2)  =  6(2) - 18 = - 6 < 0
            x = 2 వద్ద ,  f(x) అనేది గరిష్ఠ‌ విలువను కలిగి ఉంటుంది.
 .^..  సాపేక్ష గరిష్ఠ‌ విలువ :  f(2) = 8 - 36 + 48 - 12 
                               ⇒ f(2) = 8
                     x = 4 వద్ద : f"(4) = 24 - 18 = 6 > 0
                     x = 4 వద్ద , f(x)  అనేది కనిష్ఠ‌ విలువను కలిగి ఉంటుంది. 
 .^..  సాపేక్ష కనిష్ఠ‌ విలువ  f(4) =  64 - 144 + 96 - 12
                             ⇒  f(4) = 4

2.   x = e వద్ద     hఅనే ప్రమేయము కనిష్ఠ‌ విలువ కలిగి ఉంటుందని చూపండి.
జ :    ఇచ్చినది:    
 

 కనిష్ఠ‌ విలువ కొరకు :  f' (x)  = 0    

                                 ⇒   f" (e) = 1/e > 0
                           .^..    x = e వద్ద , f(x)  అనేది కనిష్ఠ‌ విలువను కలిగి ఉంటుంది.

3. x =    వద్ద  y = sin³ x cos x అనేది గరిష్ఠ‌ విలువ ఉంటుందని చూపి మరియు గరిష్ఠ‌ విలువను కనుక్కోండి.
జ :  ఇచ్చినది : y = sin³ x cos x
               
                
                   గరిష్ఠ‌ విలువ కొరకు :   =  0
                           ⇒  3 sin² x cos² x - sin⁴x = 0
                            ⇒ sin² x (3cos²x - sin² x) = 0
                            ⇒ sin²x = 0 ;  3 cos²x - sin²x = 0
                            ⇒ sin x = 0;  ⇒  3 cos²x = sin²x
                             .^..   x = 0 ;  ⇒ tan²x = 3
                                       ⇒  tan x = 
                                           .^..   x =   
                                 x =     వద్ద  ;